अवकल समीकरण

Not to be confused with अंतर समीकरण.

ऊष्मा समीकरण को हल करके बनाए गए पंप आवरण में ऊष्मा हस्तांतरण का दृश्य। आवरण में आंतरिक रूप से ऊष्मा उत्पन्न की जा रही है और सीमा पर ठंडा किया जा रहा है, जिससे एक स्थिर स्थिति तापमान वितरण प्रदान किया जा रहा है।

गणित में, अवकल समीकरण एक समीकरण है जो एक या एक से अधिक अज्ञात फलनों और उनके व्युत्पन्नों से संबंधित होता है। अनुप्रयोगों में, फलन प्रायः भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं, व्युत्पन्न परिवर्तन की अपनी दरों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और अवकल समीकरण दोनों के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस तरह के संबंध सामान्य हैं इसलिए अभियांत्रिकी, भौतिकी, अर्थशास्त्र और जीव विज्ञान सहित कई विषयों में अवकल समीकरण प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

मुख्य रूप से अवकल समीकरणों के अध्ययन में उनके समाधान (प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करने वाले फलनों का समूह) और उनके समाधान के गुणों का अध्ययन सम्मिलित है। स्पष्ट सूत्रों द्वारा केवल सबसे सरल अवकल समीकरणों को हल किया जा सकता है हालाँकि, किसी दिए गए अवकल समीकरण के समाधान के कई गुणों को उनकी सटीक गणना किए बिना निर्धारित किया जा सकता है।

प्रायः जब समाधान के लिए एक संवृत रूप अभिव्यक्ति उपलब्ध नहीं होती है, तो कंप्यूटर का उपयोग करके समाधान को संख्यात्मक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। गतिशील प्रणालियों का सिद्धांत अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियों के गुणात्मक विश्लेषण पर जोर देता है, जबकि सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ समाधान निर्धारित करने के लिए कई संख्यात्मक तरीके विकसित किए गए हैं।

इतिहास

अवकल समीकरण सर्वप्रथम आइजैक न्यूटन और लीबनिज द्वारा कलन के आविष्कार के साथ अस्तित्व में आया। उनके 1671 के कार्य मेथडस फ्लक्सियोनम एट सेरीरम इनफिनिटरम के अध्याय 2 में, आइजैक न्यूटन ने तीन प्रकार के अवकल समीकरणों को सूचीबद्ध किया।

${\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}$

इन सभी स्थितियों में, y, x (या x₁और x₂ का) का एक अज्ञात फलन है, और f एक दिया हुआ फलन है।

वह इन उदाहरणों और अन्य को अनंत श्रृंखला का उपयोग करके हल करता है और समाधानों की गैर-विशिष्टता पर चर्चा करता है।

जैकब बर्नौली ने 1695 में बरनौली अवकल समीकरण प्रस्तावित किया। यह प्ररूप का एक साधारण अवकल समीकरण है।

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

जिसके लिए अगले वर्ष लीबनिज ने इसे सरल करके समाधान प्राप्त किया।

ऐतिहासिक रूप से, एक कंपन तार की समस्या जैसे कि एक संगीत वाद्ययंत्र की समस्या का अध्ययन जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट, लियोनहार्ड यूलर, डेनियल बर्नौली और जोसेफ-लुई लैग्रेंज द्वारा किया गया था। 1746 में, डी'अलेम्बर्ट ने एक आयामी तरंग समीकरण की खोज की, और दस वर्षों के भीतर यूलर ने त्रि-आयामी तरंग समीकरण की खोज की।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण को 1750 के दशक में यूलर और लैग्रेंज द्वारा टौटोक्रोन समस्या के अपने अध्ययन के संबंध में विकसित किया गया था। यह एक वक्र निर्धारित करने की समस्या है जिस पर एक भारित कण प्रारंभिक बिंदु से स्वतंत्र, निश्चित समय में एक निश्चित बिंदु पर गिर जाएगा। लैग्रेंज ने 1755 में इस समस्या को हल किया और इसका समाधान यूलर को भेजा। दोनों ने लैग्रेंज की पद्धति को और विकसित किया और इसे यांत्रिकी पर लागू किया, जिससे लैग्रेंजियन यांत्रिकी का निर्माण हुआ।

1822 में, जोसेफ फूरियर ने थ्योरी एनालिटिक डे ला चालुर (ऊष्मा का विश्लेषणात्मक सिद्धांत) में ऊष्मा के प्रवाह पर अपना काम प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने न्यूटन के शीतलन के नियम पर अपने तर्क को आधारित किया, अर्थात्, दो आसन्न अणुओं के बीच ऊष्मा का प्रवाह उनके तापमान के अत्यंत छोटे अंतर के समानुपाती होता है। इस पुस्तक में ऊष्मा के प्रवाहकीय प्रसार के लिए फूरियर के अपने ताप समीकरण का प्रस्ताव था। यह आंशिक अवकल समीकरण अब गणितीय भौतिकी के प्रत्येक छात्र को पढ़ाया जाता है।

उदाहरण

चिरसम्मत यांत्रिकी में, किसी पिंड की गति को उसकी स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है क्योंकि समय मान भिन्न होता है। न्यूटन के नियम समय के फलन के रूप में पिंड की अज्ञात स्थिति के लिए अवकल समीकरण के रूप में इन चरों (स्थिति, वेग, त्वरण और पिंड पर कार्यरत विभिन्न बल) को गतिशील रूप से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

कुछ स्थितियों में, यह अवकल समीकरण (जिसे गति का समीकरण कहा जाता है) को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है।

अवकल समीकरणों का उपयोग करके वास्तविक दुनिया की समस्या का मॉडलिंग करने का एक उदाहरण केवल गुरुत्वाकर्षण और वायु प्रतिरोध पर विचार करते हुए हवा के माध्यम से गिरने वाली गेंद के वेग का निर्धारण है। जमीन की ओर गेंद का त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाला त्वरण है, जो वायु प्रतिरोध के कारण मंदी को घटाता है। गुरुत्वाकर्षण को स्थिर माना जाता है, और वायु प्रतिरोध को गेंद के वेग के समानुपाती के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि गेंद का त्वरण, जो उसके वेग का व्युत्पन्न है, वेग पर निर्भर करता है (और वेग समय पर निर्भर करता है)। समय के फलन के रूप में वेग का पता लगाने में एक अवकल समीकरण को हल करना और उसकी वैधता की पुष्टि करना सम्मिलित है।

प्रकार

अवकल समीकरणों को कई प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। समीकरण के गुणों का वर्णन करने के अलावा, अवकल समीकरणों के ये वर्ग समाधान के दृष्टिकोण के विकल्प को सूचित करने में सहायता कर सकते हैं। प्रायः इस्तेमाल किए जाने वाले भेदों में यह सम्मिलित है कि समीकरण सामान्य या आंशिक, रैखिक या गैर-रैखिक, और सजातीय या विषम है। यह सूची संपूर्ण से बहुत दूर है अवकल समीकरणों के कई अन्य गुण और उपवर्ग हैं जो विशिष्ट संदर्भों में बहुत उपयोगी हो सकते हैं।

सामान्य अवकल समीकरण

Main articles: सामान्य अवकल समीकरण and रेखीय अवकल समीकरण

एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE) एक समीकरण है जिसमें एक वास्तविक या जटिल चर x, इसके व्युत्पन्न और x के कुछ दिए गए फलनों का अज्ञात फलन होता है। अज्ञात फलन प्रायः एक चर (सामान्यतः y) द्वारा निरूपित किया जाता है, जो, इसलिए, x पर निर्भर करता है। इस प्रकार x को प्राय: समीकरण का स्वतंत्र चर कहा जाता है। शब्द "साधारण" का प्रयोग आंशिक अवकल समीकरण शब्द के विपरीत किया जाता है, जो एक से अधिक स्वतंत्र चर के संबंध में हो सकता है।

रेखीय अवकल समीकरण वे अवकल समीकरण होते हैं जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों में रेखीय होते हैं। उनका सिद्धांत अच्छी तरह से विकसित है, और कई स्थितियों में उनके समाधानों को अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

भौतिकी में पाए जाने वाले अधिकांश ओडीई रैखिक होते हैं। इसलिए, अधिकांश विशेष फलनों को रेखीय अवकल समीकरणों के हल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (देखें होलोनोमिक फलन)।

जैसा कि, सामान्य तौर पर, एक अवकल समीकरण के समाधान को एक संवृत रूप अभिव्यक्ति द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, कंप्यूटर पर अवकल समीकरणों को हल करने के लिए प्रायः संख्यात्मक विधियों का उपयोग किया जाता है।

आंशिक अवकल समीकरण

Main article: आंशिक अवकल समीकरण

एक आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक अवकल समीकरण है जिसमें अज्ञात बहुभिन्नरूपी कार्य और उनके आंशिक व्युत्पन्न सम्मिलित हैं। (यह सामान्य अवकल समीकरणों के विपरीत है, जो एक चर और उनके व्युत्पन्न के फलनों से निपटते हैं।) पीडीई का उपयोग कई चर के फलनों से संबंधित समस्याओं को तैयार करने के लिए किया जाता है, और या तो संवृत रूप में हल किया जाता है, या एक प्रासंगिक कंप्यूटर नमूना बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

पीडीई का उपयोग प्रकृति में विभिन्न प्रकार की घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है जैसे ध्वनि, ऊष्मा, स्थिर विद्युतिकी, विद्युत् गतिकी, द्रव प्रवाह, प्रत्यास्थता या क्वांटम यांत्रिकी। पीडीई के संदर्भ में इन अलग-अलग भौतिक घटनाओं को समान रूप से औपचारिक रूप दिया जा सकता है। जिस तरह साधारण अवकल समीकरण प्रायः एक-आयामी गतिशील प्रणालियों का मॉडल बनाते हैं, उसी तरह आंशिक अवकल समीकरण प्रायः बहुआयामी प्रणालियों का मॉडल करते हैं। प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण मॉडलिंग यादृच्छिकता के लिए आंशिक अवकल समीकरणों का सामान्यीकरण करते हैं।

अरैखिक अवकल समीकरण

Main article: अरैखिक अवकल समीकरण

एक अरैखिक अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्न में रैखिक समीकरण नहीं है (फलन के तर्कों में रैखिकता या अरैखिकता पर विचार नहीं किया जाता है)। अरैखिक अवकल समीकरणों को सटीक रूप से हल करने की बहुत कम विधियाँ हैं। जो ज्ञात हैं वे विशेष रूप से विशेष समरूपता वाले समीकरण पर निर्भर करते हैं। अरैखिक अवकल समीकरण विस्तारित समय अंतराल पर बहुत जटिल व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं, जो अराजकता की विशेषता है। यहां तक कि अरैखिक अवकल समीकरणों के लिए अस्तित्व, अद्वितीयता, और समाधानों की विस्तारशीलता के मौलिक प्रश्न, और अरैखिक पीडीई के लिए प्रारंभिक और सीमा मान समस्याओं की अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई कठिन समस्याएं हैं �