गणितीय वित्त

गणितीय वित्त, जिसे मात्रात्मक वित्त और वित्तीय गणित के रूप में भी जाना जाता है, व्यावहारिक गणित का एक क्षेत्र है, जिसका संबंध वित्तीय बाजारों की गणितीय मॉडलिंग से है।

सामान्य तौर पर, वित्त की दो अलग-अलग शाखाएँ उपस्थित होती हैं जिनके लिए उन्नत मात्रात्मक तकनीकों की आवश्यकता होती है- एक ओर अवकलज मूल्य निर्धारण, और दूसरी ओर जोखिम और पोर्टफोलियो प्रबंधन। कम्प्यूटेशनल वित्त और वित्तीय इंजीनियरिंग के क्षेत्रों के साथ गणितीय वित्त बहुत अधिक ओवरलैप करता है। दूसरे अनुप्रयोगों और मॉडलिंग पर ध्यान केंद्रित करता है, प्रायः प्रसंभाव्यता परिसंपत्ति मॉडल की सहायता से, जबकि पूर्व में विश्लेषण के अलावा, मॉडल के लिए कार्यान्वयन के उपकरण बनाने पर ध्यान केंद्रित किया जाता है। मात्रात्मक निवेश भी संबंधित है, जो पोर्टफोलियो का प्रबंधन करते समय पारंपरिक मौलिक विश्लेषण के विपरीत सांख्यिकीय और संख्यात्मक मॉडल (और हाल ही में मशीन लर्निंग) पर निर्भर करता है।

फ्रांसीसी गणितज्ञ लुइस बैचलर की डॉक्टरेट थीसिस, जिसका 1900 में समर्थन किया गया था, को गणितीय वित्त पर प्रथम विद्वतापूर्ण कार्य माना जाता है। लेकिन 1970 के दशक में विकल्प मूल्य निर्धारण सिद्धांत पर फिशर ब्लैक, मायरोन स्कोल्स और रॉबर्ट मर्टन के कार्य के बाद गणितीय वित्त अध्ययन के विषय के रूप में उभरा। गणितीय निवेश की उत्पत्ति गणितज्ञ एडवर्ड थॉर्प के शोध से हुई, जिन्होंने पहले ब्लैकजैक में कार्ड गिनती का आविष्कार करने के लिए सांख्यिकीय विधियों का उपयोग किया और फिर इसके सिद्धांतों को आधुनिक व्यवस्थित निवेश पर लागू किया।

विषय का वित्तीय अर्थशास्त्र के अध्ययन के विषय के साथ घनिष्ठ संबंध है, जो वित्तीय गणित में सम्मिलित अंतर्निहित सिद्धांत से संबंधित है। जबकि प्रशिक्षित अर्थशास्त्री जटिल आर्थिक मॉडल का उपयोग करते हैं जो देखे गए प्रयोगसिद्ध संबंधों पर निर्मित होते हैं, इसके विपरीत, गणितीय वित्त विश्लेषण आवश्यक रूप से वित्तीय सिद्धांत से लिंक स्थापित किए बिना गणितीय या संख्यात्मक मॉडल को प्राप्त और विस्तारित करेगा, बाजार की कीमतों को इनपुट के रूप में लिया जाएगा। देखें- विकल्पों का मूल्यांकन, वित्तीय मॉडलिंग, परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण। मध्यस्थता मुक्त मूल्य निर्धारण का मौलिक प्रमेय गणितीय वित्त में प्रमुख प्रमेयों में से एक है, जबकि ब्लैक-स्कोल्स समीकरण और सूत्र प्रमुख परिणामों में से हैं।

आज कई विश्वविद्यालय गणितीय वित्त में डिग्री और शोध कार्यक्रम प्रदान करते हैं।

इतिहास- Q बनाम P

वित्त की दो अलग-अलग शाखाएँ हैं जिनके लिए उन्नत मात्रात्मक तकनीकों की आवश्यकता होती है- अवकलज मूल्य निर्धारण, और जोखिम और पोर्टफोलियो प्रबंधन। मुख्य अंतरों में से एक यह है कि वे विभिन्न संभावनाओं का उपयोग करते हैं जैसे जोखिम-निष्प्रभावी संभाव्यता (या मध्यस्थता-मूल्य निर्धारण संभावना), जिसे "Q" द्वारा निरूपित किया जाता है, और वास्तविक (या बीमांकिक) संभाव्यता, जिसे "P" द्वारा निरूपित किया जाता है।

अवकलज मूल्य निर्धारण- Q वर्ल्ड

The Q world

Goal	"extrapolate the present"
Environment	risk-neutral probability $\mathbb {Q}$
Processes	continuous-time martingales
Dimension	low
Tools	Itō calculus, PDEs
Challenges	calibration
Business	sell-side

Main article: जोखिम-निष्प्रभावी उपाय

Further information: ब्लैक-स्कोल्स मॉडल, वित्तीय बाजारों का ब्राउनियन मॉडल, मार्टिंगेल मूल्य निर्धारण, and और मात्रात्मक विश्लेषण (वित्त) § इतिहास

अवकलज मूल्य निर्धारण का लक्ष्य अधिक तरल प्रतिभूतियों के संदर्भ में दी गई सुरक्षा की उचित कीमत निर्धारित करना है जिसकी कीमत आपूर्ति और मांग के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। "निष्पक्ष" का अर्थ निश्चित रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि क्या कोई सुरक्षा खरीदने या बेचने पर विचार करती है। प्रतिभूतियों के मूल्य निर्धारण के उदाहरण सादे वैनिला और आकर्षक विकल्प, परिवर्तनीय बांड आदि हैं।

एक बार उचित मूल्य निर्धारित हो जाने के बाद, बेचने वाला व्यापारी सुरक्षा पर बाजार बना सकता है। इसलिए, अवकलज मूल्य निर्धारण सुरक्षा के वर्तमान बाजार मूल्य को परिभाषित करने के लिए जटिल "बहिर्वेशन" अभ्यास है, जिसे तब बिक्री-पक्ष समुदाय द्वारा उपयोग किया जाता है। द थ्योरी ऑफ़ स्पेकुलेशन ("थियोरी डे ला स्पेक्यूलेशन", 1900 में प्रकाशित) में लुईस बाचेलियर द्वारा मात्रात्मक अवकलज मूल्य निर्धारण का प्रारम्भ किया गया था, जिसमें सबसे बुनियादी और सबसे प्रभावशाली प्रक्रियाओं, ब्राउनियन गति और विकल्पों के मूल्य निर्धारण के लिए इसके अनुप्रयोगों का प्रारम्भ किया गया था। ब्राउनियन गति लैंगविन समीकरण और असतत यादृच्छिक चाल का उपयोग करके प्राप्त की जाती है। स्नातक ने स्टॉक की कीमतों के लघुगणक में परिवर्तनों की समय श्रृंखला को यादृच्छिक चाल के रूप में प्रतिरूपित किया जिसमें अल्पकालिक परिवर्तनों की सीमित भिन्नता थी। यह गॉसियन वितरण का अनुसरण करने के लिए दीर्घकालिक परिवर्तनों का कारण बनता है।

यह सिद्धांत तब तक निष्क्रिय रहा जब तक फिशर ब्लैक और मायरोन स्कोल्स ने रॉबर्ट सी. मर्टन के मौलिक योगदान के साथ विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए दूसरी सबसे प्रभावशाली प्रक्रिया, ज्यामितीय ब्राउनियन गति को लागू नहीं किया। इसके लिए एम. स्कोल्स और आर. मर्टन को आर्थिक विज्ञान में 1997 के नोबेल मेमोरियल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। 1995 में उनकी मृत्यु के कारण ब्लैक पुरस्कार के लिए अयोग्य थे।

अगला महत्वपूर्ण चरण हैरिसन और प्लिस्का (1981) द्वारा परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण का मौलिक प्रमेय था। जिसके अनुसार किसी सुरक्षा का उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत वर्तमान मूल्य P₀ मध्यस्थता-मुक्त है, और इस प्रकार वास्तव में केवल तभी उचित है जब स्थिर अपेक्षित मूल्य के साथ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया P_t उपस्थित हो जो इसके भविष्य के विकास का वर्णन करती हो-

$P_{0}=\mathbf {E} _{0}(P_{t})$

(1)

(1) को संतुष्ट करने वाली प्रक्रिया को "मार्टिंगेल" कहा जाता है। मार्टिंगेल जोखिम को पुरस्कृत नहीं करता है। इस प्रकार सामान्यीकृत सुरक्षा मूल्य प्रक्रिया की संभावना को "जोखिम-निष्प्रभावी" कहा जाता है और इसे प्रायः ब्लैकबोर्ड फ़ॉन्ट पत्र "$\mathbb {Q}$" द्वारा निरूपित किया जाता है।

संबंध (1) प्रत्येक समय बना रहना चाहिए- इसलिए अवकलज मूल्य निर्धारण के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रियाएं स्वाभाविक रूप से निरंतर समय में निर्धारित होती हैं।

अवकलज मूल्य निर्धारण की Q वर्ल्ड में काम करने वाले क्वांट्स विशेषज्ञ हैं जो उनके द्वारा मॉडल किए जाने वाले विशिष्ट उत्पादों के गहन ज्ञान के साथ हैं।

प्रतिभूतियों की कीमत अलग-अलग होती है, और इस प्रकार Q वर्ल्ड में समस्याएं निम्न-आयामी प्रकृति की होती हैं। अंशांकन Q वर्ल्ड की मुख्य चुनौतियों में से एक है- एक बार एक सतत-समय पैरामीट्रिक प्रक्रिया को संबंध के माध्यम से व्यापारिक प्रतिभूतियों के सेट में अंशांकन किया गया है, जैसे (1), नए अवकलज की कीमत को परिभाषित करने के लिए समान संबंध का उपयोग किया जाता है।

निरंतर-समय की Q-प्रक्रियाओं को संभालने के लिए आवश्यक मुख्य मात्रात्मक उपकरण इटो के स्टोकेस्टिक गणना, अनुकरण और आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) हैं।

जोखिम और पोर्टफोलियो प्रबंधन- P वर्ल्ड

The P world

Goal	"model the future"
Environment	real-world probability $\mathbb {P}$
Processes	discrete-time series
Dimension	large
Tools	multivariate statistics
Challenges	estimation
Business	buy-side

जोखिम और पोर्टफोलियो प्रबंधन का उद्देश्य भविष्य में दिए गए निवेश क्षितिज पर सभी प्रतिभूतियों के बाजार मूल्यों के सांख्यिकीय रूप से प्राप्त संभाव्यता वितरण की मॉडलिंग करना है। अवकलज मूल्य निर्धारण में प्रयुक्त "जोखिम-निष्प्रभावी" प्रायिकता "$\mathbb {Q}$" के विपरीत, बाजार की कीमतों का यह "वास्तविक" संभाव्यता वितरण प्रायः ब्लैकबोर्ड फ़ॉन्ट पत्र "$\mathbb {P}$" द्वारा दर्शाया जाता है। P वितरण के आधार पर, खरीद पक्ष समुदाय निर्णय लेता है कि पोर्टफोलियो के रूप में माने जाने वाले अपने पदों के संभावित लाभ और हानि प्रोफ़ाइल को बेहतर बनाने के लिए कौन सी प्रतिभूतियां खरीदनी हैं। तेजी से, इस प्रक्रिया के तत्व स्वचालित होते जा रहे हैं, संबंधित आलेखों की सूची के लिए वित्त की रूपरेखा § मात्रात्मक निवेश देखें।

अपने अग्रणी काम के लिए, मार्कोविट्ज़ और शार्प ने मेर्टन मिलर के साथ, आर्थिक विज्ञान में 1990 का नोबेल मेमोरियल पुरस्कार साझा किया, जो प्रथम बार वित्त में किसी काम के लिए दिया गया था।

मार्कोविट्ज़ और शार्प के पोर्टफोलियो-चयन कार्य ने निवेश प्रबंधन में गणित का परिचय दिया। समय के साथ-साथ गणित और अधिक परिष्कृत होता गया। रॉबर्ट मर्टन और पॉल सैमुएलसन के लिए धन्यवाद, एक-अवधि के मॉडल को निरंतर समय, ब्राउनियन-गति मॉडल द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, और माध्य-विचरण अनुकूलन में निहित द्विघात उपयोगिता फलन को अधिक सामान्य वृद्धि, अवतल उपयोगिता कार्यों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था। इसके अलावा, हाल के वर्षों में अनुमान जोखिम की ओर ध्यान केंद्रित किया गया है, अर्थात, गलत तरीके से यह मानने के खतरे कि केवल उन्नत समय श्रृंखला विश्लेषण ही बाजार के मापदंडों का पूरी तरह से सटीक अनुमान प्रदान कर सकता है। वित्तीय जोखिम प्रबंधन § निवेश प्रबंधन देखें।

वित्तीय बाजारों के अध्ययन और समय के साथ कीमतें कैसे बदलती हैं, इसके अध्ययन में काफी प्रयास किए गए हैं। डॉव जोन्स एंड कंपनी और द वॉल स्ट्रीट जर्नल के संस्थापकों में से एक चार्ल्स डॉव ने इस विषय पर विचारों का एक सेट प्रतिपादित किया, जिसे अब डॉव सिद्धांत कहा जाता है। यह भविष्य में होने वाले परिवर्तनों की भविष्यवाणी करने के प्रयास के तथाकथित तकनीकी विश्लेषण पद्धति का आधार है। "तकनीकी विश्लेषण" के सिद्धांतों में से एक यह है कि बाजार के रुझान कम से कम अल्पावधि में भविष्य का संकेत देते हैं। कई शिक्षाविदों द्वारा तकनीकी विश्लेषकों के दावों पर विवाद है।

आलोचना

Further information: वित्तीय अर्थशास्त्र § चुनौतियाँ और आलोचना, and और वित्तीय इंजीनियरिंग § आलोचनाएँ

See also: लंबे पृष्ठभाग वाले वितरण और अस्थिरता गुच्छन वाले वित्तीय मॉडल

2009 के वित्तीय संकट के साथ-साथ 2010 के प्रारम्भ में कई फ्लैश क्रैश के परिणामस्वरूप सामान्य आबादी में सामाजिक उथल-पुथल और वैज्ञानिक समुदाय में नैतिक अस्वस्थता उत्पन्न हुई, जिससे मात्रात्मक वित्त (QF) में ध्यान देने योग्य परिवर्तन हुए। अधिक विशेष रूप से, गणितीय वित्त को अधिक सुविधाजनक के विपरीत बदलने और अधिक यथार्थवादी बनने का निर्देश दिया गया था। बड़े डेटा और डेटा साइंस के समवर्ती उदय ने इन परिवर्तनों को सुगम बनाने में योगदान दिया। अधिक विशेष रूप से, नए मॉडलों को परिभाषित करने के संदर्भ में, हमने मशीन लर्निंग के उपयोग में पारंपरिक गणितीय वित्त मॉडल को पीछे छोड़ते हुए उल्लेखनीय वृद्धि देखी।

वर्षों से, तेजी से परिष्कृत गणितीय मॉडल और व्युत्पन्न मूल्य निर्धारण रणनीतियों का विकास किया गया है, लेकिन 2007-2010 के वित्तीय संकट से उनकी विश्वसनीयता क्षतिग्रस्त हो गई थी। गणितीय वित्त के समकालीन अभ्यास के क्षेत्र के आंकड़ों से विशेष रूप से पॉल विल्मॉट और नसीम निकोलस तालेब द्वारा अपनी पुस्तक द ब्लैक स्वान में आलोचना की गई है। तालेब का दावा है कि वित्तीय संपत्तियों की कीमतों को वर्तमान में उपयोग में आने वाले सरल मॉडलों द्वारा चित्रित नहीं किया जा सकता है, जो उपस्थित अभ्यास को सबसे अप्रासंगिक, और सबसे खराब, खतरनाक रूप से भ्रामक रूप से प्रस्तुत करता है। विल्मॉट और इमानुएल डर्मन ने जनवरी 2009 में वित्तीय मॉडलर्स का घोषणापत्र प्रकाशित किया, जो कुछ सबसे गंभीर चिंताओं को संबोधित करता है। इंस्टीट्यूट फॉर न्यू इकोनॉमिक थिंकिंग जैसे निकाय अब नए सिद्धांतों और तरीकों को विकसित करने का प्रयास कर रहे हैं।

सामान्य तौर पर, परिमित भिन्नता वाले वितरणों द्वारा परिवर्तनों को मॉडलिंग करना, तेजी से, अनुचित कहा जाता है। 1960 के दशक में बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा खोजा गया था कि कीमतों में परिवर्तन गॉसियन वितरण का पालन नहीं करते हैं, बल्कि लेवी अल्फा-स्थिर वितरण द्वारा बेहतर रूप से तैयार किए जाते हैं। परिवर्तन, या अस्थिरता का पैमाना, समय अंतराल की लंबाई पर निर्भर करता है जो कि 1/2 से थोड़ा अधिक है। अनुमानित मानक विचलन के साथ गॉसियन वितरण का उपयोग करके गणना की जाने वाली गणना की तुलना में ऊपर या नीचे बड़े परिवर्तन की संभावना अधिक होती है। लेकिन समस्या यह है कि यह समस्या का समाधान नहीं करता है क्योंकि यह प्राचलीकरण को बहुत कठिन बना देता है और जोखिम नियंत्रण कम विश्वसनीय हो जाता है।

संभवतः अधिक मौलिक- हालांकि गणितीय वित्त मॉडल अल्पावधि में लाभ उत्पन्न कर सकते हैं, इस प्रकार की मॉडलिंग प्रायः आधुनिक मैक्रोइकॉनॉमिक्स के केंद्रीय सिद्धांत, लुकास समालोचना - या तर्कसंगत अपेक्षाओं के साथ संघर्ष में है - जिसमें कहा गया है कि देखे गए संबंध प्रकृति में संरचनात्मक नहीं हो सकते हैं और इस प्रकार सार्वजनिक नीति या लाभ के लिए शोषण करना संभव नहीं हो सकता है जब तक कि हम कारण विश्लेषण और अर्थमिति का उपयोग करके संबंधों की पहचान नहीं कर लेते। गणितीय वित्त मॉडल, इसलिए, मानव मनोविज्ञान के जटिल तत्वों को सम्मिलित नहीं करते हैं जो आधुनिक मैक्रोइकॉनॉमिक संचलन की मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण हैं जैसे कि स्व-पूर्ति हलचल जो बैंक चलाने के लिए प्रेरित करती है।

यह भी देखें

See also: Outline of finance § Financial mathematics, Outline of finance § Mathematical tools, Outline of finance § Derivatives pricing, and Outline of corporate finance