लेबेस्ग माप

माप (गणित) में, गणित की एक शाखा, फ्रांस के गणितज्ञ हेनरी लेबेस्ग्यू ए के नाम पर लेबेसेग माप, एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सबसेट के लिए एक माप (गणित) निर्दिष्ट करने का मानक तरीका है। n = 1, 2, या 3 के लिए, यह लंबाई, क्षेत्रफल, या आयतन के मानक माप के साथ मेल खाता है। सामान्य तौर पर, इसे एन-डायमेंशनल वॉल्यूम, एन-वॉल्यूम, या बस वॉल्यूम भी कहा जाता है। इसका उपयोग पूरे वास्तविक विश्लेषण में किया जाता है, विशेष रूप से लेबेसेग एकीकरण को परिभाषित करने के लिए। ऐसे समुच्चय जिन्हें लेबेसेग माप निर्दिष्ट किया जा सकता है, लेबेसेग-मापने योग्य कहलाते हैं; Lebesgue-measurable सेट A का माप यहाँ λ(A) द्वारा दर्शाया गया है।

हेनरी लेबेस्ग ने इस उपाय का वर्णन वर्ष 1901 में किया, उसके बाद अगले वर्ष लेबेस्ग इंटीग्रल के अपने विवरण के द्वारा। दोनों को 1902 में उनके शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था।

परिभाषा

किसी भी अंतराल के लिए (गणित) $I=[a,b]$, या $I=(a,b)$, सेट में $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं की, चलो $\ell (I)=b-a$ इसकी लंबाई को निरूपित करें। किसी उपसमुच्चय के लिए $E\subseteq \mathbb {R}$, लेबेस्ग बाहरी माप $\lambda ^{\!*\!}(E)$ इसे सबसे कम के रूप में परिभाषित किया गया है

$\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.$

उपरोक्त परिभाषा को निम्नानुसार उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। किसी भी आयताकार घनाभ के लिए $C$ जो एक कार्टेशियन उत्पाद है $C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}$ खुले अंतराल की, चलो $\operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})$ इसकी मात्रा को निरूपित करें। किसी उपसमुच्चय के लिए $E\subseteq \mathbb {R^{n}}$,

$\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.$

कुछ सेट $E$ कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे $A\subseteq \mathbb {R}$,

$\lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).$

ऐसे सभी का सेट $E$ एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है|σ-बीजगणित। ऐसे किसी के लिए $E$, इसके Lebesgue माप को इसके Lebesgue बाहरी माप के रूप में परिभाषित किया गया है: $\lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)$.

एक सेट $E$ जो कैराथियोडोरी कसौटी पर खरा नहीं उतरता है वह लेबेसेग-मापने योग्य नहीं है। ZFC साबित करता है कि गैर-मापने योग्य सेट मौजूद हैं; एक उदाहरण विटाली सेट है।

अंतर्ज्ञान

परिभाषा के पहले भाग में कहा गया है कि सबसेट $E$ खुले अंतराल के सेट द्वारा कवरेज द्वारा वास्तविक संख्याओं को इसके बाहरी माप में घटा दिया जाता है। अंतराल के इन सेटों में से प्रत्येक $I$ कवर $E$ एक मायने में, चूंकि इन अंतरालों का मिलन होता है $E$. किसी भी कवरिंग अंतराल सेट की कुल लंबाई के माप को अधिक अनुमानित कर सकती है $E,$ क्योंकि $E$ अंतरालों के मिलन का एक उपसमुच्चय है, और इसलिए अंतरालों में वे बिंदु शामिल हो सकते हैं जो अंदर नहीं हैं $E$. Lebesgue बाहरी माप निम्नतम और उच्चतम के रूप में उभर कर आता है | ऐसे सभी संभावित सेटों में से लंबाई की सबसे निचली सीमा (इन्फिनिमम)। सहज रूप से, यह उन अंतराल सेटों की कुल लंबाई है जो फिट होते हैं $E$ सबसे कसकर और ओवरलैप न करें।

यह Lebesgue बाहरी माप की विशेषता है। क्या यह बाहरी उपाय लेबेस्गु माप में उचित अनुवाद करता है, यह एक अतिरिक्त शर्त पर निर्भर करता है। उपसमुच्चय लेकर इस स्थिति का परीक्षण किया जाता है $A$ वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके $E$ विभाजित करने के साधन के रूप में $A$ दो भागों में: का हिस्सा $A$ जो साथ प्रतिच्छेद करता है $E$ और का शेष भाग $A$ जो में नहीं है $E$: का सेट अंतर $A$ और $E$