K3 सतह

3-स्पेस में एक चिकनी चतुर्थक सतह। यह आंकड़ा एक निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का हिस्सा दिखाता है।

Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of Kummer, Kähler, Kodaira and of the beautiful mountain K2 in Kashmir.

André Weil (1958, p. 546), describing the reason for the name "K3 surface"

गणित में, एक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह एक तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का एक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल अनेक गुना है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर एक (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है एक चिकनी योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। एक सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है

$x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0$

जटिल प्रक्षेप्य स्थान में|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान।

द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल तोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स (और हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना आसान है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के बीच, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय किस्में माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन किस्मों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। एक जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह चिकनी 4-कई गुना के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को Kac-Moody बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर लागू किया गया है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के हिस्से के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के बारे में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय किस्मों में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

परिभाषा

K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान तरीके हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली एकमात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 सतहें और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए बाद वाले को छोड़कर किसी भी शर्त को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह एक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के एक सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित करने के बराबर है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप | 2-फॉर्म है। (बाद वाली शर्त बिल्कुल यही कहती है कि विहित बंडल तुच्छ है।)

परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। (एक बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य किस्म है।) या कोई K3 सतहों को चिकनी होने के बजाय डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति दे सकता है।

बेटी संख्या की गणना

एक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है। (एक समान तर्क एल-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल $K_{X}=\Omega _{X}^{2}$ तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम $h^{1}(X,O_{X})$ सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का $H^{1}(X,O_{X})$) शून्य है. सेरे द्वैत द्वारा,

$h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.$

परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या होलोमोर्फिक यूलर विशेषता) है:

$\chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.$

दूसरी ओर, सतहों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय|रीमैन-रोच प्रमेय (नोएदर का सूत्र) कहता है:

$\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),$

कहाँ $c_{i}(X)$ स्पर्शरेखा बंडल का i-वाँ चेर्न वर्ग है। तब से $K_{X}$ तुच्छ है, इसकी पहली चेर्न क्लास $c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)$ शून्य है, इत्यादि $c_{2}(X)=24$.

अगला, घातीय अनुक्रम $0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0$ कोहोमोलोजी समूहों का सटीक क्रम देता है $0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})$, इसलिए $H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0$. इस प्रकार बेट्टी संख्या $b_{1}(X)$ शून्य है, और पोंकारे द्वंद्व द्वारा, $b_{3}(X)$ शून्य भी है. आखिरकार, $c_{2}(X)=24$ टोपोलॉजिकल यूलर विशेषता के बराबर है

$\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(X)$