सममित टेंसर

गणित में, एक सममित टेन्सर एक टेंसर होता है जो अपने सदिश तर्कों के क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होता है:

$T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots ,v_{\sigma r})$

प्रतीकों के प्रत्येक क्रमचय σ के लिए {1, 2, ..., r}. वैकल्पिक रूप से, r सूचकांकों के साथ एक मात्रा के रूप में निर्देशांक में दर्शाए गए क्रम r का एक सममित टेन्सर संतुष्ट करता है

$T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.$

परिमित-आयामी सदिश स्थान V पर क्रम r के सममित टेंसरों का स्थान V पर डिग्री r के सजातीय बहुपदों के स्थान के दोहरे के लिए प्राकृतिक समरूपता है। विशेषता शून्य के क्षेत्र (गणित) पर, सभी सममित का श्रेणीबद्ध सदिश स्थल दसियों को वी पर सममित बीजगणित के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। एक संबंधित अवधारणा एंटीसिमेट्रिक टेंसर या वैकल्पिक रूप की है। अभियांत्रिकी, भौतिकी और गणित में सममित टेन्सर व्यापक रूप से पाए जाते हैं।

परिभाषा

मान लीजिए कि V एक सदिश समष्टि है और

$T\in V^{\otimes k}$

आदेश का एक टेंसर k। तब T एक सममित टेंसर है यदि

$\tau _{\sigma }T=T\,$

टेंसर उत्पाद के लिए#टेन्सर की शक्तियाँ और ब्रेडिंग प्रत्येक क्रमचय σ से संबंधित प्रतीकों पर {1,2,...,k} (या समतुल्य रूप से इन प्रतीकों पर प्रत्येक ट्रांसपोज़िशन (गणित) के लिए)।

एक आधार दिया (रैखिक बीजगणित) {ईⁱ}, रैंक k के किसी भी सममित टेन्सर T को इस रूप में लिखा जा सकता है

$T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}$

गुणांक की कुछ अनूठी सूची के लिए $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$ (आधार में टेंसर के घटक) जो सूचकांकों पर सममित हैं। यानी

$T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$

प्रत्येक क्रमचय के लिए σ.

V पर परिभाषित क्रम k के सभी सममित टेंसरों का स्थान अक्सर S द्वारा निरूपित किया जाता है^k(V) या Sym^{के</सुप>(वी). यह स्वयं एक सदिश समष्टि है, और यदि V का आयाम N है तो Sym का आयाम हैk(V) द्विपद गुणांक है}

$\dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.$

फिर हम Sym(V) की रचना Sym की सदिश समष्टियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में करते हैं^{कश्मीर}(वी) के लिए के = 0,1,2,...

$\operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V).$

उदाहरण

सममित टेन्सर के कई उदाहरण हैं। कुछ में शामिल हैं, मीट्रिक टेंसर, $g_{\mu \nu }$, आइंस्टीन टेंसर, $G_{\mu \nu }$ और रिक्की टेंसर, $R_{\mu \nu }$.

भौतिकी और इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाने वाले कई भौतिक गुणों और क्षेत्र (भौतिकी) को सममित टेंसर फ़ील्ड के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए: तनाव (भौतिकी), तनाव टेन्सर, और एनिस्ट्रोपिक विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता। इसके अलावा, प्रसार एमआरआई में मस्तिष्क या शरीर के अन्य भागों में प्रसार का वर्णन करने के लिए अक्सर सममित टेंसर का उपयोग किया जाता है।

दीर्घवृत्त बीजगणितीय किस्मों के उदाहरण हैं; और इसलिए, सामान्य रैंक के लिए, सजातीय बहुपदों की आड़ में सममित टेंसरों का उपयोग प्रोजेक्टिव किस्मों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, और अक्सर इस तरह अध्ययन किया जाता है।

एक रिमेंनियन कई गुना दिया गया $(M,g)$ इसके Levi-Civita कनेक्शन से लैस है $\nabla$, रीमैन कर्वेचर टेन्सर#कोऑर्डिनेट एक्सप्रेशन सदिश स्थान पर एक सममित क्रम 2 टेन्सर है ${\textstyle V=\Omega ^{2}(M)=\bigwedge ^{2}T^{*}M}$ अंतर 2-रूपों का। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि, देखना $R_{ijk\ell }\in (T^{*}M)^{\otimes 4}$, हमारे पास समरूपता है $R_{ijk\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}=R_{k\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$