सामान्य (गणित)

This article is about norms of normed vector spaces. For field theory, see Field norm. For ideals, see Ideal norm. For group theory, see Norm (group). For norms in descriptive set theory, see prewellordering.

गणित में, एक मानक एक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या सदिश स्थान से गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं तक एक फ़ंक्शन (गणित) है जो उत्पत्ति (गणित) से दूरी जैसे कुछ तरीकों से व्यवहार करता है: यह स्केलिंग के साथ समतुल्य मानचित्र, एक का पालन करता है त्रिभुज असमानता का रूप, और केवल मूल बिंदु पर शून्य है। विशेष रूप से, मूल से एक वेक्टर की यूक्लिडियन दूरी एक मानदंड है, जिसे #यूक्लिडियन मानदंड या #p-norm|2-norm कहा जाता है, जिसे स्वयं के साथ एक सदिश स्थल आंतरिक उत्पाद के वर्गमूल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। .

एक सेमिनोर्म मानक के पहले दो गुणों को संतुष्ट करता है, लेकिन मूल के अलावा अन्य वैक्टरों के लिए शून्य हो सकता है। एक विशिष्ट मानदंड के साथ एक सदिश स्थान को एक आदर्श सदिश स्थान कहा जाता है। इसी तरह से, सेमिनॉर्म वाली सदिश समष्टि को सेमिनोर्म सदिश समष्टि कहते हैं।

'स्यूडोनॉर्म' शब्द का प्रयोग कई संबंधित अर्थों के लिए किया गया है। यह सेमिनॉर्म का पर्यायवाची हो सकता है। एक असमानता द्वारा प्रतिस्थापित समानता के साथ, एक छद्म मानदंड समान स्वयंसिद्धों को एक मानक के रूप में संतुष्ट कर सकता है$\,\leq \,$एकरूपता स्वयंसिद्ध में। यह एक मानदंड का भी उल्लेख कर सकता है जो अनंत मान ले सकता है, या निर्देशित सेट द्वारा पैरामीट्रिज्ड कुछ कार्यों के लिए।

परिभाषा

एक सदिश स्थान दिया गया है $X$ फील्ड एक्सटेंशन पर $F$ जटिल संख्याओं का $\mathbb {C} ,$ एक मानदंड चालू $X$ एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है $p:X\to \mathbb {R}$ निम्नलिखित गुणों के साथ, कहाँ $|s|$ एक अदिश के सामान्य निरपेक्ष मान को दर्शाता है $s$:

1. उप-योगात्मक कार्य / त्रिभुज असमानता: $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ सबके लिए $x,y\in X.$
2. सजातीय कार्य : $p(sx)=\left|s\right|p(x)$ सबके लिए $x\in X$ और सभी स्केलर्स $s.$
3. सकारात्मक निश्चितता /Point-separating: सबके लिए $x\in X,$ यदि $p(x)=0$ तब $x=0.$
   • क्योंकि गुण (2.) का तात्पर्य है $p(0)=0,$ कुछ लेखक गुण (3.) को समतुल्य स्थिति से प्रतिस्थापित करते हैं: प्रत्येक के लिए $x\in X,$ $p(x)=0$ अगर और केवल अगर $x=0.$

एक सेमिनार चालू $X$ एक कार्य है $p:X\to \mathbb {R}$ जिसमें गुण हैं (1.) और (2.) ताकि विशेष रूप से, प्रत्येक मानदंड भी एक सेमिनोर्म (और इस प्रकार एक सबलाइनियर कार्यात्मक) भी हो। हालाँकि, ऐसे सेमिनोर्म मौजूद हैं जो मानदंड नहीं हैं। गुण (1.) और (2.) का अर्थ है कि यदि $p$ एक मानक (या अधिक आम तौर पर, एक सेमिनोर्म) है $p(0)=0$ और कि $p$ निम्नलिखित संपत्ति भी है:

2. नकारात्मक|गैर-नकारात्मकता: $p(x)\geq 0$ सबके लिए $x\in X.$</ली>

कुछ लेखकों ने मानक की परिभाषा के भाग के रूप में गैर-नकारात्मकता को शामिल किया है, हालांकि यह आवश्यक नहीं है।

समतुल्य मानदंड

लगता है कि $p$ और $q$ सदिश स्थान पर दो मानदंड (या सेमिनोर्म) हैं $X.$ फिर $p$ और $q$ समतुल्य कहलाते हैं, यदि दो सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक मौजूद हों $c$ और $C$ साथ $c>0$ ऐसा है कि हर वेक्टर के लिए $x\in X,$

$$cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).$$

रिश्ता$p$ के बराबर है $q$स्वतुल्य संबंध है, सममित संबंध ($cq\leq p\leq Cq$ तात्पर्य ${\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p$), और सकर्मक संबंध और इस प्रकार सभी मानदंडों के सेट पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है $X.$ मानदंड $p$ और $q$ समतुल्य हैं यदि और केवल यदि वे समान टोपोलॉजी को प्रेरित करते हैं $X.$