कनिंघम चेन

गणित में, कनिंघम शृंखला अभाज्य संख्याओं का एक निश्चित पूर्णांक अनुक्रम है। कनिंघम श्रृंखलाओं का नाम गणितज्ञ एलन जोसेफ चम्पनीस कनिंघम|ए के नाम पर रखा गया है। जे सी कनिंघम। उन्हें लगभग दोगुनी प्राइम्स की चेन भी कहा जाता है।

परिभाषा

पहली तरह की लंबाई n की एक कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (p) का एक क्रम है₁, ..., पी_n) ऐसा है कि पी_i+1= 2पी_i+ 1 सभी के लिए 1 ≤ i < n. (इसलिए अंतिम को छोड़कर ऐसी श्रृंखला का प्रत्येक पद सोफी जर्मेन अभाज्य है, और पहले को छोड़कर प्रत्येक पद एक सुरक्षित अभाज्य है)।

यह इस प्रकार है कि

${\begin{aligned}p_{2}&=2p_{1}+1,\\p_{3}&=4p_{1}+3,\\p_{4}&=8p_{1}+7,\\&{}\ \vdots \\p_{i}&=2^{i-1}p_{1}+(2^{i-1}-1),\end{aligned}}$

या, सेटिंग द्वारा $a={\frac {p_{1}+1}{2}}$ (जो नंबर $a$ अनुक्रम का हिस्सा नहीं है और अभाज्य संख्या होने की आवश्यकता नहीं है), हमारे पास है $p_{i}=2^{i}a-1.$ इसी तरह, दूसरी तरह की लंबाई n की एक कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (p) का एक क्रम है₁, ..., पी_n) ऐसा है कि पी_i+1= 2पी_i− 1 सबके लिए 1 ≤ i < n.

यह इस प्रकार है कि सामान्य शब्द है

$p_{i}=2^{i-1}p_{1}-(2^{i-1}-1).$

अब, सेटिंग करके $a={\frac {p_{1}-1}{2}}$, अपने पास $p_{i}=2^{i}a+1$.

कनिंघम शृंखलाओं को भी कभी-कभी अभाज्य संख्याओं के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है (p₁, ..., पी_n) ऐसा है कि पी_i+1 = एपी_iसभी 1 ≤ i ≤ n के लिए + b निश्चित सह अभाज्य पूर्णांक a और b के लिए; परिणामी श्रृंखलाओं को 'सामान्यीकृत कनिंघम श्रृंखला' कहा जाता है।

एक कनिंघम श्रृंखला को 'पूर्ण' कहा जाता है यदि इसे आगे बढ़ाया नहीं जा सकता है, अर्थात, यदि श्रृंखला में पिछले और अगले पद अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

उदाहरण

पहली तरह की पूर्ण कनिंघम श्रृंखलाओं के उदाहरणों में ये शामिल हैं:

2, 5, 11, 23, 47 (अगली संख्या 95 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

3, 7 (अगली संख्या 15 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

29, 59 (अगली संख्या 119 = 7×17 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

41, 83, 167 (अगली संख्या 335 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

89, 179, 359, 719, 1439, 2879 (अगली संख्या 5759 = 13×443 होगी, लेकिन यह अभाज्य संख्या नहीं है।)

दूसरी तरह की पूर्ण कनिंघम श्रृंखलाओं के उदाहरणों में ये शामिल हैं:

2, 3, 5 (अगली संख्या 9 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

7, 13 (अगली संख्या 25 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

19, 37, 73 (अगली संख्या 145 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

31, 61 (अगली संख्या 121 = 11 होगी², लेकिन वह प्राइम नहीं है।)

कनिंघम चेन को अब क्रिप्टोग्राफिक सिस्टम में उपयोगी माना जाता है क्योंकि वे ElGamal एन्क्रिप्शन के लिए दो समवर्ती उपयुक्त सेटिंग्स प्रदान करते हैं ... [जो] किसी भी क्षेत्र में लागू किया जा सकता है जहां असतत लघुगणक समस्या कठिन है।

सबसे बड़ी ज्ञात कनिंघम चेन

यह डिक्सन के अनुमान और व्यापक शिनजेल की परिकल्पना एच से अनुसरण करता है, दोनों को व्यापक रूप से सच माना जाता है, कि प्रत्येक k के लिए अनंत रूप से लंबाई k की कई कनिंघम श्रृंखलाएँ हैं। हालाँकि, ऐसी श्रृंखलाएँ उत्पन्न करने की कोई ज्ञात प्रत्यक्ष विधियाँ नहीं हैं।

सबसे लंबी कनिंघम श्रृंखला के लिए या सबसे बड़े अभाज्यों से बने एक के लिए कंप्यूटिंग प्रतियोगिताएं होती हैं, लेकिन बेन जे. ग्रीन और टेरेंस ताओ की सफलता के विपरीत - ग्रीन-ताओ प्रमेय, कि मनमानी लंबाई के अभाज्यों की अंकगणितीय प्रगति होती है - बड़ी कनिंघम श्रृंखलाओं पर आज तक कोई सामान्य परिणाम ज्ञात नहीं है।

Largest known Cunningham chain of length k (as of 17 March 2023)

k	Kind	p1 (starting prime)	Digits	Year	Discoverer
1	1st / 2nd	282589933 − 1	24862048	2018	Patrick Laroche, GIMPS
2	1st	2618163402417×21290000 − 1	388342	2016	PrimeGrid
	2nd	213778324725×2561417 + 1	169015	2023	Ryan Propper & Serge Batalov
3	1st	1128330746865×266439 − 1	20013	2020	Michael Paridon
	2nd	742478255901×240067 + 1	12074	2016	Michael Angel & Dirk Augustin
4	1st	13720852541×7877# − 1	3384	2016	Michael Angel & Dirk Augustin
	2nd	49325406476×9811# + 1	4234	2019	Oscar Östlin
5	1st	31017701152691334912×4091# − 1	1765	2016	Andrey Balyakin
	2nd	181439827616655015936×4673# + 1	2018	2016	Andrey Balyakin
6	1st	2799873605326×2371# - 1	1016	2015	Serge Batalov
	2nd	52992297065385779421184×1531# + 1	668	2015	Andrey Balyakin
7	1st	82466536397303904×1171# − 1	509	2016	Andrey Balyakin
	2nd	25802590081726373888×1033# + 1	453	2015	Andrey Balyakin
8	1st	89628063633698570895360×593# − 1	265	2015	Andrey Balyakin
	2nd	2373007846680317952×761# + 1	337	2016	Andrey Balyakin
9	1st	553374939996823808×593# − 1	260	2016	Andrey Balyakin
	2nd	173129832252242394185728×401# + 1	187	2015	Andrey Balyakin
10	1st	3696772637099483023015936×311# − 1	150	2016	Andrey Balyakin
	2nd	2044300700000658875613184×311# + 1	150	2016	Andrey Balyakin
11	1st	73853903764168979088206401473739410396455001112581722569026969860983656346568919×151# − 1	140	2013	Primecoin (block 95569)
	2nd	341841671431409652891648×311# + 1	149	2016	Andrey Balyakin
12	1st	288320466650346626888267818984974462085357412586437032687304004479168536445314040×83# − 1	113	2014	Primecoin (block 558800)
	2nd	906644189971753846618980352×233# + 1	121	2015	Andrey Balyakin
13	1st	106680560818292299253267832484567360951928953599522278361651385665522443588804123392×61# − 1	107	2014	Primecoin (block 368051)
	2nd	38249410745534076442242419351233801191635692835712219264661912943040353398995076864×47# + 1	101	2014	Primecoin (block 539977)
14	1st	4631673892190914134588763508558377441004250662630975370524984655678678526944768×47# − 1	97	2018	Primecoin (block 2659167)
	2nd	5819411283298069803200936040662511327268486153212216998535044251830806354124236416×47# + 1	100	2014	Primecoin (block 547276)
15	1st	14354792166345299956567113728×43# - 1	45	2016	Andrey Balyakin
	2nd	67040002730422542592×53# + 1	40	2016	Andrey Balyakin
16	1st	91304653283578934559359	23	2008	Jaroslaw Wroblewski
	2nd	2×1540797425367761006138858881 − 1	28	2014	Chermoni & Wroblewski
17	1st	2759832934171386593519	22	2008	Jaroslaw Wroblewski
	2nd	1540797425367761006138858881	28	2014	Chermoni & Wroblewski
18	2nd	658189097608811942204322721	27	2014	Chermoni & Wroblewski
19	2nd	79910197721667870187016101	26	2014	Chermoni & Wroblewski

q# प्रारंभिक 2 × 3 × 5 × 7 × ... × q को दर्शाता है।

As of 2018, किसी भी तरह की सबसे लंबी ज्ञात कनिंघम श्रृंखला की लंबाई 19 है, जिसे 2014 में जारोस्लाव व्रॉब्ल्व्स्की द्वारा खोजा गया था।

कनिंघम जंजीरों की बधाई

समता (गणित) को प्रधान होने दें $p_{1}$ पहली तरह की कनिंघम श्रृंखला का पहला प्रधान बनें। इस प्रकार पहला अभाज्य विषम है $p_{1}\equiv 1{\pmod {2}}$. चूँकि श्रृंखला में प्रत्येक क्रमिक अभाज्य है $p_{i+1}=$