आंशिक कार्य

Not to be confused with आंशिक अनुप्रयोग उनमें से कुछ को ठीक करके, कई चरों के एक फलन का.

गणित में, आंशिक कार्य f समुच्चय से (गणित) X समुच्चय के लिए Y सबसमुच्चय से फलन (गणित) है S का X (संभवतः संपूर्ण X स्वयं) को Y. उपसमुच्चय S, यानी, फलन का डोमेन f को कार्य के रूप में देखा जाता है, जिसे परिभाषा का डोमेन या प्राकृतिक डोमेन कहा जाता है f. अगर S बराबर है X, यानी अगर f में प्रत्येक तत्व पर परिभाषित किया गया है X, तब f को कुल कार्य कहा जाता है।

अधिक तकनीकी रूप से, आंशिक कार्य दो समुच्चय (गणित) पर द्विआधारी संबंध है जो पहले समुच्चय के प्रत्येक तत्व को दूसरे समुच्चय के तत्व अधिकतम से जोड़ता है; इस प्रकार यह द्विआधारी संबंध विशेष प्रकार के द्विआधारी संबंध हैं। यह पहले समुच्चय के प्रत्येक तत्व को दूसरे समुच्चय के तत्व बिल्कुल से संबद्ध करने की आवश्यकता नहीं होने के द्वारा (कुल) फलन (गणित) की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है।

आंशिक फलन का उपयोग अधिकांशतः तब किया जाता है जब इसकी परिभाषा का सटीक डोमेन ज्ञात नहीं होता है या निर्दिष्ट करना कठिन होता है। गणना में यह स्थिति है, उदाहरण के लिए, दो कार्यों का भागफल आंशिक कार्य है जिसकी परिभाषा के डोमेन में भाजक के कार्य का शून्य नहीं हो सकता है। इस कारण से, कैलकुलस में, और अधिक सामान्यतः गणितीय विश्लेषण में, आंशिक फलन को सामान्यतः केवल a कहा जाता है फलन संगणनीयता सिद्धांत सिद्धांत में सामान्य पुनरावर्ती कार्य पूर्णांकों से पूर्णांकों का आंशिक कार्य है; यह तय करने के लिए कोई कलन विधि उपस्थित नहीं हो सकता है कि इस तरह का मनमाना कार्य वास्तव में कुल है या नहीं।

जब फलन (गणित) एरो नोटेशन फलन के लिए उपयोग किया जाता है, आंशिक फलन $f$ से $X$ को $Y$ कभी-कभी लिखा जाता है $f:X\rightharpoonup Y,$ $f:X\nrightarrow Y,$ या $f:X\hookrightarrow Y.$ चुकीं, कोई सामान्य फलन नहीं है, और बाद के अंकन का उपयोग सामान्यतः सम्मिलित किए जाने वाले मानचित्रों या एम्बेडिंग के लिए किया जाता है।

विशेष रूप से, आंशिक कार्य के लिए $f:X\rightharpoonup Y,$ और कोई भी $x\in X,$ एक के पास या तो है:

• $f(x)=y\in Y$ (यह एकल तत्व है Y), या
• $f(x)$ अपरिभाषित है।

उदाहरण के लिए, यदि $f$ वर्गमूल फलन पूर्णांक तक सीमित है।

$f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,$ द्वारा परिभाषित:

$f(n)=m$ अगर और केवल अगर, $m^{2}=n,$ $m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,$

तब $f(n)$ केवल अगर परिभाषित किया गया है $n$ वर्ग संख्या है (अर्थात, $0,1,4,9,16,\ldots$). इसलिए $f(25)=5$ लेकिन $f(26)$ अपरिभाषित है।

मूलभूत अवधारणाएँ

आंशिक कार्य का उदाहरण जो इंजेक्टिव है।

फलन का उदाहरण जो इंजेक्टिव नहीं है।

आंशिक कार्य दो समुच्चयों के बीच मानचित्रों के विचार से उत्पन्न होता है X और Y जिसे पूरे समुच्चय पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है X सामान्य उदाहरण वास्तविक संख्याओं पर वर्गमूल संक्रिया है $\mathbb {R}$: क्योंकि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं में वास्तविक वर्गमूल नहीं होते हैं, संक्रिया को आंशिक फलन के रूप में देखा जा सकता है $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R} .$ आंशिक फलन की परिभाषा का डोमेन सबसमुच्चय है S का X जिस पर आंशिक कार्य परिभाषित किया गया है; इस स्थिति में, आंशिक फलन को फलन के रूप में भी देखा जा सकता है S को Y. वर्गमूल संक्रिया के उदाहरण में, समुच्चय S में अऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ होती $[0,+\infty ).$ हैं।

आंशिक कार्य की धारणा विशेष रूप से सुविधाजनक होती है जब परिभाषा का सटीक डोमेन अज्ञात या अनजान भी होता है। उत्तरार्द्ध के कंप्यूटर-विज्ञान उदाहरण के लिए, हॉल्टिंग समस्या देखें।

परिभाषा के डोमेन के स्थितियों में S पूरे समुच्चय के बराबर है X, आंशिक कार्य को कुल कहा जाता है। इस प्रकार, से कुल आंशिक कार्य X को Y से कार्यों के साथ मेल खाता है X को Y कार्यों के कई गुण आंशिक कार्यों के उचित अर्थ में विस्तारित किए जा सकते हैं। आंशिक फलन को इंजेक्टिव फलन, विशेषण फलन या द्विभाजन कहा जाता है, जब आंशिक फलन के परिभाषा के डोमेन में आंशिक फलन के प्रतिबंध द्वारा दिए गए फलन क्रमशः इंजेक्टिव विशेषण होते हैं।

क्योंकि फलन तुच्छ रूप से विशेषण है जब इसकी छवि तक सीमित है, आंशिक आक्षेप शब्द आंशिक कार्य को दर्शाता है जो इंजेक्टिव है।

इंजेक्टिव आंशिक फलन को इंजेक्टिव आंशिक फलन में उलटा किया जा सकता है, और आंशिक फलन जो इंजेक्टिव और विशेषण दोनों में व्युत्क्रम के रूप में इंजेक्टिव फलन होता है। इसके अतिरिक्त, फलन जो इंजेक्टिव है, इंजेक्टिव आंशिक फलन में उलटा हो सकता है।

परिवर्तन (कार्य) की धारणा को आंशिक कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। आंशिक परिवर्तन कार्य है $f:A\rightharpoonup B,$ जहां दोनों $A$ और $B$ किसी समुच्चय के उपसमुच्चय हैं $X.$

फलन स्पेस

सुविधा के लिए, सभी आंशिक कार्यों के समुच्चय को निरूपित करें $f:X\rightharpoonup Y$ समुच्चय से $X$ समुच्चय के लिए $Y$ द्वारा $[X\rightharpoonup Y].$ यह समुच्चय सबसमुच्चय पर परिभाषित कार्यों के समुच्चय का संघ है $X$ एक ही कोडोमेन के साथ $Y$:

$[X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq X}[D\to Y],$

उत्तरार्द्ध के रूप में भी लिखा गया है ${\textstyle \bigcup _{D\subseteq {X}}Y^{D}.}$ परिमित स्थितियों में, इसकी प्रमुखता है।

$|[X\rightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},$

क्योंकि किसी भी आंशिक फलन को किसी निश्चित मान से फलन तक बढ़ाया जा सकता है $c$ में निहित नहीं है $Y,$ जिससे कोडोमेन है $Y\cup \{c\},$ ऑपरेशन जो इंजेक्टिव (प्रतिबंध द्वारा अद्वितीय और उलटा) है।

चर्चा और उदाहरण

लेख के शीर्ष पर पहला आरेख आंशिक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है जो है not फलन चूंकि बाएं हाथ के समुच्चय में तत्व 1 दाएं हाथ के समुच्चय में किसी भी चीज़ से संबद्ध नहीं है। जबकि, दूसरा आरेख फलन का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि बाएं हाथ के समुच्चय पर प्रत्येक तत्व दाहिने हाथ के समुच्चय में ठीक तत्व से जुड़ा होता है।