एकात्मक भाजक

गणित में, प्राकृतिक संख्या a संख्या b का 'एकात्मक भाजक' (या 'हॉल विभाजक') है यदि a, b का भाजक है और यदि a और ${\frac {b}{a}}$ सहअभाज्य हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है। इस प्रकार, 5, 60 का एकात्मक भाजक है, क्योंकि 5 और ${\frac {60}{5}}=12$ में उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में केवल 1 है, जबकि 6 भाजक है, किंतु 60 का एकात्मक विभाजक नहीं है, क्योंकि 6 और ${\frac {60}{6}}=10$ में 1 के अतिरिक्त 2 उभयनिष्ठ भाजक है। प्रत्येक प्राकृत संख्या का एकात्मक भाजक है।

समान रूप से, b का विभाजक एकात्मक भाजक है यदि केवल a के प्रत्येक अभाज्य कारक में वही बहुलता है जो b में है।

योग का एकात्मक भाजक फलन को लोअरकेस ग्रीक अक्षर सिग्मा द्वारा इस प्रकार σ*(n) दर्शाया गया है। एकात्मक विभाजकों की k-वें घातांक का योग σ*_k(n) द्वारा निरूपित किया जाता है:

$\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

यदि किसी दी गई संख्या के उचित एकात्मक भाजक का योग उस संख्या के समान हो, तो वह संख्या एकात्मक पूर्ण संख्या कहलाती है।

एकात्मक भाजक की अवधारणा आर. वैद्यनाथस्वामी (1931) [गुणात्मक अंकगणितीय कार्यों का सिद्धांत] से उत्पन्न हुई है। अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी के लेन-देन, 33(2), 579--662] जिन्होंने ब्लॉक डिवाइज़र शब्द का प्रयोग किया।

गुण

संख्या n के एकात्मक भाजकों की संख्या 2^k है, जहाँ k, n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक N > 1 भिन्न-भिन्न अभाज्य संख्याओं p की धनात्मक शक्तियों p^r_p का गुणनफल है। इस प्रकार N का प्रत्येक एकात्मक भाजक, p ∈ S के लिए अभाज्य घात P^r_p का, N के अभाज्य भाजक {p} के दिए गए उपसमुच्चय S का गुणनफल है, यदि k अभाज्य गुणनखंड हैं, तो वास्तव में 2^k उपसमुच्चय S हैं, और कथन इस प्रकार है।

n के एकात्मक विभाजकों का योग समता (गणित) है यदि n 2 की शक्ति है (1 सहित), और समता (गणित) अन्यथा।

n के एकात्मक विभाजकों की गिनती और योग दोनों ही n के गुणक कार्य हैं जो पूरी तरह से गुणक नहीं हैं। डिरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन है

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.$

n का प्रत्येक विभाजक एकात्मक है यदि और केवल यदि n वर्ग-मुक्त पूर्णांक | वर्ग-मुक्त है।

विषम एकात्मक भाजक

विषम एकात्मक भाजक की k-वें घात का योग है

$\sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

यह ड्यूरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन के साथ गुणक भी है

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.$

द्वि-एकात्मक विभाजक

n का एक भाजक d एक 'द्वि-एकात्मक भाजक' है यदि d और n/d का सबसे बड़ा सामान्य एकात्मक भाजक 1 है। यह अवधारणा डी। सूर्यनारायण (1972) से उत्पन्न हुई है। [द थ्योरी ऑफ़ अरिथमेटिक फ़ंक्शंस, लेक्चर नोट्स इन मैथमैटिक्स 251: 273–282, न्यूयॉर्क, स्प्रिंगर-वर्लाग] में एक पूर्णांक के द्वि-एकात्मक विभाजकों की संख्या।

n के द्वि-एकात्मक विभाजकों की संख्या एक अंकगणितीय फ़ंक्शन के औसत क्रम के साथ n का गुणक कार्य है $A\log x$ कहाँ

$A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .$

एक द्वि-एकात्मक पूर्ण संख्या अपने द्वि-एकात्मक विभाजक भाजक के योग के बराबर होती है। केवल ऐसी संख्याएँ 6, 60 और 90 हैं।

ओईआईएस अनुक्रम

• OEIS: A034444 is σ^*₀(n) 
•  OEIS: A034448 is σ^*₁(n) 
•  OEIS: A034676 to OEIS: A034682 are σ^*₂(n) to σ^*₈(n) 
•  OEIS: A068068 is σ^(o)*₀(n) 
•  OEIS: A192066 is σ^(o)*₁(n) 
•  OEIS: A064609 is $\sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)$

संदर्भ

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. p. 84. ISBN 0-387-20860-7. Section B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. ISBN 0-387-98911-0.
• Cohen, Eckford (1959). "A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion". Pacific J. Math. 9 (1): 13–23. doi:10.2140/pjm.1959.9.13. MR 0109806.
• Cohen, Eckford (1960). "Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer". Mathematische Zeitschrift. 74: 66–80. doi:10.1007/BF01180473. MR 0112861. S2CID 53004302.
• Cohen, Eckford (1960). "The number of unitary divisors of an integer". American Mathematical Monthly. 67 (9): 879–880. doi:10.2307/2309455. JSTOR 2309455. MR 0122790.