न्यूनतम तर्क

न्यूनतम तर्क, या न्यूनतम कलन, एक गणितीय तर्क प्रणाली है जिसे मूल रूप से Ingebrigt Johansson द्वारा विकसित किया गया था। यह एक अंतर्ज्ञानवादी तर्क और परासंगत तर्क है, जो बहिष्कृत मध्य के कानून के साथ-साथ विस्फोट के सिद्धांत (पूर्व मिथ्या क्वाडलिबेट) दोनों को अस्वीकार करता है, और इसलिए निम्नलिखित दो व्युत्पत्तियों में से कोई भी मान्य नहीं है:

$\vdash (B\lor \neg B)$

$(A\land \neg A)\vdash$

कहाँ $A$ और $B$ कोई प्रस्ताव हैं। अधिकांश रचनात्मक तर्क केवल पूर्व को अस्वीकार करते हैं, अपवर्जित मध्य का नियम। शास्त्रीय तर्कशास्त्र में, भूतपूर्व कानून भी झूठे होते हैं

$(A\land \neg A)\to B,$ :$\neg (A\lor \neg A)\to B,$ :$\neg A\to (A\to B),$ साथ ही साथ उनके वेरिएंट $A$ और $\neg A$ स्विच्ड, एक दूसरे के समतुल्य और मान्य हैं। मिनिमल लॉजिक भी उन सिद्धांतों को खारिज करता है।

स्वयंसिद्धीकरण

मिनिमल लॉजिक को अंतर्ज्ञानवादी तर्क के List_of_Hilbert_systems#Positive_propositional_calculus पर स्वयंसिद्ध किया गया है। इन दोनों लॉजिक्स को समान स्वयंसिद्धों और का उपयोग करके भाषा में तैयार किया जा सकता है तार्किक निहितार्थ $\to$, तार्किक संयोजन $\land$ और तार्किक विच्छेदन $\lor$ बुनियादी तार्किक संयोजक के रूप में, लेकिन न्यूनतम तर्क जोड़ता है falsum $\bot$भाषा के हिस्से के रूप में। वैकल्पिक रूप से, निषेध के प्रत्यक्ष अभिगृहीतों की चर्चा नीचे की गई है।

प्रमेय

यहां केवल ऐसे प्रमेय शामिल हैं जो धनात्मक कलन में पहले से ही सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं।

निषेध परिचय

निहितार्थ और निषेध कानूनों का एक त्वरित विश्लेषण इस बात का एक अच्छा संकेत देता है कि यह तर्क, जिसमें पूर्ण विस्फोट की कमी है, क्या साबित कर सकता है और क्या नहीं।

निषेध के साथ एक भाषा में एक प्राकृतिक कथन, जैसे कि न्यूनतम तर्क, उदाहरण के लिए, निषेध परिचय का सिद्धांत है, जिससे किसी कथन का निषेध इसे मानकर और एक विरोधाभास प्राप्त करके सिद्ध होता है। औपचारिक रूप से, इसे किन्हीं दो प्रस्तावों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$(B\to (A\land \neg A))\to \neg B$.

के लिए $B$ विरोधाभास के रूप में लिया $A\land \neg A$ स्वयं, यह गैर-विरोधाभास के कानून को स्थापित करता है

$\neg (A\land \neg A)$.

कोई मानते हैं $C$भौतिक सशर्त का परिचय नियम देता है $B\to C$, वह भी कब $B$ और $C$ प्रासंगिकता तर्क संबंधित नहीं हैं। इसके साथ और निहितार्थ उन्मूलन, उपरोक्त परिचय सिद्धांत का तात्पर्य है

$(A\land \neg A)\to \neg B$,

यानी किसी भी विरोधाभास को मानते हुए, हर प्रस्ताव को नकारा जा सकता है। न्यूनतम तर्क में निषेध का परिचय संभव है, इसलिए यहाँ एक विरोधाभास भी हर दोहरे निषेध को सिद्ध करता है $\neg \neg B$. विस्फोट बाद के दोहरे निषेध को दूर करने की अनुमति देगा, लेकिन यह सिद्धांत नहीं अपनाया गया है।

इसके अलावा, उपरोक्त का उपयोग करना

${\big (}(A\lor B)\land \neg A{\big )}\to {\big (}(B\lor \neg B)\land \neg \neg B){\big )}$.

इसकी तुलना पूर्ण वियोजन न्यायवाक्य से की जानी है।

असावधानी के माध्यम से स्वयंसिद्धीकरण

सकारात्मक कलन को न्यूनतम तर्क तक विस्तारित करने की एक संभावित योजना उपचार करना है $\neg B$ एक निहितार्थ के रूप में, जिस मामले में एक तर्क के इम्प्लीकेशनल प्रोपोज़िशनल कैलकुलस से प्रमेय निषेधात्मक बयानों तक ले जाते हैं। इस कोने तक, $\bot$ एक प्रस्ताव के रूप में पेश किया जाता है, जब तक कि सिस्टम असंगत और नकारा न हो, तब तक साबित नहीं किया जा सकता $\neg B$ इसके बाद एक संक्षिप्त नाम के रूप में माना जाता है $B\to \bot$. रचनात्मक रूप से, $\bot$ एक प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करता है जिसके लिए विश्वास करने का कोई कारण नहीं हो सकता है।

पहले से ही चर्चा किए गए सिद्धांत सकारात्मक खंड पर प्रमेय से हो सकते हैं। निषेध परिचय, पिछले अनुभाग में लिखा गया है, केवल एक विशेष मामले के रूप में निहित है

$(B\to (A\land (A\to C)))\to (B\to C)$

कब $C=\bot$. इस तरह, न्यूनतम तर्क को नकारात्मक उन्मूलन (उर्फ विस्फोट) के बिना एक रचनात्मक तर्क के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उपरोक्त कैन को मूड सेट करना के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है, जिसे एक प्रस्ताव के रूप में पढ़ा जाता है

$(A\land (A\to C))\to C$

और वास्तव में उपरोक्त का एक विशेष मामला है, जब $B$ क्या सच है। के माध्यम से निषेध की परिभाषा के साथ $\bot$, मोडस पोनेन्स कथन स्वयं उसी तरह से फिर से विशिष्ट हो सकता है, और फिर गैर-विरोधाभास सिद्धांत स्थापित करता है, जो पहले से ही ऊपर वर्णित है। कढ़ी तुल्यता सहित सभी सामान्य अंतर्ज्ञानात्मक_तर्क #ऑपरेटरों की गैर-अंतर-परिभाषा_योग्यता प्राप्त की जा सकती है। एक उदाहरण के लिए, यह महत्वपूर्ण तुल्यता पर बल देने योग्य है

$((A\vee <!--\; \vee \; -->B)\to <!--\; \to \; -->C)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->((A\to <!--\; \to \; -->C)\wedge <!--\; \wedge \; -->(B\to <!--\; \to \; -->C$