वेब्लेन फलन

गणित में, वेब्लेन फलन, सामान्य फलन का पदानुक्रम है (क्रमवाचक संख्या से क्रमांक तक कठोरता से बढ़ते फलन) , जिसे वेबलेन (1908) में ओसवाल्ड वेब्लेन द्वारा प्रस्तुत किया गया। यदि φ₀ कोई सामान्य कार्य है, तो किसी भी गैर-शून्य क्रमिक α के लिए, φ_α β<α के लिए φ_β के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करने वाला कार्य है। ये सभी सामान्य कार्य हैं।

वेब्लेन पदानुक्रम

विशेष स्थिति में जब φ₀(α) = ω^α कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है। फलन φ₁, ε फलन के समान है: φ₁(α) = ε_α यदि $\alpha <\beta \,,$ तब $\varphi _{\alpha }(\varphi _{\beta }(\gamma ))=\varphi _{\beta }(\gamma )$ होता है। इससे और तथ्य यह है कि φ_β कठोरता से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: $\varphi _{\alpha }(\beta )<\varphi _{\gamma }(\delta )$ यदि और केवल यदि या तो ($\alpha =\gamma$ और $\beta <\delta$) या ($\alpha <\gamma$ और $\beta <\varphi _{\gamma }(\delta )$) या ($\alpha >\gamma$ और $\varphi _{\alpha }(\beta )<\delta$) होता है।

वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

cofinality ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के पास α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के बीच स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम ऑर्डिनल्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के तहत n की छवि α[n] द्वारा इंगित की जाएगी।

वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले सामान्य अंकगणित # कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $\alpha =\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\varphi _{\beta _{2}}(\gamma _{2})+\cdots +\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})$, जहाँ k>0 प्राकृत संख्या है और पहले के बाद का प्रत्येक पद पिछले पद से कम या बराबर है, $\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\geq \varphi _{\beta _{m+1}}(\gamma _{m+1})\,,$ और प्रत्येक $\gamma _{m}<\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\,.$ यदि अंतिम पद के लिए मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम से प्रतिस्थापित किया जा सकता है $\alpha [n]=\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\cdots +\varphi _{\beta _{k-1}}(\gamma _{k-1})+(\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})[n])\,.$ किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है $\gamma <\varphi _{\beta }(\gamma )\,,$ तो करने दें $\varphi _{\beta }(\gamma )[n]=\varphi _{\beta }(\gamma [n])\,.$ ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है $\varphi _{0}(0)$ = ओ⁰ = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।

के लिए $\varphi _{0}(\gamma +1)=\omega ^{\gamma +1}=\omega ^{\gamma }\cdot \omega \,,$ हम चुनते हैं