समान कण

क्वांटम यांत्रिकी मेसन, समान कण (जिन्हें अप्रभेद्य या अविवेकी कण भी कहा जाता है) ऐसे कण होते हैं जिन्हें सिद्धांत रूप में भी एक दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है। समान कणों की प्रजातियों में प्राथमिक कण (जैसे इलेक्ट्रॉन), समग्र उप-परमाणु कण (जैसे परमाणु नाभिक), साथ ही परमाणु और अणु शामिल हैं, लेकिन इन तक सीमित नहीं हैं। क्वासिपार्टिकल्स भी इसी प्रकार का व्यवहार करते हैं। हालांकि सभी ज्ञात अप्रभेद्य कण केवल क्वांटम दायरे में मौजूद हैं, कणों के सभी संभावित प्रकारों की कोई विस्तृत सूची नहीं है और न ही प्रयोज्यता की स्पष्ट सीमा है, जैसा कि कण सांख्यिकी #Quantum सांख्यिकी में पता लगाया गया है।

समान कणों की दो मुख्य श्रेणियां हैं: बोसोन, जो क्वांटम अवस्थाओं को साझा कर सकते हैं, और फर्मियन, जो नहीं कर सकते (जैसा कि पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा वर्णित है)। फोटॉन, ग्लूऑन, फोनन, हीलियम -4 नाभिक और सभी मेसॉन बोसॉन के उदाहरण हैं। इलेक्ट्रॉन, न्युट्रीनो , क्वार्क, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और हीलियम -3 नाभिक फ़र्मियन के उदाहरण हैं।

तथ्य यह है कि कण समान हो सकते हैं, सांख्यिकीय यांत्रिकी में महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जहां गणना संभाव्यता सिद्धांत तर्कों पर निर्भर करती है, जो इस बात के प्रति संवेदनशील हैं कि अध्ययन की जा रही वस्तुएं समान हैं या नहीं। नतीजतन, समान कण अलग-अलग कणों से स्पष्ट रूप से भिन्न सांख्यिकीय व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, गिब्स के गिब्स विरोधाभास # द मिक्सिंग पैराडॉक्स के समाधान के रूप में कणों की अविभाज्यता को प्रस्तावित किया गया है।

कणों के बीच भेद

कणों के बीच भेद करने की दो विधियाँ हैं। पहली विधि कणों के आंतरिक भौतिक गुणों, जैसे द्रव्यमान, विद्युत आवेश और स्पिन (भौतिकी) में अंतर पर निर्भर करती है। यदि मतभेद मौजूद हैं, तो संबंधित गुणों को मापकर कणों के बीच अंतर करना संभव है। हालाँकि, यह एक अनुभवजन्य तथ्य है कि एक ही प्रजाति के सूक्ष्म कणों में पूरी तरह से समान भौतिक गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, ब्रह्माण्ड के प्रत्येक इलेक्ट्रॉन में बिल्कुल समान विद्युत आवेश होता है; यही कारण है कि प्राथमिक प्रभार जैसी किसी चीज के बारे में बात करना संभव है।

भले ही कणों के समान भौतिक गुण हों, कणों के बीच अंतर करने के लिए एक दूसरी विधि बनी रहती है, जो प्रत्येक कण के प्रक्षेपवक्र को ट्रैक करना है। जब तक प्रत्येक कण की स्थिति को अनंत सटीकता के साथ मापा जा सकता है (यहां तक ​​कि जब कण टकराते हैं), तब तक कोई अस्पष्टता नहीं होगी कि कौन सा कण है।

दूसरे दृष्टिकोण के साथ समस्या यह है कि यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों के विपरीत है। क्वांटम सिद्धांत के अनुसार, माप के बीच की अवधि के दौरान कणों की निश्चित स्थिति नहीं होती है। इसके बजाय, वे तरंग क्रिया द्वारा नियंत्रित होते हैं जो प्रत्येक स्थिति में एक कण को ​​खोजने की संभावना देते हैं। जैसे-जैसे समय बीतता है, वेवफंक्शन फैलते हैं और ओवरलैप होते हैं। एक बार ऐसा हो जाने के बाद, बाद के माप में यह निर्धारित करना असंभव हो जाता है कि कौन से कण की स्थिति पहले मापी गई स्थिति के अनुरूप है। कणों को तब अप्रभेद्य कहा जाता है।

क्वांटम यांत्रिक विवरण

सममित और विषम स्थिति

एक अनंत वर्ग कुएं की क्षमता में (फर्मियोनिक) 2-कण अवस्था के लिए एंटीसिमेट्रिक वेवफंक्शन।

एक अनंत वर्ग कुएं की क्षमता में (बोसोनिक) 2-कण अवस्था के लिए सममित तरंग।

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण पर लेख में विकसित औपचारिकता का उपयोग करते हुए उपरोक्त चर्चा को ठोस बनाने के लिए एक उदाहरण निम्नलिखित है।

चलो n एकल-कण अवस्थाओं को निर्दिष्ट करने के लिए (असतत) क्वांटम संख्याओं के एक पूर्ण सेट को निरूपित करते हैं (उदाहरण के लिए, एक बॉक्स समस्या में कण के लिए, n को वेवफंक्शन के परिमाणित तरंग वेक्टर के रूप में लें।) सरलता के लिए, एक प्रणाली पर विचार करें। दो कणों की जो एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं कर रहे हैं। मान लीजिए कि एक कण n अवस्था में है₁, और दूसरा राज्य n में है₂. सिस्टम की क्वांटम स्थिति को अभिव्यक्ति द्वारा निरूपित किया जाता है

$|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle$

जहां टेन्सर उत्पाद का क्रम मायने रखता है (यदि $|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle$, तो कण 1 राज्य n पर कब्जा कर लेता है₂ जबकि कण 2 राज्य n पर कब्जा कर लेता है₁). यह टेंसर उत्पाद स्थान के लिए आधार बनाने का प्रामाणिक तरीका है $H\otimes H$ व्यक्तिगत रिक्त स्थान से संयुक्त प्रणाली का। यह अभिव्यक्ति अलग-अलग कणों के लिए मान्य है, हालांकि, यह अप्रभेद्य कणों के लिए उपयुक्त नहीं है $|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle$ और $|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle$ कणों के आदान-प्रदान के परिणामस्वरूप आम तौर पर अलग-अलग अवस्थाएँ होती हैं।

• कण 1 n पर कब्जा कर लेता है₁ स्थिति और कण 2 n पर कब्जा कर लेता है₂ राज्य ≠ कण 1 n पर कब्जा कर लेता है₂ स्थिति और कण 2 n पर कब्जा कर लेता है₁ राज्य ।

दो अवस्थाएँ शारीरिक रूप से केवल तभी समतुल्य होती हैं, जब वे एक जटिल चरण कारक द्वारा अधिक से अधिक भिन्न हों। दो अप्रभेद्य कणों के लिए, कण विनिमय से पहले की अवस्था विनिमय के बाद की अवस्था के भौतिक रूप से समतुल्य होनी चाहिए, इसलिए ये दोनों अवस्थाएँ एक जटिल चरण कारक द्वारा भिन्न होती हैं। यह तथ्य बताता है कि दो अप्रभेद्य (और गैर-अंतःक्रियात्मक) कणों के लिए एक स्थिति निम्नलिखित दो संभावनाओं द्वारा दी गई है:

$|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle$

राज्यों जहां यह एक राशि है सममित के रूप में जाना जाता है, जबकि अंतर को शामिल करने वाले राज्यों को एंटीसिमेट्रिक कहा जाता है। अधिक पूरी तरह से, सममित राज्यों का रूप है

$|n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}$

जबकि एंटीसिमेट्रिक राज्यों का रूप है

$|n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}$

ध्यान दें कि यदि एन₁ और n₂ समान हैं, एंटीसिमेट्रिक अभिव्यक्ति शून्य देता है, जो एक राज्य वेक्टर नहीं हो सकता क्योंकि इसे सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक से अधिक समान कण एक एंटीसिमेट्रिक स्थिति पर कब्जा नहीं कर सकते (एक एंटीसिमेट्रिक राज्य केवल एक कण द्वारा कब्जा कर लिया जा सकता है)। इसे पाउली अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, और यह परमाणुओं के रासायनिक गुणों और पदार्थ की स्थिरता के पीछे मूलभूत कारण है।

एक्सचेंज समरूपता

सममित और विषमतापूर्ण राज्यों का महत्व अंततः अनुभवजन्य साक्ष्य पर आधारित है। यह प्रकृति का एक तथ्य प्रतीत होता है कि समान कण मिश्रित समरूपता की अवस्थाओं पर कब्जा नहीं करते हैं, जैसे कि

$|n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}$

वास्तव में इस नियम का एक अपवाद है, जिस पर बाद में चर्चा की जाएगी। दूसरी ओर, यह दिखाया जा सकता है कि सममित और एंटीसिमेट्रिक राज्य एक अर्थ में विशेष हैं, बहु-कण राज्यों की एक विशेष समरूपता की जांच करके जिसे विनिमय समरूपता के रूप में जाना जाता है।

एक्सचेंज ऑपरेटर कहे जाने वाले रैखिक ऑपरेटर पी को परिभाषित करें। जब यह दो राज्य वैक्टरों के टेन्सर उत्पाद पर कार्य करता है, तो यह राज्य वैक्टरों के मूल्यों का आदान-प्रदान करता है:

$P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle$

P हर्मिटियन संकारक और एकात्मक संकारक दोनों है। क्योंकि यह एकात्मक है, इसे एक समरूपता (भौतिकी) के रूप में माना जा सकता है। इस समरूपता को कणों से जुड़े लेबलों के आदान-प्रदान के तहत समरूपता के रूप में वर्णित किया जा सकता है (यानी, एकल-कण हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए)।

स्पष्ट रूप से, $P^{2}=1$ (पहचान संचालक), इसलिए P के आइगेनमान +1 और -1 हैं। संबंधित eigenvectors सममित और एंटीसिमेट्रिक राज्य हैं:

$P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle$

$P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle$

दूसरे शब्दों में, सममित और एंटीसिमेट्रिक राज्य अनिवार्य रूप से कण लेबल के आदान-प्रदान के तहत अपरिवर्तित होते हैं: हिल्बर्ट स्पेस में कहीं और घुमाए जाने के बजाय उन्हें केवल +1 या -1 के कारक से गुणा किया जाता है। यह इंगित करता है कि अप्रभेद्यता पर पहले की चर्चा के साथ कण लेबल का कोई भौतिक अर्थ नहीं है।

यह याद किया जाएगा कि P हर्मिटियन है। नतीजतन, इसे सिस्टम के अवलोकन के रूप में माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि, सिद्धांत रूप में, यह पता लगाने के लिए एक माप किया जा सकता है कि कोई राज्य सममित या विषम है या नहीं। इसके अलावा, कणों की समानता इंगित करती है कि हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को सममित रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि

$H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})$

यह दिखाना संभव है कि ऐसे हैमिल्टन कम्यूटेटर को संतुष्ट करते हैं

$\left[P,H\right]=0$

हाइजेनबर्ग चित्र के अनुसार, इसका अर्थ है कि P का मान गति का एक स्थिरांक है। यदि क्वांटम राज्य प्रारंभिक रूप से सममित (एंटीसिमेट्रिक) है, तो सिस्टम विकसित होने पर यह सममित (एंटीसिमेट्रिक) रहेगा। गणितीय रूप से, यह कहता है कि राज्य वेक्टर पी के दो ईजेनस्पेस में से एक तक ही सीमित है, और पूरे हिल्बर्ट स्पेस में रेंज करने की अनुमति नहीं है। इस प्रकार, उस आइगेनस्पेस को सिस्टम के वास्तविक हिल्बर्ट स्पेस के रूप में भी माना जा सकता है। फॉक स्पेस की परिभाषा के पीछे यही विचार है।

फर्मियंस और बोसोन

समरूपता या एंटीसिमेट्री का चुनाव कण की प्रजातियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, फोटॉनों या हीलियम-4 परमाणुओं का वर्णन करते समय सममित अवस्थाओं का हमेशा उपयोग किया जाना चाहिए, और इलेक्ट्रॉनों या प्रोटॉनों का वर्णन करते समय प्रतिसममित अवस्थाओं का उपयोग किया जाना चाहिए।

सममित अवस्था प्रदर्शित करने वाले कण बोसोन कहलाते हैं। कई समान बोसोन से बनी प्रणालियों के सांख्यिकीय गुणों के लिए सममित राज्यों की प्रकृति के महत्वपूर्ण परिणाम हैं। इन सांख्यिकीय गुणों को बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी के रूप में वर्णित किया गया है।

वे कण जो प्रतिसममित अवस्थाएँ प्रदर्शित करते हैं, फ़र्मियन कहलाते हैं। प्रतिसममिति पाउली बहिष्करण सिद्धांत को जन्म देती है, जो समान क्वांटम अवस्था को साझा करने से समान फर्मों को मना करती है। फर्मी-डिराक सांख्यिकी द्वारा कई समान फर्मों की प्रणालियों का वर्णन किया गया है।

पैरास्टैटिस्टिक्स भी संभव हैं।

कुछ द्वि-आयामी प्रणालियों में, मिश्रित समरूपता हो सकती है। इन विदेशी कणों को किसी के रूप में जाना जाता है, और वे भिन्नात्मक आँकड़ों का पालन करते हैं। किसी भी प्रकार के अस्तित्व के लिए प्रायोगिक साक्ष्य क्वांटम हॉल प्रभाव में मौजूद है, एक घटना जो द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैसों में देखी गई है जो MOSFETs की व्युत्क्रम परत बनाती है। एक ऋणायन प्रकार का आँकड़ा है, जिसे चोटी के आँकड़ों के रूप में जाना जाता है, जो निटवेअर के रूप में जाने जाने वाले कणों से जुड़े होते हैं।

स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय समान कणों के विनिमय समरूपता को उनके स्पिन (भौतिकी) से संबंधित करता है। इसमें कहा गया है कि बोसोन में पूर्णांक स्पिन होता है, और फ़र्मियन में आधा-पूर्णांक स्पिन होता है। किसी के पास भिन्नात्मक स्पिन होती है।

एन कण

उपरोक्त चर्चा एन कणों के मामले में आसानी से सामान्यीकृत होती है। मान लीजिए कि क्वांटम संख्या n वाले N कण हैं₁, एन₂, ..., एन_N. यदि कण बोसोन हैं, तो वे पूरी तरह से सममित स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं, जो किसी भी दो कण लेबल के आदान-प्रदान के तहत सममित है:

$|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {\prod _{n}m_{n}!}{N!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle$

यहां, एन तत्वों पर अभिनय करने वाले क्रमपरिवर्तन पी के तहत सभी अलग-अलग राज्यों में योग लिया जाता है। योग के लिए छोड़ा गया वर्गमूल एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। मात्रा एम_nN-कण अवस्था में प्रत्येक एकल-कण अवस्था n प्रकट होने की संख्या के लिए खड़ा है। ध्यान दें कि Σ_n m_n = एन।

एक ही नस में, 'पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक स्टेट्स' पर कब्जा कर लेते हैं:

$|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \$

यहाँ, sgn(p) प्रत्येक क्रमचय के क्रमचय की समानता है (अर्थात $+1$ अगर $p$ पारदर्शिता की एक समान संख्या से बना है, और $-1$ अगर विषम)। ध्यान दें कि नहीं है $\Pi _{n}m_{n}$ शब्द, क्योंकि प्रत्येक एकल-कण अवस्था केवल एक बार फर्मीओनिक अवस्था में प्रकट हो सकती है। अन्यथा विषमता के कारण योग फिर से शून्य होगा, इस प्रकार यह शारीरिक रूप से असंभव स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। यह अनेक कणों के लिए पाउली अपवर्जन सिद्धांत है।

इन राज्यों को सामान्य किया गया है ताकि

$\langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.$

माप

मान लीजिए कि सममित (एंटीसिमेट्रिक) अवस्था में एन बोसोन (फर्मियन) की एक प्रणाली है

$|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle$

और असतत वेधशालाओं के किसी अन्य सेट पर माप किया जाता है, मी। सामान्य तौर पर, यह कुछ परिणाम m देता है₁एक कण के लिए, एम₂दूसरे कण के लिए, और आगे। यदि कण बोसोन (फर्मियन) हैं, तो माप के बाद की स्थिति सममित (एंटीसिमेट्रिक) होनी चाहिए, अर्थात।

$|m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle$

एम माप के लिए एक विशेष परिणाम प्राप्त करने की संभावना है

$P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}$

यह दिखाया जा सकता है

$\sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1$

जो सत्यापित करता है कि कुल प्रायिकता 1 है। योग को m के क्रमित मानों तक सीमित रखना होगा₁, ..., एम_Nयह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक बहु-कण अवस्था को एक से अधिक बार नहीं गिना जाता है।

वेवफंक्शन प्रतिनिधित्व

अब तक, चर्चा में केवल असतत वेधशालाओं को शामिल किया गया है। इसे निरंतर अवलोकनीयों तक बढ़ाया जा सकता है, जैसे स्थिति (वेक्टर) x।

याद रखें कि एक निरंतर अवलोकनीय का ईजेनस्टेट अवलोकन योग्य के मूल्यों की एक असीम श्रेणी का प्रतिनिधित्व करता है, अलग-अलग अवलोकनों के साथ एक मान नहीं। उदाहरण के लिए, यदि कोई कण |ψ⟩ अवस्था में है, तो उसके आयतन d के क्षेत्र में पाए जाने की संभावना³x किसी स्थिति x के आस-पास है

$|\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x$

नतीजतन, निरंतर eigenstates |x⟩ एकता के बजाय डायराक डेल्टा समारोह के लिए सामान्यीकृत होते हैं:

$\langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')$

सममित और एंटीसिमेट्रिक मल्टी-पार्टिकल स्टेट्स का निर्माण पहले की तरह निरंतर ईजेनस्टेट्स से किया जा सकता है। हालाँकि, यह एक अलग सामान्यीकरण स्थिरांक का उपयोग करने के लिए प्रथागत है:

${\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{N!}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}$

एक बहु-पिंड वेवफंक्शन लिखा जा सकता है,

${\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}$

जहां एकल-कण तरंगों को हमेशा की तरह परिभाषित किया जाता है

$\psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle$

इन तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि किसी भी दो समन्वयित चर का आदान-प्रदान करने से तरंग फ़ंक्शन केवल प्लस या माइनस चिह्न से बदल जाता है। यह वेवफंक्शन प्रतिनिधित्व में समरूपता और एंटीसिमेट्री की अभिव्यक्ति है:

${\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}$

मल्टी-बॉडी वेवफंक्शन का निम्नलिखित महत्व है: यदि सिस्टम प्रारंभ में क्वांटम संख्या n के साथ एक अवस्था में है₁, ..., एन_N, और एक स्थिति मापन किया जाता है, x के निकट अतिसूक्ष्म मात्रा में कणों को खोजने की संभावना₁, एक्स₂, ..., एक्स_N है

$N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x$

एन का कारक! हमारे सामान्यीकरण स्थिरांक से आता है, जिसे चुना गया है ताकि, एकल-कण तरंगों के अनुरूप,

$\int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1$

क्योंकि प्रत्येक समाकल x के सभी संभावित मानों पर चलता है, प्रत्येक बहु-कण अवस्था N दिखाई देती है! अभिन्न में बार। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक घटना से जुड़ी संभावना समान रूप से एन में वितरित की जाती है! अभिन्न स्थान में समतुल्य बिंदु। क्योंकि यह आमतौर पर प्रतिबंधित लोगों की तुलना में अप्रतिबंधित इंटीग्रल के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है, इसे दर्शाने के लिए सामान्यीकरण स्थिरांक को चुना गया है।

अंत में, एंटीसिमेट्रिक वेवफंक्शन को मैट्रिक्स (गणित) के निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे स्लेटर निर्धारक के रूप में जाना जाता है:

$\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|$

ऑपरेटर दृष्टिकोण और पैरास्टैटिस्टिक्स

के लिए हिल्बर्ट स्थान $n$ कण टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए हैं ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$. का क्रमपरिवर्तन समूह $S_{n}$ प्रविष्टियों को अनुमति देकर इस स्थान पर कार्य करता है। परिभाषा के अनुसार एक अवलोकनीय के लिए अपेक्षा मूल्य $a$ का $n$ इन क्रमपरिवर्तन के तहत अप्रभेद्य कणों को अपरिवर्तनीय होना चाहिए। इसका मतलब है कि सभी के लिए $\psi \in H$ और $\sigma \in S_{n}$

$(\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,$

या समकक्ष प्रत्येक के लिए $\sigma \in S_{n}$

$\sigma ^{t}a\sigma =a$.

दो अवस्थाएँ समतुल्य होती हैं जब भी उनकी अपेक्षाएँ सभी अवलोकनों के लिए मेल खाती हैं। अगर हम के अवलोकनों तक सीमित हैं $n$ समान कण, और इसलिए ऊपर दिए गए समीकरण को संतुष्ट करने वाले अवलोकनीय, हम पाते हैं कि निम्नलिखित राज्य (सामान्यीकरण के बाद) समकक्ष हैं

$\Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi$.

तुल्यता वर्ग के अलघुकरणीय उपसमष्टि के साथ विशेषण संबंध में हैं ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ अंतर्गत $S_{n}$.

दो स्पष्ट अप्रासंगिक उप-स्थान एक आयामी सममित/बोसोनिक उप-स्थान और विरोधी-सममित/फर्मियोनिक उप-स्थान हैं। हालाँकि अधिक प्रकार के इरेड्यूसिबल सबस्पेस हैं। इन अन्य अप्रासंगिक उप-स्थानों से जुड़े राज्यों को पैरास्टैटिस्टिक्स कहा जाता है। युवा झाँकी # प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अनुप्रयोग इन सभी अप्रासंगिक उप-स्थानों को वर्गीकृत करने का एक तरीका प्रदान करते हैं।

सांख्यिकीय गुण

अप्रभेद्यता के सांख्यिकीय प्रभाव

कणों की अप्रभेद्यता का उनके सांख्यिकीय गुणों पर गहरा प्रभाव पड़ता है। इसे स्पष्ट करने के लिए, N विभेदनीय, गैर-अंतःक्रियात्मक कणों की एक प्रणाली पर विचार करें। एक बार फिर, चलो एन_j कण जे की स्थिति (अर्थात क्वांटम संख्या) को निरूपित करें। यदि कणों में समान भौतिक गुण हैं, तो n_jमानों की समान श्रेणी पर चलाया जाता है। चलो ε(n) स्थिति n में एक कण की ऊर्जा को निरूपित करते हैं। चूंकि कण परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, सिस्टम की कुल ऊर्जा एकल-कण ऊर्जाओं का योग है। सिस्टम का विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है

$Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}$

जहाँ k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और T तापमान है। यह व्यंजक प्राप्त करने के लिए गुणनखंड हो सकता है

$Z=\xi ^{N}$

कहाँ

$\xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].$

यदि कण समान हैं, तो यह समीकरण गलत है। सिस्टम की एक स्थिति पर विचार करें, जिसे एकल कण राज्यों द्वारा वर्णित किया गया है [एन₁, ..., एन_N]। Z के लिए समीकरण में, n का प्रत्येक संभव क्रमचय योग में एक बार होता है, भले ही इनमें से प्रत्येक क्रमपरिवर्तन एक ही बहु-कण अवस्था का वर्णन कर रहा हो। इस प्रकार, राज्यों की संख्या अधिक गिना गया है।

यदि अतिव्यापी राज्यों की संभावना की उपेक्षा की जाती है, जो तापमान अधिक होने पर मान्य है, तो प्रत्येक राज्य की गणना की जाने वाली संख्या लगभग N! है। सही विभाजन कार्य है

$Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.$

ध्यान दें कि यह उच्च तापमान सन्निकटन fermions और bosons के बीच अंतर नहीं करता है।

अलग-अलग और अप्रभेद्य कणों के विभाजन कार्यों में विसंगति को क्वांटम यांत्रिकी के आगमन से पहले 19वीं शताब्दी तक जाना जाता था। यह गिब्स विरोधाभास के रूप में जानी जाने वाली कठिनाई की ओर ले जाता है। विलार्ड गिब्स ने दिखाया कि समीकरण Z = ξ में^N, शास्त्रीय आदर्श गैस की एंट्रॉपी (थर्मोडायनामिक्स) है

$S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)$

जहाँ V गैस का आयतन है और f अकेले T का कुछ कार्य है। इस परिणाम के साथ समस्या यह है कि S व्यापक चर नहीं है - यदि N और V दोगुने हैं, तो S तदनुसार दोगुना नहीं होता है। ऐसी प्रणाली ऊष्मप्रवैगिकी के सिद्धांतों का पालन नहीं करती है।

गिब्स ने यह भी दिखाया कि Z = ξ का उपयोग करना^एन/और! परिणाम में परिवर्तन करें

$S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)$

जो बिल्कुल व्यापक है। हालाँकि, विभाजन कार्य में इस सुधार का कारण क्वांटम यांत्रिकी की खोज तक अस्पष्ट रहा

बोसॉन और फर्मिऑन के सांख्यिकीय गुण

बोसोन और फ़र्मियन के सांख्यिकीय व्यवहार के बीच महत्वपूर्ण अंतर हैं, जो क्रमशः बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी और फर्मी-डिराक सांख्यिकी द्वारा वर्णित हैं। मोटे तौर पर कहा जाए तो, बोसोन में एक ही क्वांटम अवस्था में टकराने की प्रवृत्ति होती है, जो लेज़र, बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट|बोस-आइंस्टीन संघनन, और अतिप्रवाह जैसी घटनाओं को रेखांकित करती है। दूसरी ओर, फर्मीन्स को क्वांटम राज्यों को साझा करने से मना किया जाता है, जिससे फर्मी गैस जैसी प्रणालियों को जन्म मिलता है। इसे पाउली अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, और अधिकांश रसायन विज्ञान के लिए जिम्मेदार है, क्योंकि एक परमाणु (फर्मियन) में इलेक्ट्रॉन क्रमिक रूप से एक ही निम्नतम ऊर्जा अवस्था में पड़े सभी राज्यों के बजाय इलेक्ट्रॉन कवच के भीतर कई राज्यों को भरते हैं।

दो कणों की एक प्रणाली का उपयोग करके फ़र्मियन, बोसोन और अलग-अलग कणों के सांख्यिकीय व्यवहार के बीच के अंतर को चित्रित किया जा सकता है। कणों को ए और बी नामित किया गया है। प्रत्येक कण दो संभावित अवस्थाओं में मौजूद हो सकता है, जिन्हें लेबल किया गया है $|0\rangle$ और $|1\rangle$, जिनमें समान ऊर्जा होती है।

समग्र प्रणाली समय के साथ विकसित हो सकती है, एक शोर वातावरण के साथ बातचीत कर सकती है। क्योंकि $|0\rangle$ और $|1\rangle$ राज्य ऊर्जावान रूप से समतुल्य हैं, न तो राज्य का पक्ष लिया जाता है, इसलिए इस प्रक्रिया का राज्यों को यादृच्छिक बनाने का प्रभाव है। (क्वांटम उलझाव पर लेख में इस पर चर्चा की गई है।) कुछ समय बाद, समग्र प्रणाली में इसके लिए उपलब्ध प्रत्येक राज्य पर कब्जा करने की समान संभावना होगी। कण राज्यों को तब मापा जाता है।

यदि ए और बी अलग-अलग कण हैं, तो समग्र प्रणाली में चार अलग-अलग राज्य हैं: $|0\rangle |0\rangle$, $|1\rangle |1\rangle$, $|0\rangle |1\rangle$, और $|1\rangle |0\rangle$. में दो कण प्राप्त करने की प्रायिकता $|0\rangle$ राज्य 0.25 है; में दो कण प्राप्त करने की प्रायिकता $|1\rangle$ राज्य 0.25 है; और में एक कण प्राप्त करने की संभावना $|0\rangle$ राज्य में और दूसरा में $|1\rangle$ राज्य 0.5 है।

यदि ए और बी समान बोसोन हैं, तो समग्र प्रणाली में केवल तीन अलग-अलग अवस्थाएँ हैं: $|0\rangle |0\rangle$, $|1\rangle |1\rangle$, और ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )$. जब प्रयोग किया जाता है, तो दो कणों के प्राप्त होने की प्रायिकता $|0\rangle$ राज्य अब 0.33 है; में दो कण प्राप्त करने की प्रायिकता $|1\rangle$ राज्य 0.33 है; और में एक कण प्राप्त करने की संभावना $|0\rangle$ राज्य में और दूसरा में $|1\rangle$ राज्य 0.33 है। ध्यान दें कि एक ही अवस्था में कणों को खोजने की संभावना अलग-अलग मामले की तुलना में अपेक्षाकृत बड़ी है। यह बोसोन की क्लंप बनने की प्रवृत्ति को प्रदर्शित करता है।

यदि ए और बी समान फ़र्मियन हैं, तो समग्र प्रणाली के लिए केवल एक ही अवस्था उपलब्ध है: पूरी तरह से विषम स्थिति ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )$. जब प्रयोग किया जाता है, तो एक कण हमेशा अंदर होता है $|0\rangle$ राज्य और दूसरा में है $|1\rangle$ राज्य।

नतीजों को टेबल एक में सार निकाला गया है:

Table 1: Statistics of two particles

Particles	Both 0	Both 1	One 0 and one 1
Distinguishable	0.25	0.25	0.5
Bosons	0.33	0.33	0.33
Fermions	0	0	1

जैसा कि देखा जा सकता है, यहां तक ​​कि दो कणों की एक प्रणाली अलग-अलग कणों, बोसॉन और फर्मिऑन के बीच अलग-अलग सांख्यिकीय व्यवहार प्रदर्शित करती है। फर्मी-डिराक सांख्यिकी और बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी पर लेखों में, इन सिद्धांतों को गुणात्मक रूप से समान परिणामों के साथ बड़ी संख्या में कणों तक विस्तारित किया गया है।

समरूपता वर्ग

See also: Homotopy and Braid statistics

यह समझने के लिए कि कण आँकड़े उस तरह से क्यों काम करते हैं, जैसा वे करते हैं, पहले ध्यान दें कि कण बिंदु-स्थानीय उत्तेजना हैं और जो कण अलग-अलग हैं वे परस्पर क्रिया नहीं करते हैं। एक फ्लैट में d-विमीय स्थान M, किसी भी समय, दो समान कणों के विन्यास को एक तत्व के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है M × M. यदि कणों के बीच कोई ओवरलैप नहीं है, ताकि वे सीधे बातचीत न करें, तो उनके स्थान अंतरिक्ष से संबंधित होने चाहिए [M × M] \ {coincident points}, संपाती बिंदुओं के साथ उप-स्थान हटा दिया गया। तत्व (x, y) कण I के साथ विन्यास का वर्णन करता है x और कण II पर y, जबकि (y, x) इंटरचेंज कॉन्फ़िगरेशन का वर्णन करता है। समान कणों के साथ, द्वारा वर्णित राज्य (x, y) द्वारा वर्णित राज्य से अप्रभेद्य होना चाहिए (y, x). अब से निरंतर पथों के होमोटॉपी वर्ग पर विचार करें (x, y) को (y, x), अंतरिक्ष के भीतर [M × M] \ {coincident points} . अगर M है $\mathbb {R} ^{d}$ कहाँ d ≥ 3, तो इस समरूपता वर्ग में केवल एक तत्व है। अगर M है $\mathbb {R} ^{2}$, तो इस होमोटॉपी वर्ग में कई तत्व हैं (यानी आधे मोड़ से एक वामावर्त इंटरचेंज, एक वामावर्त इंटरचेंज द्वारा डेढ़ मोड़, ढाई मोड़, आदि, एक क्लॉकवाइज इंटरचेंज आधा मोड़, आदि) . विशेष रूप से, आधे मोड़ से वामावर्त इंटरचेंज आधे मोड़ से दक्षिणावर्त इंटरचेंज के लिए होमोटोपिक नहीं है। अंत में, अगर M है $\mathbb {R}$, तो यह होमोटॉपी क्लास खाली है।

मान लीजिए कि पहले d ≥ 3. का सार्वभौमिक आवरण स्थान [M × M] \ {coincident points}, जो और कोई नहीं है [M × M] \ {coincident points} ही, केवल दो बिंदु हैं जो शारीरिक रूप से अप्रभेद्य हैं (x, y), अर्थात् (x, y) खुद और (y, x). इसलिए, दोनों कणों की अदला-बदली करने के लिए केवल अनुमत विनिमय है। यह आदान-प्रदान एक उलटाव (गणित) है, इसलिए इसका एकमात्र प्रभाव चरण को 1 के वर्गमूल से गुणा करना है। यदि जड़ +1 है, तो अंकों में बोस आँकड़े हैं, और यदि मूल -1 है, तो अंक हैं फर्मी सांख्यिकी।

यदि $M=\mathbb {R} ^{2},$ का सार्वभौमिक आवरण स्थान [M × M] \ {coincident points} में अपरिमित रूप से अनेक बिंदु हैं जो भौतिक रूप से अप्रभेद्य हैं (x, y). यह एक वामावर्त अर्ध-मोड़ इंटरचेंज बनाकर उत्पन्न अनंत चक्रीय समूह द्वारा वर्णित है। पिछले मामले के विपरीत, इस इंटरचेंज को लगातार दो बार करने से मूल स्थिति ठीक नहीं होती है; इसलिए इस तरह के आदान-प्रदान का परिणाम सामान्य रूप से गुणा में हो सकता है exp(iθ) किसी भी वास्तविक के लिए θ (केन्द्रीकरण द्वारा, गुणन का निरपेक्ष मान 1 होना चाहिए)। इसे एनीऑनिक सांख्यिकी कहा जाता है। वास्तव में, भले ही दो अलग-अलग कणों के साथ (x, y) अब शारीरिक रूप से भिन्न है (y, x), यूनिवर्सल कवरिंग स्पेस में अभी भी असीम रूप से कई बिंदु हैं जो मूल बिंदु से भौतिक रूप से अप्रभेद्य हैं, जो अब एक पूर्ण मोड़ द्वारा वामावर्त रोटेशन द्वारा उत्पन्न होते हैं। यह जनरेटर, तब, गुणा में परिणत होता है exp(iφ). यहाँ इस चरण कारक को पारस्परिक आँकड़े कहा जाता है।

अंत में, मामले में $M=\mathbb {R} ,$ अंतरिक्ष [M × M] \ {coincident points} जुड़ा नहीं है, इसलिए भले ही कण I और कण II समान हों, फिर भी उन्हें बाईं ओर के कण और दाईं ओर के कण जैसे लेबल के माध्यम से पहचाना जा सकता है। यहाँ कोई इंटरचेंज समरूपता नहीं है।

यह भी देखें

• अर्ध-सेट सिद्धांत
• डेब्रोग्ली परिकल्पना

संदर्भ

• Tuckerman, Mark (2010), Statistical Mechanics, ISBN 978-0198525264

बाहरी संबंध

• The Feynman Lectures on Physics Vol. III Ch. 4: Identical Particles
• Exchange of Identical and Possibly Indistinguishable Particles by John S. Denker
• Identity and Individuality in Quantum Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
• Many-Electron States in E. Pavarini, E. Koch, and U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6