कॉटन टेन्सर

अंतर ज्यामिति में, आयाम n के (छद्म)-रीमैनियन कई गुना पर कपास टेन्सर, मीट्रिक टेंसर का तीसरा-क्रम टेंसर क्षेत्र सहवर्ती है। n = 3 के लिए कपास टेंसर का लुप्त होना आवश्यक है एवं कई समतल होने के लिए पर्याप्त स्थिति है। इसके विपरीत, आयाम n ≥ 4 में कपास टेन्सर का लुप्त होना आवश्यक है, किन्तु मीट्रिक के अनुरूप से समतल होने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसके अतिरिक्त, इन उच्च आयामों में संबंधित आवश्यक एवं पर्याप्त स्थिति वेइल टेन्सर का लुप्त होना है, जबकि कपास टेन्सर केवल स्थिर समय बन जाता है, वेइल टेंसर के विचलन का स्थिर समय बन जाता है। n < 3 के लिए कपास टेन्सर समान रूप से शून्य है। इस अवधारणा का नाम एमिल कपास के नाम पर रखा गया है।

शास्त्रीय परिणाम का प्रमाण जिसके लिए n = 3 कपास टेन्सर का लुप्त होना मीट्रिक के अनुरूप रूप से समतल होने के समान है, ईसेनहार्ट द्वारा मानकअभिन्नता की स्थिति तर्क का उपयोग करके दिया जाता है। यह टेंसर घनत्व विशिष्ट रूप से इसके अनुरूप गुणों की विशेषता है, जो याचना के साथ युग्मित होती है, कि यह मनमाना मेट्रिक्स के लिए भिन्न हो सकता है, जैसा कि (एल्डर्सली 1979) द्वारा दिखाया गया है।

शीघ्र में ही, त्रि-आयामी रिक्त स्थान का अध्ययन अत्यधिक रुचि का हो रहा है, क्योंकि कपास टेन्सर रिक्की टेन्सर एवं आइंस्टीन समीकरणों में पदार्थ के ऊर्जा-संवेग टेंसर के मध्य संबंध को प्रतिबंधित करता है एवं सामान्य सापेक्षता के हैमिल्टनियन औपचारिकता में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। .

परिभाषा

निर्देशांक में, एवं R_ij द्वारा रिक्की टेन्सर एवं R द्वारा अदिश वक्रता को निरूपित करते हुए कपास टेन्सर के घटक होते हैं।

$C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).$

कपास टेन्सर को 2-फॉर्म वैल्यू वाले सदिश रूप के रूप में माना जा सकता है, एवं n = 3 के लिए हॉज स्टार ऑपरेटर का उपयोग करके इसे दूसरे ऑर्डर ट्रेस फ्री टेन्सर घनत्व में परिवर्तित किया जा सकता है।

$C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},$

कभी-कभी इसे कपास यॉर्क टेंसर भी कहा जाता है।

गुण

अनुरूप पुनर्विक्रय

मीट्रिक के अनुरूप पुनर्विक्रय के अनुसार ${\tilde {g}}=e^{2\omega }g$ कुछ अदिश फ़ंक्शन के लिए $\omega$. हम देखते हैं, कि क्रिस्टोफेल प्रतीक इस रूप में रूपांतरित होते हैं।

${\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }$

जहाँ $S_{\beta \gamma }^{\alpha }$ टेंसर है,

$S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega$

रीमैन वक्रता टेन्सर के रूप में रूपांतरित होता है

${{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }$

में $n$-आयामी कई गुना, हम रिमेंन टेन्सर को अनुबंधित करके रिक्की टेन्सर प्राप्त करते हैं, जिससे इसे इस रूप में रूपांतरित होते देखा जा सके।

${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{R}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=R_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->g_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->(n-<!--\; -\; -->2){\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+(n-<!--\; -\; -->2)({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->g_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$