हॉसडॉर्फ माप

गणित में, हॉसडॉर्फ़ माप क्षेत्र और आयतन की पारंपरिक धारणाओं का गैर-पूर्णांक आयामों, विशेष रूप से भग्न और उनके हॉसडॉर्फ़ आयामों का सामान्यीकरण है। यह एक प्रकार का बाहरी माप है, जिसका नाम फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ के नाम पर रखा गया है, जो प्रत्येक सेट को [0,∞] में एक संख्या निर्दिष्ट करता है। $\mathbb {R} ^{n}$ या, अधिक सामान्यतः, किसी भी मीट्रिक स्थान में।

शून्य-आयामी हॉसडॉर्फ माप सेट में अंकों की संख्या है (यदि सेट परिमित है) या ∞ यदि सेट अनंत है। इसी तरह, एक साधारण वक्र का एक आयामी हॉसडॉर्फ माप $\mathbb {R} ^{n}$ वक्र की लंबाई के बराबर है, और लेब्सग्यू माप के द्वि-आयामी हॉसडॉर्फ माप#लेब्सग्यू माप का निर्माण|लेब्सग्यू-मापने योग्य उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{2}$ सेट के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है. इस प्रकार, हॉसडॉर्फ माप की अवधारणा लेब्सेग माप और इसकी गिनती, लंबाई और क्षेत्र की धारणाओं को सामान्यीकृत करती है। यह वॉल्यूम को भी सामान्यीकृत करता है। वास्तव में, किसी भी d ≥ 0 के लिए d-आयामी हॉसडॉर्फ माप हैं, जो आवश्यक रूप से एक पूर्णांक नहीं है। ये माप ज्यामितीय माप सिद्धांत में मौलिक हैं। वे हार्मोनिक विश्लेषण या संभावित सिद्धांत में स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।

परिभाषा

होने देना $(X,\rho )$ एक मीट्रिक स्थान बनें. किसी भी उपसमुच्चय के लिए $U\subset X$, होने देना $\operatorname {diam} U$ इसके व्यास को निरूपित करें, अर्थात

$\operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0.$

होने देना $S$ का कोई उपसमुच्चय हो $X,$ और $\delta >0$ एक वास्तविक संख्या. परिभाषित करना

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},$

जहां अनंत सभी गणनीय आवरणों के ऊपर है $S$ सेट द्वारा $U_{i}\subset X$ संतुष्टि देने वाला $\operatorname {diam} U_{i}<\delta$.

ध्यान दें कि $H_{\delta }^{d}(S)$ में एकरसता नहीं बढ़ रही है $\delta$ बड़े के बाद से $\delta$ है, सेटों के जितने अधिक संग्रह की अनुमति है, न्यूनतम उतना बड़ा नहीं है। इस प्रकार, $\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ मौजूद है लेकिन अनंत हो सकता है। होने देना

$H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).$

यह देखा जा सकता है $H^{d}(S)$ एक बाहरी माप है (अधिक सटीक रूप से, यह एक मीट्रिक बाहरी माप है)। कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के अनुसार, बाहरी माप#औपचारिक परिभाषाओं|कैराथोडोरी-मापने योग्य सेट के σ-क्षेत्र पर इसका प्रतिबंध एक माप है। इसे कहा जाता है $d$-आयामी हॉसडॉर्फ माप $S$. मीट्रिक बाहरी माप गुण के कारण, सभी बोरेल उपसमुच्चय $X$ हैं $H^{d}$ मापने योग्य.

उपरोक्त परिभाषा में आवरण में सेट मनमाने हैं। हालाँकि, हमें कवरिंग सेट को खुला या बंद करने की आवश्यकता हो सकती है, या सामान्य स्थानों में भी उत्तल होना चाहिए, जिससे वही परिणाम मिलेगा $H_{\delta }^{d}(S)$ संख्याएँ, इसलिए वही माप। में $\mathbb {R} ^{n}$ कवरिंग सेट को गेंद तक सीमित रखने से माप बदल सकते हैं लेकिन मापे गए सेट का आयाम नहीं बदलता है।

हॉसडॉर्फ माप के गुण

ध्यान दें कि यदि d एक धनात्मक पूर्णांक है, तो d-आयामी हॉसडॉर्फ माप $\mathbb {R} ^{d}$ सामान्य डी-आयामी लेबेस्ग्यू माप का पुनर्स्केलिंग है $\lambda _{d}$, जिसे सामान्यीकृत किया गया है ताकि इकाई घन का लेबेस्ग माप [0,1]^d1 है। वास्तव में, किसी भी बोरेल सेट E के लिए,

$\lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),$

जहां α_d इकाई N-sphere|d-ball का आयतन है; इसे गामा फ़ंक्शन|यूलर के गामा फ़ंक्शन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_d=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}{\left(\frac{1}{2}\right)}^d}{}$