थीटा निर्वात

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, थीटा वैक्यूम गैर-एबेलियन समूह यांग-मिल्स सिद्धांत की अर्ध-शास्त्रीय राज्य कितना खाली है है | यांग-मिल्स सिद्धांत वैक्यूम कोण θ द्वारा निर्दिष्ट होते हैं जो तब उत्पन्न होता है जब राज्य को क्वांटम के रूप में लिखा जाता है टोपोलॉजी के अलग-अलग निर्वात राज्यों के एक अनंत सेट जितना कि सुपरइम्पोज़िशन वैक्यूम के गतिशील प्रभावों को θ-टर्म की उपस्थिति के माध्यम से लैग्रेंजियन यांत्रिकी में कैप्चर किया जाता है, जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में फ़ाइन-ट्यूनिंग (भौतिकी)भौतिकी) समस्या की ओर जाता है जिसे मजबूत सीपी समस्या के रूप में जाना जाता है। इसकी खोज 1976 में कर्टिस कैलन, आंटी रोजर डी और डेविड ग्रॉस ने की थी। और स्वतंत्र रूप से रोमन जैकिव और क्लाउडियो रेब्बी द्वारा।

यांग-मिल्स वैक्यूम

टोपोलॉजिकल वेकुआ

गैर-एबेलियन यांग-मिल्स सिद्धांतों की अर्ध-शास्त्रीय भौतिकी | अर्ध-शास्त्रीय वैक्यूम संरचना की जांच अक्सर गेज फिक्सिंग जैसे कुछ निश्चित गेज में बाती घुमाना में की जाती है $A_{0}=0$. इस सिद्धांत की शास्त्रीय जमीनी अवस्थाओं में एक लुप्त विद्युतचुंबकीय टेंसर होता है जो गेज सिद्धांत#शुद्ध गेज विन्यास से मेल खाता है $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$, जहां स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर $\Omega (x)$ गैर-एबेलियन गेज समूह (गणित) से संबंधित कुछ गेज परिवर्तन है $G$. यह सुनिश्चित करने के लिए कि क्रिया (भौतिकी) सीमित है, $\Omega (x)$ कुछ निश्चित मूल्य तक पहुँचता है $\Omega _{\infty }$ जैसा $|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty$. चूंकि स्थानिक अनंत पर सभी बिंदु अब एक एकल नए बिंदु, स्थानिक कई गुना के रूप में व्यवहार करते हैं $\mathbb {R} ^{3}$ 3-गोले के रूप में व्यवहार करता है $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ ताकि गेज क्षेत्र के लिए प्रत्येक शुद्ध गेज विकल्प को मैपिंग द्वारा वर्णित किया जा सके $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$. जब प्रत्येक जमीनी राज्य कॉन्फ़िगरेशन को चिकनाई गेज ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से हर दूसरे ग्राउंड स्टेट कॉन्फ़िगरेशन में आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है, तो सिद्धांत में एक एकल वैक्यूम स्टेट होता है, लेकिन यदि टोपोलॉजिकल रूप से अलग कॉन्फ़िगरेशन होते हैं तो इसमें एकाधिक रिक्तिका होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि दो अलग-अलग कॉन्फ़िगरेशन हैं जो सुचारू रूप से जुड़े नहीं हैं, तो एक को दूसरे में बदलने के लिए गैर-लुप्त क्षेत्र शक्ति टेंसर के साथ कॉन्फ़िगरेशन से गुजरना होगा, जिसमें गैर-शून्य ऊर्जा होगी। इसका मतलब यह है कि दोनों रिक्तिकाओं के बीच एक ऊर्जा अवरोध है, जो उन्हें अलग बनाता है।

यह प्रश्न कि क्या दो गेज विन्यासों को एक-दूसरे में आसानी से विकृत किया जा सकता है, मैपिंग के होमोटॉपी समूह द्वारा औपचारिक रूप से वर्णित किया गया है $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$. उदाहरण के लिए, गेज समूह $G={\text{SU}}(2)$ की अंतर्निहित विविधता है $S^{3}$ ताकि मैपिंग हो $\Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}$, जिसका एक समरूप समूह है $\pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z}$. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक मैपिंग के साथ कुछ पूर्णांक जुड़े होते हैं, जिन्हें इसकी वाइंडिंग संख्या कहा जाता है, जिसे इसके पोंट्रीगिन सूचकांक के रूप में भी जाना जाता है, यह मोटे तौर पर बताता है कि स्थानिक कितनी बार है $S^{3}$ समूह में मैप किया गया है $S^{3}$, फ़्लिप उन्मुखता के कारण होने वाली नकारात्मक वाइंडिंग के साथ। केवल समान वाइंडिंग संख्या वाले मैपिंग को एक-दूसरे में आसानी से विकृत किया जा सकता है और कहा जाता है कि वे समान होमोटॉपी वर्ग से संबंधित हैं। गेज परिवर्तन जो घुमावदार संख्या को संरक्षित करते हैं उन्हें छोटे गेज परिवर्तन कहा जाता है जबकि जो घुमावदार संख्या को बदलते हैं उन्हें बड़े गेज परिवर्तन कहा जाता है। अन्य गैर-एबेलियन गेज समूहों के लिए $G$ उनमें से किसी एक पर ध्यान केंद्रित करना पर्याप्त है ${\text{SU}}(2)$ उपसमूह, यह सुनिश्चित करना $\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$. ऐसा इसलिए है क्योंकि हर मैपिंग $S^{3}$ पर $G$ निरंतर फ़ंक्शन को मैपिंग में विकृत किया जा सकता है ${\text{SU}}(2)$ का उपसमूह $G$, एक परिणाम जो बॉटल आवधिकता प्रमेय से आता है। यह एबेलियन गेज समूहों के विपरीत है जहां हर मैपिंग होती है $S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ स्थिर मानचित्र में विकृत किया जा सकता है और इसलिए एक एकल कनेक्टेड वैक्यूम स्थिति है। गेज फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के लिए $A^{i}$, कोई हमेशा वॉल्यूम इंटीग्रल से इसकी वाइंडिंग संख्या की गणना कर सकता है जो टेम्पोरल गेज द्वारा दिया गया है

$n={\frac {ig^{3}}{24\pi ^{2}}}\int d^{3}r\ {\text{Tr}}(\epsilon _{ijk}A^{i}A^{j}A^{k}),$

कहाँ $g$ युग्मन स्थिरांक है. निर्वात के विभिन्न वर्ग अलग-अलग वाइंडिंग संख्याओं के साथ स्थित हैं $|n\rangle$ टोपोलॉजिकल वेकुआ के रूप में जाना जाता है।

थीटा वेकुआ

टोपोलॉजिकल वेकुआ यांग-मिल्स सिद्धांतों के उम्मीदवार वैक्यूम राज्य नहीं हैं क्योंकि वे बड़े गेज परिवर्तनों के eigenfunction नहीं हैं और इसलिए गेज अपरिवर्तनीय नहीं हैं। इसके बजाय राज्य पर कार्रवाई करें $|n\rangle$ बड़े गेज परिवर्तन के साथ $\Omega _{m}$ घुमावदार संख्या के साथ $m$ इसे एक अलग टोपोलॉजिकल वैक्यूम पर मैप करेगा $\Omega _{m}|n\rangle =|n+m\rangle$. वास्तविक निर्वात को छोटे और बड़े दोनों गेज परिवर्तनों का एक आदर्श होना चाहिए। इसी प्रकार बलोच प्रमेय|ब्लोच प्रमेय के अनुसार ईजेनस्टेट्स आवधिक क्षमता में जो रूप लेते हैं, निर्वात अवस्था टोपोलॉजिकल रिक्तिका का एक सुसंगत योग है

$|\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$