P-एडिक संख्या

3-एडिक पूर्णांक, उनके पोंट्रीगिन दोहरे समूह पर चयनित संगत वर्णों के साथ

गणित में, किसी भी अभाज्य संख्या p के लिए p-एडिक संख्या प्रणाली परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित को वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या प्रणालियों तक विस्तारित करता है। विस्तार निकटता या पूर्ण मान के अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो p-एडिक संख्याओं को तब संवृत माना जाता है जब उनका अंतर p के उच्च घातांक द्वारा विभाज्य होता है: घातांक जितना अधिक होगा, p-एडिक संख्या उतनी ही संवृत्त होगी। यह संपत्ति पी-एडिक संख्याओं के एकरूपता जानकारी को इस तरह से कूटबद्ध करने में सक्षम बनाती है जिससे संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोग हो सकते है। उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में इसका प्रयोग किया जा सकता है।

इन संख्याओं का वर्णन, सबसे पहले 1897 में कर्ट हेन्सल द्वारा किया गया था, यद्यपि, पीछे से देखने पर, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ प्रयोगों की व्याख्या पी-एडिक संख्याओं का उपयोग करके की जा सकती है।

पी-एडिक संख्याएँ मुख्य रूप से घातांक श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को संख्या सिद्धांत में लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे भी कहीं आगे तक प्रसारित हो गया है। उदाहरण के लिए, पी-एडिक विश्लेषण का क्षेत्र अनिवार्य रूप से गणना के लिए एक वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य संख्या p के लिए, p-एडिक संख्याओ का क्षेत्र Q_p, परिमेय संख्याओं का एक पूर्ण स्थान है। क्षेत्र Q_p को मीट्रिक स्थान से प्राप्त एक संस्थानिक समष्टि भी दी जाती है, जो स्वयं p-एडिक क्रम से प्राप्त होता है। यह संस्थानिक समष्टि परिमेय संख्याओं का एक वैकल्पिक मूल्यांकन है। यह मीट्रिक समष्टि इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम Q_p में एक बिंदु पर अभिसरित होता है। यही वह है जो Q_p पर गणना सिद्धांत के विकास की अनुमति देता है, तथा यह इस विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो देता है जो पी-एडिक संख्या प्रणालियों को उनकी शक्ति और उपयोगिता प्रदान करती है। p-एडिक में p एक चर है और इसे अभाज्य (उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्याएँ उत्पन्न करने वाला) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी अन्य व्यंजकों से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। p-एडिक का एडिक डायडिक या ट्रायडिक जैसे शब्दों में पाए जाने वाले एडिक अंत से प्राप्त होता है।

परिमेय संख्याओं का पी-एडिक विस्तार

किसी धनात्मक परिमेय संख्या $r$ का दशमलव विस्तार को निम्नलिखित श्रृंखला के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

$r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},$

जहाँ $k$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $a_{i}$ भी एक पूर्णांक इस प्रकार है की $0\leq a_{i}<10$ है। इस विस्तार की गणना अंश को हर से लंबे विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि $r={\tfrac {n}{d}}$ एक परिमेय संख्या है जहाँ $10^{k}\leq r<10^{k+1},$ एक अन्य पूर्णांक $a$ है ऐसा है कि $0<a<10,$ और $r=a\,10^{k}+r',$ साथ $r'<10^{k}.$ इस परिणाम को शेषफल पर बार-बार लागू करके दशमलव विस्तार प्राप्त किया जाता है जो पुनरावृत्ति में मूल परिमेय संख्या की भूमिका ग्रहण करता है। किसी परिमेय संख्या का एडिक विस्तार समान रूप से परंतु एक अलग विभाजन चरण के साथ परिभाषित किया जाता है। अधिक सटीक रूप से, एक परिमित अभाज्य संख्या $p$ दी गई है , प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या $r$ विशिष्ट रूप $r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ से लिखा जा सकता है जहाँ $k$ एक (संभवतः नकारात्मक) पूर्णांक है, $n$ और $d$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं जिनके साथ दोनों सहअभाज्य $p$, और $d$ सकारात्मक है। पूर्णांक $k$, $r$ का p-एडिक मूल्यांकन है, जिसे $v_{p}(r),$