स्टैक (गणित)

गणित में एक ढेर या 2-शेफ मोटे तौर पर एक शीफ (गणित) है जो सेट के बजाय श्रेणियों में मान लेता है। स्टैक्स का उपयोग डिसेंट थ्योरी सिद्धांत के कुछ मुख्य निर्माणों को औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है, और जब फाइन मोडुली स्पेस मौजूद नहीं होते हैं तो फाइन मोडुली स्टैक का निर्माण किया जाता है।

डिसेंट थ्योरी का संबंध उन स्थितियों के सामान्यीकरण से है जहां समरूपता, संगत ज्यामितीय वस्तुएं (जैसे टोपोलॉजिकल स्पेस पर वेक्टर बंडल) को टोपोलॉजिकल आधार के प्रतिबंध के भीतर एक साथ चिपकाया जा सकता है। अधिक सामान्य सेट-अप में प्रतिबंधों को पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) से बदल दिया जाता है; तंतुमय श्रेणी तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छा ढांचा बनाती है। एक स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक रेशेदार श्रेणी है जैसे कि सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं। ग्लूइंग्स के विनिर्देशन के लिए कवरिंग की परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है। यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी है। इस प्रकार एक स्टैक को औपचारिक रूप से एक अन्य आधार श्रेणी पर एक फाइबर श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार में ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी होती है और जहां फाइबर श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के संबंध में कुछ ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है।

सिंहावलोकन

स्टैक बीजगणितीय स्टैक्स (जिसे आर्टिन स्टैक्स भी कहा जाता है) और डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक्स की अंतर्निहित संरचना है, जो योजना (गणित) और बीजगणितीय रिक्त स्थान को सामान्यीकृत करते हैं और जो मोडुली रिक्त स्थान का अध्ययन करने में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इसमें समावेशन हैं:

<ब्लॉककोट>योजनाएं ⊆ बीजगणितीय रिक्त स्थान ⊆ डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक ⊆ बीजगणितीय स्टैक (आर्टिन स्टैक) ⊆ स्टैक।

एडिडिन (2003) और फैंटेची (2001) स्टैक का संक्षिप्त परिचयात्मक विवरण देते हैं, गोमेज़ (2001), ओल्सन (2007) और विस्टोली (2005) अधिक विस्तृत परिचय देते हैं, और लॉमोन एंड & मोरेट-बेली (2000) अधिक उन्नत सिद्धांत का वर्णन करते है।

प्रेरणा और इतिहास

La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) pour la classification des variations (globales, ou infinitésimales) de certaines structures (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher.

Grothendieck's letter to Serre, 1959 Nov 5.

स्टैक की अवधारणा का मूल ग्रोथेंडिक (1959)में प्रभावी डिसेंट डेटा की परिभाषा में है। 1959 में सेरे को लिखे एक पत्र में, ग्रोथेंडिक ने देखा कि अच्छे मॉडुलि रिक्त स्थान के निर्माण में एक मूलभूत बाधा ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व है। ढेर के लिए एक प्रमुख प्रेरणा यह है कि अगर ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व के कारण किसी समस्या के लिए मॉडुलि स्पेस मौजूद नहीं है, तब भी मोडुली स्टैक का निर्माण संभव हो सकता है।

स्टैक परिभाषित किए जाने से पहले, ममफोर्ड (1965) ने अण्डाकार वक्रों के मोडुली स्टैक के पिकार्ड समूह का अध्ययन किया। स्टैक को सबसे पहले जिराउड (1966, 1971)द्वारा परिभाषित किया गया था और स्टैक शब्द डेलिग्ने एंड & ममफोर्ड (1969) द्वारा मूल फ्रांसीसी शब्द "चैंप" के लिए "फ़ील्ड" के रूप में पेश किया गया था। इस पेपर में उन्होंने डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक भी पेश किए, जिसे उन्होंने बीजगणितीय ढेर कहा, हालांकि बीजगणितीय स्टैक शब्द अब आम तौर पर आर्टिन (1974) द्वारा प्रस्तुत किए गए अधिक सामान्य आर्टिन स्टैक को संदर्भित करता है।

समूह क्रियाओं द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित करते समय, भागफल के लिए एक योजना होना और फिर भी भागफल के लिए वांछनीय गुणों को संतुष्ट करना अक्सर असंभव होता है। उदाहरण के लिए यदि कुछ बिंदुओं में गैर-तुच्छ स्टेबलाइजर्स हैं, तो योजनाओं के बीच श्रेणीबद्ध भागफल मौजूद नहीं होगा, लेकिन यह ढेर के रूप में मौजूद रहेगा।

उसी तरह वक्र, सदिश बंडल या अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के मॉडुलि रिक्त स्थान अक्सर योजनाओं के बजाय ढेर के रूप में परिभाषित किए जाते हैं। मॉडुलि रिक्त स्थान के निर्माण अक्सर प्रश्न में वस्तुओं को पैरामीट्रिज़िंग करने के लिए पहले एक बड़े स्थान का निर्माण करके आगे बढ़ते हैं और उसके बाद ऑटोमोर्फिज्म वाली वस्तुओं के लिए समूह क्रिया द्वारा उद्धरण देते हैं, जिन्हें अधिक गिना जाता है।

परिभाषाएँ

सार ढेर

एक श्रेणी $c$ एक वर्ग के लिए एक functor के साथ $C$ फाइबरयुक्त श्रेणी ओवर कहलाती है $C$ अगर किसी morphism के लिए $F:X\to Y$ में $C$ और कोई वस्तु $y$ का $c$ छवि के साथ $Y$ (फ़ंक्टर के तहत), एक पुलबैक है $f:x\to y$ का $y$ द्वारा $F$. इसका मतलब छवि के साथ एक morphism है $F$ ऐसा है कि कोई morphism $g:z\to y$ छवि के साथ $G=F\circ H$ के रूप में गिना जा सकता है $g=f\circ h$ एक अद्वितीय morphism द्वारा $h:z\to x$ में $c$ ऐसा है कि functor map $h$ को $H$. तत्व $x=F^{*}y$ का पुलबैक कहा जाता है $y$ साथ में $F$ और विहित समरूपता तक अद्वितीय है।

श्रेणी सी को ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के साथ श्रेणी सी पर 'prestack ' कहा जाता है यदि इसे सी पर फाइबर किया जाता है और सी के किसी ऑब्जेक्ट यू के लिए और छवि यू के साथ सी के ऑब्जेक्ट एक्स, वाई, ओवर श्रेणी सी/यू से फ़ंक्टर सेट करने के लिए F:V→U से होम(F*x,F*y) एक शीफ है। यह शब्दावली ढेरों के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं है: प्रीस्टैक प्रीशेव्स के बजाय अलग किए गए प्रीशेव्स के अनुरूप हैं। कुछ लेखकों को इसे प्रीस्टैक की बजाय ढेर की संपत्ति के रूप में आवश्यकता होती है।

श्रेणी सी को ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के साथ श्रेणी सी के ऊपर एक 'स्टैक' कहा जाता है यदि यह सी पर एक प्रीस्टैक है और प्रत्येक डिसेंट डेटम प्रभावी है। एक 'डिसेंट डेटम' में मोटे तौर पर परिवार V द्वारा C की वस्तु V का आवरण होता है_i, तत्व एक्स_iवी से अधिक फाइबर में_i, और morphisms च_jiएक्स के प्रतिबंधों के बीच_iऔर एक्स_jपत्र बी_ij= वी_i×_VV_jअनुकूलता की स्थिति को संतुष्ट करना f_ki= च_kjf_ji. मूल तत्व को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि तत्व x_iछवि V के साथ अनिवार्य रूप से एक तत्व x के पुलबैक हैं।

एक स्टैक को 'ग्रुपॉइड्स में ढेर' या '(2,1)-शेफ' कहा जाता है, अगर यह ग्रुपोइड्स में भी फाइबर होता है, जिसका अर्थ है कि इसके फाइबर (सी की वस्तुओं की उलटी छवियां) ग्रुपोइड्स हैं। कुछ लेखक ग्रुपॉयड्स में स्टैक की अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा को संदर्भित करने के लिए स्टैक शब्द का उपयोग करते हैं।

बीजगणितीय ढेर

Main article: Algebraic stack

एक बीजगणितीय स्टैक या आर्टिन स्टैक fppf साइट पर ग्रुपोइड्स X में एक स्टैक है, जैसे कि X का विकर्ण नक्शा प्रतिनिधित्व करने योग्य है और एक्स के लिए एक योजना (स्टैक से जुड़े) से एक चिकनी प्रक्षेपण मौजूद है . एक रूपवाद Y$\rightarrow$ ढेर का एक्स 'प्रतिनिधित्व योग्य' है यदि, प्रत्येक आकारिकी एस के लिए $\rightarrow$ एक्स से (स्टैक से जुड़े) एक स्कीम से एक्स तक, फाइबर उत्पाद वाई ×_Xएस एक बीजगणितीय स्थान (से जुड़े ढेर) के लिए आइसोमोर्फिक है। स्टैक के 'फाइबर उत्पाद' को सामान्य सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, और उस आवश्यकता को बदलना जो आरेखों को 2-यात्रा की आवश्यकता के लिए परिवर्तित करती है। अधिक जानकारी के लिए बीजगणितीय स्टैक का आकारिकी भी देखें।

विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता के पीछे की प्रेरणा निम्नलिखित है: विकर्ण आकारिकी $\Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ प्रतिनिधित्व योग्य है अगर और केवल अगर बीजगणितीय रिक्त स्थान के किसी भी जोड़ी के लिए $X,Y\to {\mathfrak {X}}$, उनके फाइबर उत्पाद $X\times _{\mathfrak {X}}Y$ प्रतिनिधित्व योग्य है।

एक Deligne–Mumford स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक X है, जैसे कि एक स्कीम से X तक एक ईटेल अनुमान है। मोटे तौर पर बोलते हुए, Deligne-Mumford स्टैक को बीजगणितीय स्टैक के रूप में माना जा सकता है, जिनकी वस्तुओं में कोई अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म नहीं है।

बीजगणितीय ढेर की स्थानीय संरचना

बीजगणितीय स्टैक की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की गई थी कि वे फॉर्म के स्थानीय भागफल स्टैक हैं $[{\text{Spec}}(A)/G]$ कहाँ $G$ एक रिडक्टिव समूह है। हाल ही में यह मामला साबित हुआ: एक अर्ध-पृथक बीजगणितीय ढेर दिया ${\mathfrak {X}}$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का $k$ जिनके स्टेबलाइजर्स एफ़िन हैं, और $x\in {\mathfrak {X}}(k)$ रैखिक रूप से रिडक्टिव स्टेबलाइजर समूह के साथ एक चिकना और बंद बिंदु $G_{x}$, GIT भागफल का एक Étale morphism मौजूद है $(U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)$, कहाँ $N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }$, जैसे कि आरेख

$\begin{array}{ccc}([W/G_x],w)& \to <!--\; \to \; -->& ([N_x/G_x],0)\end{array}$