विभेदक वक्र

This article is about यूक्लिडियन क्षेत्र में वक्र. For एकपक्षीय टोपोलॉजिकल दूरी में वक्र, see वक्र.

वक्र की विभेदक ज्यामिति, ज्यामिति की वह शाखा है जो अंतर कलन और समाकलन के तरीकों से यूक्लिडियन समतल और यूक्लिडियन स्पे स्मूदनेस(गणित) वक्रों से संबंधित है।

कृत्रिम ज्यामिति का उपयोग करके कई वक्रों की सूची की पूरी तरह से जांच की गई है। विभेदक ज्यामिति एक अन्य पद्धति अपनाती है, वक्र एक पैरामीट्रिक समीकरण में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएँ, जैसे कि वक्रता और चाप की लंबाई, वेक्टर गणना का उपयोग करके यौगिक और समाकल के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक फ्रेनेट फ्रेम है, एक गतिशील फ्रेम जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जो उस बिंदु के निकट वक्र के लिए सबसे अच्छा अनुकूलित होता है।

सतहों की अंतर ज्यामिति और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में घटता का सिद्धांत बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक नियमित वक्र में कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं है। चाप की लंबाई("प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन") द्वारा किसी भी नियमित वक्र को परीक्षण किया जा सकता है। वक्र पर एक परीक्षण कण के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग अंतरिक्ष वक्र केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे झुकते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक अपरिवर्तनीय अवकल ज्यामिति द्वारा मापा जाता जिसे हम वक्र की वक्रता या पृष्ठ तनाव कहते हैं । वक्रों का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।

परिभाषाएँ

Main article: वक्र

एक प्राचलिक ( पैरामीट्रिक) C^r-वक्र या ए C^r-पैरामेट्रिजेशन एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है

$\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$

वह r-समय पर  लगातार अलग-अलग है(अर्थात, का घटक कार्य लगातार अलग अलग हैं  ), जहां $n\in \mathbb {N}$, $r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$, तथा I वास्तविक संख्याओं का एक अशून्य अंतराल(गणित) है। $\gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ पैरामीट्रिक वक्र का चित्र है | पैरामीट्रिक वक्र γ और इसकी छवि γ[I] अलग अलग होना चाहिए क्योंकि एक दिया गया उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ कई अलग-अलग पैरामीट्रिक वक्रों की छवि हो सकती है। γ(t) में पैरामीटर t को एक निरुपित समय के रूप में माना जा सकता हैं और γ एक पैरामीट्रिक क्षेत्र में घूमने वाले बिंदु का प्रक्षेप पथ हो सकता है । जब I एक बंद अंतराल है [a,b], y का , γ(a) प्रारंभिक बिंदु कहलाता है और γ(b) समापन बिंदु कहलाता है | यदि आरंभिक और अंतिम बिंदु संपाती हैं(अर्थात, γ(a) = γ(b)), फिर γ एक बंद वक्र या एक परिपथ है। C^r को एक परिपथ होने क लिए फलन γ को r-समय लगातार अलग अलग होना चाहिए और γ^(k)(a) = γ^(k)(b) 0 ≤ k ≤ r के लिए संतुष्ट करना चाहिए |

पैरामीट्रिक वक्र सरल है यदि

$\gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$

यदि y का प्रत्येक घटक कार्य एक विश्लेषणात्मक कार्य करता है तो γ एक विश्लेषणात्मक कार्य है, अर्थात यह  C^ω.वर्ग का है |वक्र γ नियमानुकूल है m(कहाँ पे m ≤ r) अगर, हर के लिए t ∈ I,

$\left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}$

$\mathbb {R} ^{n}$ का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है | विशेष रूप से, एक पैरामीट्रिक C¹-वक्र γ नियमित (regular) है यदि केवल और केवल γ′(t) ≠ 0 किसी के लिए t ∈ I.

पुन: पैरामीट्रिजेशन और तुल्यता संबंध

See also: Position vector and Vector-valued function

पैरामीट्रिक वक्र की छवि को देखते हुए, प्राचलिक (पैरामीट्रिक) वक्र के कई अलग-अलग मूल्यांकन हैं। अवकलन रेखागणित का उद्देश्य पैरामीट्रिक वक्रों के गुणों का वर्णन करना है जो कुछ पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी पैरामीट्रिक वक्रों के समुच्चय पर एक उपयुक्त तुल्यता संबंध परिभाषित किया जाना चाहिए। एक पैरामीट्रिक वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण(जैसे इसकी लंबाई, इसकी #Frenet फ्रेम, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए समतुल्यता वर्ग के गुण स्वयं हैं। समतुल्य वर्ग C^r- वक्र कहलाते हैं और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं हैं।

दो पैरामीट्रिक C^r-वक्र, $\gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ तथा $\gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}$,समतुल्य कहा जाता है यदि और केवल यदि कोई विशेषण सम्मिलित है C^r-नक्शा φ : I₁ → I₂ ऐसा है कि

$\forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0$

तथा

$\forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).$

y2 तब ये कहा जाता है कि re-parametrization का γ₁ है|

पुन: पैरामीट्रिजेशन सभी पैरामीट्रिक के समुच्य पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है| C^rवर्ग के वक्र C^r. इस संबंध का तुल्यता वर्ग केवल a C^r-वक्र।

ओरिएंटेड पैरामीट्रिक C^{r -वक्र} का अन्य बेहतर तुल्यता संबंध φ आवश्यकता के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है| संतुष्ट करने के लिए φ′(t) > 0.

समतुल्य पैरामीट्रिक C^r-curves की समरूप छवि है, और समतुल्य उन्मुख पैरामीट्रिक C^r-वक्र छवि को उसी दिशा में पार भी करते हैं।

लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन

Main article: Arc length

See also: Curve § Length of a curve

लंबाई l एक पैरामीट्रिक का C¹-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ की तरह परिभाषित किया गया है

$l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.$

एक पैरामीट्रिक वक्र की लंबाई पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए पैरामीट्रिक वक्र की अंतर-ज्यामितीय एक विशेषता है।

प्रत्येक नियमित पैरामीट्रिक के लिए C^r-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$जहाँ पर , r ≥ 1, फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है

$\forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.$

लिखते हैं γ(s) = γ(t(s)), जहाँ पर t(s) का प्रतिलोम कार्य है s(t). यह एक y का पुनः पैरामीट्रिजेशन γ है जिसे एक चाप लंबाई पैरामीट्रिजेशन, प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन, यूनिट-स्पीड पैरामीट्रिजेशन कहा जाता है। पैरामीटर s(t) को γ का स्वाभाविक मापदण्ड कहा जाता है|    

यह parametrization इसीलिए चुना जाता है क्योंकि प्राकृतिक पैरामीटर s(t) की छवि को y इकाई गति से पा�