स्टैक (गणित)

गणित में स्टैक या 2-शेफ सामान्यतौर पर एक शीफ (गणित) है जो संग्रह के बजाय श्रेणियों में मान लेता है। स्टैक्स का उपयोग वंश सिद्धांत के कुछ मुख्य निर्माणों को औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है और जब उत्कृष्ट मोडुली स्पेस स्थित नहीं होते हैं तो उत्कृष्ट मोडुली स्टैक का निर्माण किया जाता है।

वंश सिद्धांत का संबंध उन स्थितियों के सामान्यीकरण से है जहां समरूपता, संयोज्य ज्यामितीय वस्तुएं (जैसे संस्थानिक स्पेस पर वेक्टर बंडल) को संस्थानिक आधार के प्रतिबंध के भीतर एक साथ चिपकाया जा सकता है। ज्यादातर सामान्य सेट-अप में प्रतिबंधों को पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) से बदल दिया जाता है तंतुमय श्रेणी तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छा फ्रेम बनाती है। स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक तंतुमय श्रेणी है जैसे कि सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं। ग्लूइंग्स के विनिर्देशन के लिए आवरण की परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा ग्रोथेंडिक सांस्थिति है, इस प्रकार स्टैक को औपचारिक रूप से अन्य आधार श्रेणी पर एक तंतु श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार ग्रोथेंडिक सांस्थिति होती है जहां तंतु श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेंडिक सांस्थिति के संबंध में कुछ ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है।

सिंहावलोकन

बीजगणितीय स्टैक्स (जिसे आर्टिन स्टैक्स भी कहा जाता है) डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक्स की अंतर्निहित संरचना है, जो योजना (गणित) और बीजगणितीय स्पेस को सामान्यीकृत करते हैं और मोडुली स्पेस का अध्ययन करने में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इसमें समावेशन हैं:

योजनाएं ⊆ बीजगणितीय स्पेस ⊆ डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक ⊆ बीजगणितीय स्टैक (आर्टिन स्टैक) ⊆ स्टैक।

एडिडिन (2003) और फैंटेची (2001) स्टैक का संक्षिप्त परिचयात्मक विवरण देते हैं, गोमेज़ (2001), ओल्सन (2007) और विस्टोली (2005) अधिक विस्तृत परिचय देते हैं और लॉमोन एंड & मोरेट-बेली (2000) अधिक उन्नत सिद्धांत का वर्णन करते है।

प्रेरणा और इतिहास

La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) pour la classification des variations (globales, ou infinitésimales) de certaines structures (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher.

Grothendieck's letter to Serre, 1959 Nov 5.

स्टैक की अवधारणा का मूल ग्रोथेंडिक (1959)में प्रभावी अन्वय डेटा की परिभाषा में है। 1959 में सेरे को लिखे एक पत्र में ग्रोथेंडिक ने देखा कि अच्छे मॉडुलि स्पेस के निर्माण में एक मूलभूत बाधा ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व है। स्टैक के लिए एक प्रमुख प्रेरणा यह है कि अगर ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व के कारण किसी समस्या के लिए मॉडुलि स्पेस स्थित नहीं है, तब भी मोडुली स्टैक का निर्माण संभव हो सकता है।

स्टैक परिभाषित किए जाने से पहले ममफोर्ड (1965) ने गोलाकार वक्रों के मोडुली स्टैक के पिकार्ड समूह का अध्ययन किया। स्टैक को सबसे पहले जिराउड (1966, 1971)द्वारा परिभाषित किया गया था और स्टैक शब्द डेलिग्ने एंड & ममफोर्ड (1969) द्वारा मूल फ्रांसीसी शब्द "चैंप" के लिए "फ़ील्ड" के रूप में प्रस्तुत किया गया था। इस लेख में उन्होंने डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक भी प्रस्तुत किए जिसे उन्होंने बीजगणितीय स्टैक कहा हालांकि बीजगणितीय स्टैक शब्द अब सामान्यतौर पर आर्टिन (1974) द्वारा प्रस्तुत किए गए सामान्य आर्टिन स्टैक को संदर्भित करता है।

समूह फंक्शन द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित करते समय भागफल के लिए एक योजना होना और वांछनीय गुणों को संतुष्ट करना ज्यादातर असंभव होता है। उदाहरण के लिए यदि कुछ बिंदुओं में गैर-तुच्छ स्टेबलाइजर्स हैं, तो योजनाओं के बीच श्रेणीबद्ध भागफल उपस्थित नहीं होगा लेकिन यह स्टैक के रूप में स्थित रहेगा।

उसी तरह वक्र, सदिश बंडल या अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के मॉडुलि स्पेस ज्यादातर योजनाओं के बजाय स्टैक के रूप में परिभाषित किए जाते हैं। मॉडुलि स्पेस निर्माण ज्यादातर प्रश्न में वस्तुओं का मानकीकरण करने के लिए पहले एक बड़े स्थान का निर्माण करके आगे बढ़ते हैं और उसके बाद ऑटोमोर्फिज्म वाली वस्तुओं के लिएसमूह क्रिया द्वारा उद्धरण देते है।

परिभाषाएँ

निराकार स्टैक

एक श्रेणी $c$ के फ़ंक्टर वाली श्रेणी $C$ को $C$ के ऊपर एक तंतुयुक्त श्रेणी कहा जाता है यदि किसी आकारिकी के लिए $F:X\to Y$ में $C$ और कोई वस्तु $y$ का $c$ प्रतिबिंब के साथ $Y$ (फ़ंक्टर के नीचे) एक पुलबैक है $f:x\to y$ $y$ द्वारा $F$ इसका मतलब प्रतिबिंब के साथ एक आकृतिवाद $F$ है जैसे कि कोई आकारिकी $g:z\to y$ प्रतिबिंब के साथ $G=F\circ H$ के रूप में गिना जा सकता है $g=f\circ h$ एक अद्वितीय आकारिकी द्वारा $h:z\to x$ में $c$ फ़ंक्टर $h$ को $H$ से मानचित्र करता है। तत्व $x=F^{*}y$ का पुलबैक $y$ साथ $F$ कहा जाता है और विहित समरूपता तक अद्वितीय है।

श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी C पर ' प्रीस्टैक ' कहा जाता है यदि इसे c पर तंतु किया जाता है और c के किसी वस्तु u के लिए और प्रतिबिंब u के साथ c की वस्तु x, y, ओवर श्रेणी c/u से फ़ंक्टर संग्रहित करने के लिए F:V→U से होम(F*x,F*y) एक शीफ है। यह स्टैकों के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं है: प्रीस्टैक प्रीशेव्स से अलग किए गए प्रीशेव्स के अनुरूप हैं, कुछ लेखकों को इसे प्रीस्टैक की बजाय स्टैक की संपत्ति के रूप में आवश्यकता होती है।

श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी c के ऊपर एक 'स्टैक' कहा जाता है यदि यह c पर एक प्रीस्टैक है और प्रत्येक डिसेंट मूल डेटा प्रभावी है। एक 'डिसेंट डेटम' में सामान्य तौर पर वर्ग V द्वारा C की वस्तु V का आवरण _{i होता है} पर तंतु में तत्व xi और xj के प्रतिबंधों के बीच आकारिकी fji से Vij = Vi × VVj अनुकूलता की स्थिति को संतुष्ट करता है डिसेंट डेटम को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि तत्व xi अनिवार्य रूप से प्रतिबिंब V के साथ तत्व x के पुलबैक हैं।

स्टैक को 'ग्रुपॉइड्स में 'स्टैक' या (2,1)-शेफ' कहा जाता है अगर यह ग्रुपोइड्स में भी तंतु होता है, जिसका अर्थ है कि इसके तंतु (c की वस्तुओं का उल्टा प्रतिबिंब) ग्रुपोइड्स हैं। कुछ लेखक "स्टैक" शब्द का उपयोग ग्रुपोइड्स में स्टैक की अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा को संदर्भित करने के लिए करते हैं।

बीजगणितीय स्टैक

Main article: मुख्य लेख: बीजगणितीय स्टैक

एक बीजगणितीय स्टैक या आर्टिन स्टैक एफपीपीएफ(fppf) साइट पर ग्रुपोइड्स X में एक स्टैक है, जैसे कि X का विकर्ण नक्शा प्रतिनिधित्व करने योग्य है और एक्स के लिए एक योजना (स्टैक से जुड़े) से एक निर्विघ्ऩ प्रक्षेपण मौजूद है . एक आकारिकी Y$\rightarrow$ स्टैक का एक्स 'प्रतिनिधित्व योग्य' है यदि, प्रत्येक आकारिकी एस के लिए $\rightarrow$ एक्स से (स्टैक से जुड़े) ,एक्स तक, तंतु उत्पाद वाई ×_Xएस एक बीजगणितीय स्थान (से जुड़े स्टैक) के लिए आइसोमोर्फिक है। स्टैक के 'तंतु उत्पाद' को सामान्य सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, और उस आवश्यकता को बदलते हुए जो आरेखों को 2-यात्रा की आवश्यकता के लिए परिवर्तित करती है। अधिक जानकारी के लिए बीजगणितीय स्टैक का आकारिकी भी देखें।

विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता के पीछे की प्रेरणा निम्नलिखित है: विकर्ण आकारिकी $\Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ प्रतिनिधित्व योग्य है अगर और केवल अगर बीजगणितीय स्पेस के किसी भी जोड़ी के लिए $X,Y\to {\mathfrak {X}}$, उनके तंतु उत्पाद $X\times _{\mathfrak {X}}Y$ प्रतिनिधित्व योग्य है।

एक Deligne–Mumford स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक X है, जैसे कि एक स्कीम से X तक एक ईटेल अनुमान है। मोटे तौर पर बोलते हुए, Deligne-Mumford स्टैक को बीजगणितीय स्टैक के रूप में माना जा सकता है, जिनकी वस्तुओं में कोई अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म नहीं है।

बीजगणितीय स्टैक की स्थानीय संरचना

बीजगणितीय स्टैक की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की गई थी कि वे फॉर्म के स्थानीय भागफल स्टैक हैं $[{\text{Spec}}(A)/G]$ कहाँ $G$ एक रिडक्टिव बीजगणितीय समूह है। हाल ही में यह मामला साबित हुआ: एक अर्ध-पृथक बीजगणितीय स्टैक दिया ${\mathfrak {X}}$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का $k$ जिनके स्टेबलाइजर्स एफ़िन हैं, और $x\in {\mathfrak {X}}(k)$ रैखिक रूप से रिडक्टिव स्टेबलाइजर समूह के साथ एक चिकना और बंद बिंदु $G_{x}$, GIT भागफल का एक Étale morphism उपस्थित है $(U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)$, जहाँ $N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }$, जैसे कि आरेख

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