रसद वितरण

Logistic distribution

Probability density function Standard logistic PDF
Cumulative distribution function Standard logistic CDF
Parameters	$\mu ,$ location (real) $s>0,$ scale (real)
Support	$x\in (-\infty ,\infty )$
PDF	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$
CDF	${\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}$
Quantile	$\mu +s\log \left({\frac {p}{1-p}}\right)$
Mean	$\mu$
Median	$\mu$
Mode	$\mu$
Variance	${\frac {s^{2}\pi ^{2}}{3}}$
Skewness	$0$
Ex. kurtosis	$6/5$
Entropy	$\ln s+2$
MGF	$e^{\mu t}\mathrm {B} (1-st,1+st)$ for $t\in (-1/s,1/s)$ and $\mathrm {B}$ is the Beta function
CF	$e^{it\mu }{\frac {\pi st}{\sinh(\pi st)}}$

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, रसद वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है। इसका संचयी वितरण कार्य रसद समारोह है, जो संभार तन्त्र परावर्तन और फीडफॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क में दिखाई देता है। यह आकार में सामान्य वितरण जैसा दिखता है लेकिन इसमें भारी पूंछ (उच्च कुकुदता) होती है। रसद वितरण Tukey लैम्ब्डा वितरण का एक विशेष मामला है।

विशिष्टता

संभाव्यता घनत्व समारोह

जब स्थान पैरामीटरμ 0 है और स्केल पैरामीटर हैs 1 है, तो रसद वितरण का प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है

${\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}$

इस प्रकार सामान्य तौर पर घनत्व है:

${\begin{aligned}f(x;\mu ,s)&={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{s\left(e^{(x-\mu )/(2s)}+e^{-(x-\mu )/(2s)}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{aligned}}$

चूँकि यह फलन अतिशयोक्तिपूर्ण फलन sech के वर्ग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसे कभी-कभी sech-square(d) बंटन भी कहा जाता है। (यह भी देखें: अतिपरवलयिक छेदक वितरण)।

संचयी वितरण समारोह

लॉजिस्टिक डिस्ट्रीब्यूशन को इसका नाम इसके संचयी वितरण फ़ंक्शन से मिलता है, जो लॉजिस्टिक फ़ंक्शंस के परिवार का एक उदाहरण है। रसद वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन भी हाइपरबॉलिक फ़ंक्शन का एक स्केल किया गया संस्करण है।

$F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tanh} \left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).$

इस समीकरण में μ माध्य है, और s मानक विचलन के समानुपाती पैमाना पैरामीटर है।

क्वांटाइल फ़ंक्शन

लॉजिस्टिक डिस्ट्रीब्यूशन का व्युत्क्रम फंक्शन संचयी डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन (मात्रात्मक समारोह ) लॉगिट फंक्शन का एक सामान्यीकरण है। इसके व्युत्पन्न को क्वांटाइल डेंसिटी फंक्शन कहा जाता है। उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$Q(p;\mu ,s)=\mu +s\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).$

$Q'(p;s)={\frac {s}{p(1-p)}}.$

वैकल्पिक मानकीकरण

लॉजिस्टिक डिस्ट्रीब्यूशन का एक वैकल्पिक पैरामीटर स्केल पैरामीटर व्यक्त करके प्राप्त किया जा सकता है, $s$, मानक विचलन के संदर्भ में, $\sigma$, प्रतिस्थापन का उपयोग करना $s\,=\,q\,\sigma$, कहाँ $q\,=\,{\sqrt {3}}/{\pi }\,=\,0.551328895\ldots$. उपरोक्त कार्यों के वैकल्पिक रूप यथोचित रूप से सीधे हैं।

अनुप्रयोग

लॉजिस्टिक डिस्ट्रीब्यूशन- और इसके संचयी डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन (लॉजिस्टिक फंक्शन) और क्वांटाइल फंक्शन (लॉगिट फ़ंक्शन) के एस-आकार के पैटर्न का व्यापक रूप से कई अलग-अलग क्षेत्रों में उपयोग किया गया है।

रसद प्रतिगमन

सबसे आम अनुप्रयोगों में से एक रसद प्रतिगमन में है, जिसका उपयोग श्रेणीबद्ध चर निर्भर चर (जैसे, हाँ-नहीं विकल्प या 3 या 4 संभावनाओं का विकल्प) के मॉडलिंग के लिए किया जाता है, जितना कि मानक रैखिक प्रतिगमन का उपयोग निरंतर चर मॉडलिंग के लिए किया जाता है (उदा। , आय या जनसंख्या)। विशेष रूप से, लॉजिस्टिक रिग्रेशन मॉडल को लॉजिस्टिक डिस्ट्रीब्यूशन के बाद त्रुटि चर ्स के साथ अव्यक्त चर मॉडल के रूप में तैयार किया जा सकता है। असतत पसंद मॉडल के सिद्धांत में यह वाक्यांश आम है, जहां रसद वितरण रसद प्रतिगमन में समान भूमिका निभाता है क्योंकि सामान्य वितरण प्रोबिट प्रतिगमन में करता है। दरअसल, लॉजिस्टिक और नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन का आकार काफी समान होता है। हालांकि, लॉजिस्टिक डिस्ट्रीब्यूशन में भारी पूंछ वितरण होता है, जो सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग करने की तुलना में अक्सर इसके आधार पर विश्लेषण के मजबूत आंकड़ों को बढ़ाता है।

भौतिकी

इस वितरण के पीडीएफ में वही कार्यात्मक रूप है जो फर्मी समारोह के व्युत्पन्न के रूप में है। अर्धचालकों और धातुओं में इलेक्ट्रॉन गुणों के सिद्धांत में, यह व्युत्पन्न इलेक्ट्रॉन परिवहन में उनके योगदान में विभिन्न इलेक्ट्रॉन ऊर्जाओं के सापेक्ष भार को निर्धारित करता है। वे ऊर्जा स्तर जिनकी ऊर्जा वितरण के माध्य (फर्मी स्तर) के सबसे करीब हैं, इलेक्ट्रॉनिक चालन जैसी प्रक्रियाओं पर हावी हैं, तापमान से प्रेरित कुछ स्मियरिंग के साथ। हालांकि ध्यान दें कि फर्मी-डिराक आंकड़ों में प्रासंगिक संभाव्यता वितरण वास्तव में एक साधारण बर्नौली वितरण है, जिसमें फर्मी फ़ंक्शन द्वारा दिए गए प्रायिकता कारक हैं।

रसद वितरण एक टेलीग्राफ प्रक्रिया द्वारा वर्णित एक परिमित-वेग अवमंदित यादृच्छिक गति के सीमा वितरण के रूप में उत्पन्न होता है जिसमें लगातार वेग परिवर्तनों के बीच यादृच्छिक समय में रैखिक रूप से बढ़ते मापदंडों के साथ स्वतंत्र घातीय वितरण होते हैं।

जल विज्ञान

फ़ाइल:FitLogisticdistr.tif|thumb|250px, वितरण फिटिंग भी देखें जल विज्ञान में लंबी अवधि के नदी प्रवाह और वर्षा का वितरण (उदाहरण के लिए, मासिक और वार्षिक योग, जिसमें 30 क्रमशः 360 दैनिक मान शामिल हैं) को अक्सर केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार लगभग सामान्य माना जाता है। हालाँकि, सामान्य वितरण को एक संख्यात्मक सन्निकटन की आवश्यकता होती है। तार्किक वितरण के रूप में, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है, सामान्य वितरण के समान है, इसके बजाय इसका उपयोग किया जा सकता है। नीली तस्वीर अक्टूबर की बारिश के लिए रसद वितरण को फिट करने का एक उदाहरण दिखाती है - जो लगभग सामान्य रूप से वितरित होती है - और यह द्विपद वितरण के आधार पर 90% विश्वास बेल्ट दिखाती है। संचयी बारंबारता विश्लेषण के भाग के रूप में वर्षा के आंकड़ों को साजिश रचने की स्थिति द्वारा दर्शाया जाता है।

शतरंज रेटिंग

संयुक्त राज्य अमेरिका शतरंज संघ और FIDE ने शतरंज रेटिंग की गणना के लिए अपने फॉर्मूले को सामान्य वितरण से लॉजिस्टिक वितरण में बदल दिया है; एलो रेटिंग प्रणाली पर लेख देखें (स्वयं सामान्य वितरण पर आधारित)।

संबंधित वितरण

• लॉजिस्टिक डिस्ट्रीब्यूशन स्वयं वितरण की नकल करता है।
• अगर $X\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)$ तब $kX+\ell \sim \mathrm {Logistic} (k\mu +\ell ,|k|s)$.
• अगर $X\sim$ समान वितरण (निरंतर)| यू (0, 1) फिर $\mu +s(\log X-\log(1-X))\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)$.
• अगर $X\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{X},\beta )$ और $Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{Y},\beta )$ तब स्वतंत्र रूप से $X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\mu _{X}-\mu _{Y},\beta )\,$.
• अगर $X$ और $Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )$ तब $X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\,$ (योग एक रसद वितरण नहीं है)। ध्यान दें कि $E(X+Y)=2\mu +2\beta \gamma \neq 2\mu =E\left(\mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\right)$.
• यदि एक्स ~ लॉजिस्टिक (μ, एस) तो एक्स (एक्स) ~ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण$\left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}}\right)$, और ऍक्स्प (एक्स) + γ ~ स्थानांतरित लॉग-लॉजिस्टिक वितरण|स्थानांतरित लॉग-लॉजिस्टिक$\left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}},\gamma \right)$.
• यदि एक्स ~ घातीय वितरण | घातीय (1) तो

$\mu +s\log(e^{X}-1)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,s).$

• यदि एक्स, वाई ~ एक्सपोनेंशियल (1) तो

$\mu -s\log \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,s).$

• मेटलॉग वितरण लॉजिस्टिक डिस्ट्रीब्यूशन का सामान्यीकरण है, जिसमें पावर सीरीज के संदर्भ में विस्तार होता है $p$ रसद मापदंडों के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है $\mu$ और $\sigma$. परिणामी मेटालॉग क्वांटाइल फ़ंक्शन अत्यधिक आकार का लचीला है, एक सरल बंद रूप है, और रैखिक कम से कम वर्गों के साथ डेटा के लिए फिट हो सकता है।

व्युत्पत्ति

उच्च क्रम क्षण

nवें क्रम के केंद्रीय क्षण को क्वांटाइल फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}\,dF(x)\\&=\int _{0}^{1}{\big (}Q(p)-\mu {\big )}^{n}\,dp=s^{n}\int _{0}^{1}\left[\ln \!\left({\frac {p}{1-p}}\right)\right]^{n}\,dp.\end{aligned}}$

यह अभिन्न सर्वविदित है और बर्नौली संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.$

यह भी देखें

• सामान्यीकृत रसद वितरण
• Tukey लैम्ब्डा वितरण
• लॉग-लॉजिस्टिक वितरण
• आधा रसद वितरण
• संभार तन्त्र परावर्तन
• सिग्मॉइड फ़ंक्शन

संदर्भ

• John S. deCani & Robert A. Stine (1986). "A note on deriving the information matrix for a logistic distribution". The American Statistician. American Statistical Association. 40: 220–222. doi:10.2307/2684541.
• N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; N., Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd ed.). ISBN 0-471-58494-0.

• Modis, Theodore (1992) Predictions: Society's Telltale Signature Reveals the Past and Forecasts the Future, Simon & Schuster, New York. ISBN 0-671-75917-5