एकीकरण कारक

गणित में, समाकलन गुणक एक ऐसा फलन होता है जिसे किसी दिए गए अवकलन के साथ विभिन्न समीकरणों को हल करने के लिए चयनित किया जाता है। इसका उपयोग प्रायः सामान्य अवकलन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, परंतु इसका उपयोग बहुपरिवर्तनीय कलन के लिए भी किया जाता है जब एक समाकलन गुणक द्वारा गुणा करने से किसी अपरिमित अवकलन को एक सटीक अवकलन में परिवर्तित किया जा सकता है जिसे बाद में एक अदिश क्षेत्र देने के लिए समाकलित किया जा सकता है। यह ऊष्मप्रवैगिकी में विशेष रूप से उपयोगी है जहां तापमान, समाकलन गुणक बन जाता है जो एन्ट्रापी को सटीक अवकलन बनाता है।

प्रयोग

समाकलन गुणक, ऐसी अभिव्यक्ति है जिसे समाकलन की सुविधा के लिए एक अवकलन समीकरण से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, अरेखीय दूसरे क्रम का समीकरण

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}$

${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ को समाकलन गुणक के रूप में मानते हैं:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.$

एकीकृत करने के लिए, ध्यान दें कि समीकरण के दोनों पक्षों को श्रृंखला नियम के साथ पीछे जाकर व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).$

इसलिए,

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.$

जहाँ $C_{0}$ एक स्थिरांक है.

अनुप्रयोग के आधार पर यह रूप अधिक उपयोगी हो सकता है। चरों का पृथक्करण करने से निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होगा

$\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t$

यह एक अंतर्निहित फलन समाधान है जिसमें एक गैर-प्राथमिक समाकलन सम्मिलित है। सरल लोलक की अवधि को हल करने के लिए इसी विधि का उपयोग किया जाता है।

प्रथम कोटि रैखिक साधारण अवकल समीकरणों को हल करना

समाकलन गुणक सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिन्हें फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है