द्विक भाज्य

डबल फैक्टोरियल को दो बार दोहराए गए फैक्टोरियल फ़ंक्शन के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए (sequence A000197 in the OEIS), जिसे इस प्रकार लिखा गया है $(n!)!$, not $n!!$.

छह बिंदुओं पर पंद्रह अलग-अलग कॉर्ड आरेख (गणित), या छह-शीर्ष पूर्ण ग्राफ़ पर समकक्ष पंद्रह अलग-अलग पूर्ण मिलान। इन्हें दोहरा फैक्टोरियल द्वारा गिना जाता है 15 = (6 − 1)‼.

गणित में, किसी संख्या का दोहरा भाज्य n, द्वारा चिह्नित n‼, तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों n का गुणनफल है जिसमें समता (गणित) (विषम या सम)n के समान होटी है

$$n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .$$

पुनर्कथित, यह कहता है कि सम n के लिए , दोहरा फैक्टोरियल है

$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,$$

जबकि विषम n के लिए यह है

$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.$$

उदाहरण के लिए, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. शून्य दोहरा फैक्टोरियल 0‼ = 1 उत्पाद के रूप में सम के लिए दोहरे भाज्यों का क्रम n = 0, 2, 4, 6, 8,... के रूप में प्रारंभ होता है

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, ... (sequence A000165 in the OEIS)

विषम के लिए दोहरे भाज्यों का क्रम n = 1, 3, 5, 7, 9,... के रूप में प्रारंभ होता है

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ... (sequence A001147 in the OEIS)

विषम भाज्य शब्द का प्रयोग कभी-कभी किसी विषम संख्या के दोहरे भाज्य के लिए किया जाता है।

इतिहास और उपयोग

1902 के पेपर में, भौतिक विज्ञानी आर्थर शूस्टर ने लिखा था:

वैकल्पिक कारकों के उत्पाद के लिए एक अलग प्रतीक की प्रारंभ से इस पेपर के परिणामों का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व बहुत सुविधाजनक हो गया है, $n\cdot n-2\cdot n-4\cdots 1$, if $n$ be odd, or $n\cdot n-2\cdots 2$ if $n$ be odd [sic]. मैं लिखने का प्रस्ताव करता हूं $n!!$ ऐसे उत्पादों के लिए, और यदि उत्पाद के लिए किसी नाम की आवश्यकता हो तो उसे "वैकल्पिक फ़ैक्टोरियल" या "डबल फ़ैक्टोरियल" कहा जा सकता है।

मेज़र्व (1948) बताता है कि दोहरा फैक्टोरियल को मूल रूप से वालिस उत्पाद की व्युत्पत्ति में उत्पन्न होने वाले त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की कुछ सूची की अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए प्रस्तुत किया गया था। एन-गोले के आयतन को व्यक्त करने में दोहरा फैक्टोरियल भी उत्पन्न होते हैं, और गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स में उनके कई अनुप्रयोग हैं। वे विद्यार्थी के t-वितरण छात्र में होते हैं , चूँकि विलियम सीली गॉसमुच्चय ने दोहरे विस्मयादिबोधक बिंदु संकेतन का उपयोग नहीं किया गया था।

फैक्टोरियल से संबंध

क्योंकि दोहरा फैक्टोरियल में साधारण फैक्टोरियल के केवल आधे कारक सम्मिलित होते हैं, इसका मूल्य फैक्टोरियल के वर्गमूल n! से अधिक बड़ा नहीं होता है , और यह पुनरावृत्त फैक्टोरियल (n!)! से बहुत छोटा है .

एक सकारात्मक का भाज्य n को दो दोहरे फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:

$$n!=n!!\cdot (n-1)!!\,,$$

और इसलिए

$$n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,$$

जहां प्रत्येक अंश में अवांछित कारकों को निरस्त कर देता है। (अंतिम फॉर्म तब भी प्रयुक्त होता है जब n = 0.)

सम गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए n = 2k साथ k ≥ 0, दोहरे भाज्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$(2k)!!=2^{k}k!\,.$$

विषम के लिए n = 2k − 1 साथ k ≥ 1, पिछले दो सूत्रों को मिलाकर परिणाम प्राप्त होते हैं

$$(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}\,.$$

एक विषम धनात्मक पूर्णांक n = 2k − 1 के साथ k ≥ 1 के लिए, दोहरे भाज्य को 2k के k-क्रमपरिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$(2k-<!--\; -\; -->1)!!=\frac{{}_2}{}$$