फिशर संसूचना

गणितीय आँकड़ों में, फ़िशर जानकारी (कभी-कभी केवल सूचना कहलाती है) जानकारी की मात्रा को मापने का प्रकार है जो प्रेक्षण योग्य यादृच्छिक चर X वितरण के अज्ञात पैरामीटर θ के मॉडल X के विषय में होता है। औपचारिक रूप से, यह स्कोर की भिन्नता है, या देखी गई जानकारी का अपेक्षित मूल्य होता है।

सांख्यिकीविद् रोनाल्ड फिशर (फ्रांसिस यसिड्रो एडगेवर्थ द्वारा कुछ प्रारंभिक परिणामों के पश्चात) द्वारा अधिकतम-संभावना अनुमान के स्पर्शोन्मुख सिद्धांत में फिशर जानकारी की भूमिका पर जोर दिया गया था। फिशर जानकारी आव्यूह का उपयोग अधिकतम-संभावना अनुमानों से जुड़े सहप्रसरण आव्यूह की गणना करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग परीक्षण आँकड़ों के निर्माण में जैसे वाल्ड परीक्षण किया जा सकता है।

बायेसियन सांख्यिकी में, फिशर की जानकारी जेफ़रीज़ के नियम के अनुसार गैर-सूचनात्मक पूर्व वितरणों की व्युत्पत्ति में भूमिका निभाती है। यह पश्च वितरण के बड़े-प्रारूप सहप्रसरण के रूप में भी प्रकट होता है, नियम यह है कि पूर्व पर्याप्त रूप से सुचारू हो (परिणाम जिसे बर्नस्टीन-वॉन मिज़ प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जिसे घातीय परिवारों के लिए लाप्लास द्वारा प्रत्याशित किया गया था)। लाप्लास के सन्निकटन के साथ पोस्टीरियर का अनुमान लगाते समय उसी परिणाम का उपयोग किया जाता है, जहां फिशर की जानकारी फिटेड गॉसियन के सहप्रसरण के रूप में दिखाई देती है।

वैज्ञानिक प्रकृति (भौतिक, जैविक, आदि) की सांख्यिकीय प्रणालियाँ जिनके संभावित कार्य शिफ्ट-इनवेरिएंट का पालन करते हैं, उन्हें अधिकतम फिशर जानकारी का पालन करने के लिए दिखाया गया है। अधिकतम का स्तर प्रणाली बाधाओं की प्रकृति पर निर्भर करता है।

परिभाषा

फ़िशर सूचना सूचना की मात्रा को मापने का तरीका है जो अवलोकन योग्य यादृच्छिक चर है $X$ अज्ञात पैरामीटर के बारे में वहन करता है $\theta$ जिस पर की संभावना है $X$ निर्भर करता है। होने देना $f(X;\theta )$ के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (या प्रायिकता द्रव्यमान फलन) हो $X$ के मूल्य पर वातानुकूलित $\theta$. यह संभावना का वर्णन करता है कि हम दिए गए परिणाम का निरीक्षण करते हैं $X$, का ज्ञात मान दिया गया है $\theta$. अगर $f$ में परिवर्तनों के संबंध में तेजी से चरम पर है $\theta$, के सही मान को इंगित करना आसान है $\theta$ डेटा से, या समकक्ष, कि डेटा $X$ पैरामीटर के बारे में बहुत सारी जानकारी प्रदान करता है $\theta$. अगर $f$ समतल और फैला हुआ है, तो यह कई नमूने लेगा $X$ के वास्तविक वास्तविक मूल्य का अनुमान लगाने के लिए $\theta$ जो पूरी आबादी के नमूने का उपयोग करके प्राप्त किया जाएगा। यह किसी प्रकार के विचरण के संबंध में अध्ययन करने का सुझाव देता है $\theta$.

औपचारिक रूप से, के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न $\theta$ प्रायिकता फलन के प्राकृतिक लघुगणक को स्कोर (सांख्यिकी) कहा जाता है। कुछ नियमितता शर्तों के तहत, यदि $\theta$ सही पैरामीटर है (यानी $X$ वास्तव में के रूप में वितरित किया जाता है $f(X;\theta )$), यह दिखाया जा सकता है कि स्कोर का अपेक्षित मूल्य (पहला क्षण (गणित)), सही पैरामीटर मान पर मूल्यांकन किया गया $\theta$, 0 है: :${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(X;\theta )\right|\theta \right]={}&\int _{\mathbb {R} }{\frac {{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )\,dx\\[3pt]={}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\,dx\\[3pt]={}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}1\\={}&0.\end{aligned}}$ फिशर जानकारी को स्कोर के विचरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\mathcal {I}}(\theta )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(X;\theta )\right)^{2}\right|\theta \right]=\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)^{2}f(x;\theta )\,dx,$

ध्यान दें कि $0\leq {\mathcal {I}}(\theta )$. उच्च फिशर जानकारी वाले यादृच्छिक चर का अर्थ है कि स्कोर का निरपेक्ष मान अक्सर उच्च होता है। फिशर की जानकारी किसी विशेष अवलोकन का कार्य नहीं है, क्योंकि यादृच्छिक चर X को औसत कर दिया गया है।

अगर log f(x; θ) θ के संबंध में दो बार अवकलनीय है, और कुछ नियमितता शर्तों के तहत, फ़िशर जानकारी को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

$\mathcal{I}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=-<!--\; -\; -->\mathrm{E}<!--\; \; -->[\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}\log <!--\; \; -->f(X;$