द्विघात फलन

For एक द्विघात फलन के शून्य, see द्विघात समीकरण and द्विघात सूत्र.

बीजगणित में, द्विघात फलन, द्विघात बहुपद, घात दो का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।

File:Polynomialdeg2.svg

बहुपद (x अक्ष के क्रॉसिंग) के दो वास्तविक संख्या मूल के साथ द्विघात बहुपद और इसलिए कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है। कुछ अन्य द्विघात बहुपदों का एक्स अक्ष के ऊपर न्यूनतम होता है, इस स्थितियों में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है और दो जटिल जड़ें होती हैं।

उदाहरण के लिए, अविभाज्य (एकल-चर) द्विघात फलन का रूप होता है

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0$

एकल चर x में अविभाजित द्विघात फलन के फलन का आलेख परवलय है, वक्र जिसमें समरूपता का अक्ष समांतर होता है y-एक्सिस यदि द्विघात फलन शून्य के साथ समीकरण है, तो परिणाम द्विघात समीकरण है। द्विघात समीकरण के हल संगत द्विघात फलन के फलनों के शून्य होते हैं।

चर x और y के संदर्भ में द्विचर स्थिति का रूप है

$f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f$

a, b, c में से कम से कम शून्य के बराबर नहीं है। इस द्विघात समारोह के शून्य सामान्य रूप से हैं (अर्थात, यदि गुणांक की निश्चित अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है), शंक्वाकार खंड ( वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) है।

तीन चर x, y, और z में द्विघात फलन में विशेष रूप से x पद होते हैं, के साथ x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z,और स्थिरांक

$f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

कम से कम गुणांक के साथ a, b, c, d, e, f दूसरी डिग्री की शर्तें गैर-शून्य हैं।

सामान्यतः चर की बड़ी संख्या हो सकती है, इस स्थितियों में द्विघात फलन को शून्य पर सेट करने की परिणामी सतह (ज्यामिति) को क्वाड्रिक कहा जाता है, लेकिन उच्चतम डिग्री शब्द डिग्री 2 का होना चाहिए, जैसे x², xy, yz, आदि।

व्युत्पत्ति

विशेषण द्विघात लैटिन शब्द चतुर्भुज ("स्क्वायर") वर्ग ज्यामिति से आया है। एक शब्द जैसा x² बीजगणित में वर्ग (बीजगणित) कहा जाता है क्योंकि यह भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल होता है। x.

शब्दावली

गुणांक

बहुपद के गुणांकों को अधिकांशतः वास्तविक या जटिल द्विघात बहुपद के रूप में लिया जाता है, लेकिन वास्तव में, बहुपद को किसी भी वलय (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।

डिग्री

द्विघात बहुपद शब्द का उपयोग करते समय, लेखकों का अर्थ कभी-कभी ठीक 2 डिग्री होना और कभी-कभी अधिकतम 2 डिग्री होना होता है। यदि डिग्री 2 से कम है, तो इसे डीजनरेसी (गणित) कहा जा सकता है। सामान्यतः संदर्भ स्थापित करेगा कि दोनों में से कौन सा अर्थ है।

कभी-कभी शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के अर्थ के साथ किया जाता है, उदा। एक दूसरे क्रम का बहुपद। चूंकि, जहां बहुपद की डिग्री बहुपद के गैर-शून्य शब्द की सबसे बड़ी डिग्री को संदर्भित करती है, अधिक विशिष्ट रूप से आदेश शक्ति श्रृंखला के गैर-शून्य शब्द की निम्नतम डिग्री को संदर्भित करता है।

चर

द्विघात बहुपद में एकल चर (गणित) x (एक तरफ स्थितियां), या कई चर जैसे x, y, और z (बहुभिन्नरूपी स्थितियां) सम्मिलित हो सकते हैं।

एक चर स्थितियां

किसी एकल-चर द्विघात बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$ax^{2}+bx+c,\,\!$

जहाँ x चर है, और a, b, और c गुणांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, ऐसे बहुपद अधिकांशतः द्विघात समीकरण के रूप में उत्पन्न होते हैं $ax^{2}+bx+c=0$. इस समीकरण के समाधान को द्विघात बहुपद के फलन का मूल कहा जाता है, और गुणनखंडन, वर्ग को पूरा करने, फलन का ग्राफ, न्यूटन की विधि, या द्विघात सूत्र के उपयोग के माध्यम से पाया जा सकता है। प्रत्येक द्विघात बहुपद का संबद्ध द्विघात फलन होता है, जिसका फलन का ग्राफ परवलय होता है।

द्विभाजित स्थितियां

दो चर वाले किसी भी द्विघात बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!$

जहाँ x और y चर हैं और a, b, c, d, e, और f गुणांक हैं। इस तरह के बहुपद शांकव वर्गों के अध्ययन के लिए मौलिक हैं, जिन्हें f (x, y) के लिए अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करने की विशेषता है।

इसी तरह, तीन या अधिक चर वाले द्विघात बहुपद द्विघात सतहों और हाइपरसर्फ्स के अनुरूप होते हैं। रैखिक बीजगणित में, द्विघात बहुपदों को सदिश स्थान पर द्विघात रूप की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

अविभाजित द्विघात फलन के रूप

अविभाजित द्विघात फलन को तीन स्वरूपों में व्यक्त किया जा सकता है:

• $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ मानक रूप कहा जाता है,
• $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ कारक रूप कहा जाता है, जहाँ r₁ तथा r₂ द्विघात फलन के मूल और संगत द्विघात समीकरण के हल हैं।
• $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ वर्टेक्स फॉर्म कहा जाता है, जहां h तथा k क्या हैं x तथा y क्रमशः शीर्ष के निर्देशांक।

गुणांक a तीनों रूपों में समान मूल्य है। मानक रूप को कारक रूप में बदलने के लिए, दो जड़ों को निर्धारित करने के लिए केवल द्विघात सूत्र की आवश्यकता होती है r₁ तथा r₂. मानक फॉर्म को वर्टेक्स फॉर्म में बदलने के लिए, प्रक्रिया की आवश्यकता होती है जिसे वर्ग को पूरा करना कहा जाता है। गुणनखंडित रूप (या शीर्ष रूप) को मानक रूप में बदलने के लिए, गुणनखंडों को गुणा, विस्तार और या वितरित करने की आवश्यकता होती है।

यूनिवेरिएट फलन का ग्राफ़

अविभाजित द्विघात फलन को तीन स्वरूपों में व्यक्त किया जा सकता है:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ परवलय है (जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है) समान रूप से, यह द्विचर द्विघात समीकरण का आलेख है $y=ax^{2}+bx+c$.

• यदि a > 0, परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
• यदि a < 0, परवलय नीचे की ओर खुलता है।

गुणांक a ग्राफ की वक्रता की डिग्री को नियंत्रित करता है; का बड़ा परिमाण a ग्राफ को अधिक बंद (तीव्र घुमावदार) रूप देता है।

गुणांक b तथा a एक साथ परवलय की समरूपता के अक्ष के स्थान को नियंत्रित करें (भी x शीर्ष के रूप में शीर्ष और एच पैरामीटर का समन्वय) जो पर है

$x=$