गाऊसी समाकल (गॉसियन इंटीग्रल)

This integral from statistics and physics is not to be confused with Gaussian quadrature, a method of numerical integration.

फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ $f(x)=e^{-x^{2}}$ और इसके और के बीच का क्षेत्र $x$-अक्ष, (अर्थात संपूर्ण वास्तविक रेखा) जो के बराबर है ${\sqrt {\pi }}$.

गाऊसी इंटीग्रल, जिसे यूलर-पॉइसन इंटीग्रल के रूप में भी जाना जाता है, गाऊसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग है $f(x)=e^{-x^{2}}$ संपूर्ण वास्तविक रेखा पर. इंटीग्रल का नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$$

अब्राहम डी मोइवरे ने मूल रूप से इस प्रकार के इंटीग्रल की खोज 1733 में की थी, जबकि गॉस ने सटीक इंटीग्रल को 1809 में प्रकाशित किया था। इंटीग्रल में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, चरों में थोड़े से परिवर्तन के साथ इसका उपयोग सामान्य वितरण के सामान्यीकरण स्थिरांक की गणना करने के लिए किया जाता है। परिमित सीमाओं के साथ समान अभिन्न अंग त्रुटि फ़ंक्शन और सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन दोनों से निकटता से संबंधित है। भौतिकी में इस प्रकार का अभिन्न अंग अक्सर दिखाई देता है, उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में, हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की संभाव्यता घनत्व का पता लगाने के लिए। इस इंटीग्रल का उपयोग पथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन में, हार्मोनिक ऑसिलेटर के प्रोपेगेटर को खोजने के लिए और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, इसके विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को खोजने के लिए भी किया जाता है।

हालाँकि त्रुटि फ़ंक्शन के लिए कोई प्राथमिक फ़ंक्शन मौजूद नहीं है, जैसा कि जोखिम एल्गोरिथ्म द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, गॉसियन इंटीग्रल को बहुचरीय कलन के तरीकों के माध्यम से विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है। अर्थात्, इसके लिए कोई प्रारंभिक अनिश्चित अभिन्न अंग नहीं है

$$\int e^{-x^{2}}\,dx,$$

लेकिन निश्चित अभिन्न

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$$

मूल्यांकन किया जा सकता है. एक मनमाना गाऊसी फ़ंक्शन का निश्चित अभिन्न अंग है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.$$

गणना

ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा

गॉसियन इंटीग्रल की गणना करने का एक मानक तरीका, जिसका विचार पॉइसन से मिलता है, उस संपत्ति का उपयोग करना है जो:

$$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dx\,dy.$$

फ़ंक्शन पर विचार करें $e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}=e^{-r^{2}}$विमान पर $\mathbb {R} ^{2}$, और इसके अभिन्न दो तरीकों की गणना करें:

1. एक ओर, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दोहरे एकीकरण द्वारा, इसका अभिन्न अंग एक वर्ग है:
   $$\left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};$$
2. दूसरी ओर, शेल एकीकरण (ध्रुवीय निर्देशांक में दोहरे एकीकरण का मामला) द्वारा, इसके अभिन्न अंग की गणना की जाती है $\pi$

इन दोनों गणनाओं की तुलना करने से अभिन्न प्राप्त होता है, हालांकि इसमें शामिल अनुचित अभिन्नों के बारे में ध्यान रखना चाहिए।

$${\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\pi \left(e^{0}-e^{-\infty }\right)\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}$$

का कारक कहां है r जैकोबियन निर्धारक है जो विहित समन्वय परिवर्तनों की सूची के कारण प्रकट होता है (r dr dθ समतल पर मानक माप है, जिसे ध्रुवीय निर्देशांक विकीबुक्स:कैलकुलस/पोलर इंटीग्रेशन#सामान्यीकरण में व्यक्त किया गया है, और प्रतिस्थापन में लेना शामिल है s = −r², इसलिए ds = −2r dr.

इन पैदावारों का संयोजन

$$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,$$

इसलिए

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$$

संपूर्ण प्रमाण

अनुचित दोहरे इंटीग्रल्स को सही ठहराने और दो अभिव्यक्तियों को बराबर करने के लिए, हम एक अनुमानित फ़ंक्शन से शुरू करते हैं:

$$I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx.$$

यदि अभिन्न

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$$

यदि हम पूरी तरह से अभिसरण होते तो हमें यह पता चलता कि इसका कॉची प्रमुख मूल्य, यानी सीमा है

$$\lim _{a\to \infty }I(a)$$

के साथ मेल खाएगा

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.$$

यह देखने के लिए कि यह मामला है, उस पर विचार करें

$$\int _{-\infty }^{\infty }\left|e^{-x^{2}}\right|dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx<\infty .$$

तो हम गणना कर सकते हैं

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$$

बस सीमा लेकर

$$\lim _{a\to \infty }I(a).$$

का वर्ग लेना $I(a)$ पैदावार

$${\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\,dx.\end{aligned}}$$

फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करते हुए, उपरोक्त दोहरे समाकलन को एक क्षेत्र समाकलन के रूप में देखा जा सकता है

$$\iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,d(x,y),$$

शीर्षों वाले एक वर्ग पर कब्जा कर लिया {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} कार्तीय तल पर।

चूँकि सभी वास्तविक संख्याओं के लिए घातांकीय फलन 0 से अधिक है, तो इसका मतलब यह है कि वर्ग के अंतःवृत्त पर लिया गया अभिन्न अंग इससे कम होना चाहिए $I(a)^{2}$, और इसी प्रकार वर्ग के परिवृत्त पर लिया गया अभिन्न अंग इससे बड़ा होना चाहिए $I(a)^{2}$. कार्टेशियन निर्देशांक से विहित समन्वय परिवर्तनों की सूची में स्विच करके दो डिस्क पर इंटीग्रल्स की गणना आसानी से की जा सकती है:

$${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}$$

$$\mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}$$

$$d(x,y)=|J(r,\theta )|d(r,\theta )=r\,d(r,\theta ).$$

$$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta .$$

(ध्रुवीय परिवर्तन में सहायता के लिए विहित समन्वय परिवर्तनों की सूची देखें।)

एकीकरण,

$$\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)<I^{2}(a)<\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right).$$

निचोड़ प्रमेय के अनुसार, यह गाऊसी अभिन्न अंग देता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$$

कार्तीय निर्देशांक द्वारा

एक भिन्न तकनीक, जो लाप्लास (1812) से चली आ रही है,निम्नलखित में से कोई। होने देना

$${\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds.\end{aligned}}$$

चूँकि सीमाएँ हैं s जैसा y → ±∞ के संकेत पर निर्भर करता है x, यह इस तथ्य का उपयोग करने के लिए गणना को सरल बनाता है e^−x2 एक सम फलन है, और, इसलिए, सभी वास्तविक संख्याओं पर पूर्णांक शून्य से अनंत तक के पूर्णांक का केवल दोगुना है। वह है,

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.$$

इस प्रकार, एकीकरण की सीमा पर, x ≥ 0, और चर y और s की सीमाएँ समान हैं। यह प्रदान करता है:

$${\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}$$

फिर, एकीकरण के क्रम (कैलकुलस) को बदलने के लिए फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करना:

$${\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}}{-2\left(1+s^{2}\right)}}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2\arctan(s){\Big |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}$$

इसलिए, $I={\sqrt {\pi }}$, आशा के अनुसार।

लाप्लास की विधि से

लाप्लास सन्निकटन में, हम टेलर विस्तार में केवल दूसरे क्रम की शर्तों से निपटते हैं, इसलिए हम विचार करते हैं $e^{-x^{2}}\approx 1-x^{2}\approx (1+x^{2})^{-1}$.

दरअसल, तब से $(1+t)e^{-t}\leq 1$ सभी के लिए $t$, हमारे पास सटीक सीमाएँ हैं:

$$1-x^{2}\leq e^{-x^{2}}\leq (1+x^{2})^{-1}$$

फिर हम लाप्लास सन्निकटन सीमा पर बाध्य कर सकते हैं:

$$\int _{[-1,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-1,1]}e^{-nx^{2}}dx\leq \int _{[-1,1]}(1+x^{2})^{-n}dx$$

वह है,

$$2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-{\sqrt {n}},{\sqrt {n}}]}e^{-x^{2}}dx\leq 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1+x^{2})^{-n}dx$$

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा, हम उन दो सीमाओं की सटीक गणना करते हैं: $2{\sqrt {n}}(2n)!!/(2n+1)!!$ और $2{\sqrt {n}}(\pi /2)(2n-3)!!/(2n-2)!!$ वालिस सूत्र का वर्गमूल निकालने पर,

$${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}$$

अपने पास ${\sqrt {\pi }}=\lim _{n\to \infty }2{\sqrt {n}}{\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}$, वांछित ऊपरी सीमा। इसी प्रकार हम वांछित निचली सीमा प्राप्त कर सकते हैं। इसके विपरीत, यदि हम पहले उपरोक्त अन्य तरीकों में से किसी एक के साथ अभिन्न की गणना करते हैं, तो हमें वालिस सूत्र का प्रमाण प्राप्त होगा।

आयतन विधि

मान लीजिए, एक सकारात्मक स्थिरांक के लिए $c$,

$$\int _{-\infty }^{\infty }c\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)dx=1,$$

जो ये दर्शाता हे

$$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }c^{2}\exp \left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)dxdy=1.$$

होने देना

$$f(x,y)=c^{2}\exp \left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right).$$

इसलिए

$$f(x,0)=c^{2}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)$$

की प्रोफ़ाइल है $f(x,y)$ पर $y=0$. यह देखना आसान है कि क्षेत्र का आयतन नीचे है $f(x,y)$ और ऊपर दिए गए $z=0$, जो है $1$, क्षेत्र को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है, जो है $-2\pi \log(z/c^{2})$, मान की त्रिज्या वाले वृत्त का $x>0$ ऐसा है कि $f(x,0)=z$ बीच में $z=0$ और $z=c^{2}$. वह है

$$\int _{0}^{c^{2}}\pi \left(-2\log {\frac {z}{c^{2}}}\right)dz=1$$

या

$$-2\pi c^{2}\int _{0}^{1}\log(v)dv=1\quad \Longleftrightarrow \quad c^{2}={\frac {1}{2\pi }}.$$

गामा फ़ंक्शन से संबंध

इंटीग्रैंड एक सम कार्य है,

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$$

इस प्रकार, चर के परिवर्तन के बाद ${\textstyle x={\sqrt {t}}}$, यह यूलर इंटीग्रल में बदल जाता है

$$2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$$

कहाँ ${\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}$ गामा फ़ंक्शन है. इससे पता चलता है कि अर्ध-पूर्णांक का कारख़ाने का एक परिमेय गुणज क्यों है ${\textstyle {\sqrt {\pi }}}$. आम तौर पर अधिक,

$$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma \left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}},$$

जिसे प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $t=ax^{b}$ गामा फ़ंक्शन के इंटीग्रैंड में प्राप्त करने के लिए ${\textstyle \Gamma (z)=a^{z}b\int _{0}^{\infty }x^{bz-1}e^{-ax^{b}}dx}$.

सामान्यीकरण

गाऊसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग

Main article: Integral of a Gaussian function

एक मनमाना गाऊसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.$$

एक वैकल्पिक रूप है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}.$$

यह फॉर्म सामान्य वितरण से संबंधित कुछ निरंतर संभाव्यता वितरणों की अपेक्षाओं की गणना के लिए उपयोगी है, जैसे कि लॉग-सामान्य वितरण, उदाहरण के लिए।

एन-आयामी और कार्यात्मक सामान्यीकरण

Main article: multivariate normal distribution

मान लीजिए A एक सममित सकारात्मक-निश्चित है (इसलिए उलटा) n × n परिशुद्धता मैट्रिक्स, जो सहप्रसरण मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। तब,

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}$$

यह तथ्य बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के अध्ययन में लागू किया जाता है।

भी,

$$\int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}$$

जहां σ का क्रमपरिवर्तन है {1, …, 2N} और दाहिनी ओर का अतिरिक्त कारक सभी संयोजन युग्मों का योग है {1, …, 2N}ए की एन प्रतियों की⁻¹.

वैकल्पिक रूप से,

$$\int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum _{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}$$

कुछ विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन एफ के लिए, बशर्ते कि यह इसके विकास और कुछ अन्य तकनीकी मानदंडों पर कुछ उचित सीमाओं को पूरा करता हो। (यह कुछ कार्यों के लिए काम करता है और दूसरों के लिए विफल रहता है। बहुपद ठीक हैं।) एक अंतर ऑपरेटर पर घातांक को एक शक्ति श्रृंखला के रूप में समझा जाता है।

जबकि कार्यात्मक इंटीग्रल्स की कोई कठोर परिभाषा नहीं है (या ज्यादातर मामलों में एक गैर-कठोर कम्प्यूटेशनल भी), हम परिमित-आयामी मामले के अनुरूप एक गाऊसी कार्यात्मक इंटीग्रल को परिभाषित कर सकते हैं।हालाँकि, समस्या अभी भी है $(2\pi )^{\infty }$ अनंत है और साथ ही, कार्यात्मक निर्धारक भी सामान्य रूप से अनंत होगा। यदि हम केवल अनुपातों पर विचार करें तो इसका ध्यान रखा जा सकता है:

$$\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}\right)d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{\mathsf {T}}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.$$