उचित समय

सापेक्षता में, समयबद्ध विश्व रेखा के साथ उपयुक्त समय (लैटिन से, जिसका अर्थ है स्वयं का समय) को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो उस रेखा के बाद एक घड़ी द्वारा मापा जाता है। इस प्रकार यह निर्देशांकों से स्वतंत्र है, और लोरेंत्ज़ अदिश है। विश्व रेखा पर दो घटनाओं (सापेक्षता) के बीच उपयुक्त समय अंतराल उपयुक्त समय में परिवर्तन है। यह अंतराल ब्याज की मात्रा है, क्योंकि उपयुक्त समय केवल एक एकपक्षीय रूप से योगात्मक स्थिरांक तक ही निर्धारित होता है, अर्थात् विश्व रेखा के साथ किसी घटना पर घड़ी का समायोजन होता है।

दो घटनाओं के बीच उपयुक्त समय अंतराल न केवल घटनाओं पर निर्भर करता है, बल्कि उन्हें जोड़ने वाली विश्व रेखा और इसलिए घटनाओं के बीच घड़ी की गति पर भी निर्भर करता है। इसे विश्व रेखा पर एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है (यूक्लिडियन समष्टि में चाप की लंबाई के अनुरूप)। त्वरित घड़ी दो घटनाओं के बीच एक गैर-त्वरित (जड़त्वीय) घड़ी द्वारा मापी गई तुलना में दो घटनाओं के बीच कम व्यतीत समय मापेगी। समरूप पैराडॉक्स (विरोधाभास) इस आशय का एक उदाहरण है।

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गहरे नीले रंग की ऊर्ध्वाधर रेखा घटनाओं E₁ और E₂ के बीच एक समन्वय समय अंतराल t को मापने वाले जड़त्वीय पर्यवेक्षक का प्रतिनिधित्व करती है। लाल वक्र उन्हीं दो घटनाओं के बीच अपने उपयुक्त समय अंतराल τ को मापने वाली घड़ी का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रथा के अनुसार, उपयुक्त समय को सामान्य रूप से ग्रीक अक्षर τ (tau) द्वारा दर्शाया जाता है ताकि इसे t द्वारा दर्शाए गए समन्वय समय से अलग किया जा सके। समन्वय समय दो घटनाओं के बीच का समय है, जैसा कि एक पर्यवेक्षक द्वारा उस पर्यवेक्षक द्वारा किसी घटना को समय निर्दिष्ट करने की अपनी विधि का उपयोग करके मापा जाता है। विशेष सापेक्षता में एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक के विशेष स्थिति में, पर्यवेक्षक की घड़ी और पर्यवेक्षक की एक साथ की परिभाषा का उपयोग करके समय को मापा जाता है।

1908 में हरमन मिन्कोव्स्की द्वारा उपयुक्त समय की अवधारणा प्रस्तुत की गई थी, और यह मिन्कोव्स्की आरेखों की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।

गणितीय औपचारिकता

उपयुक्त समय की औपचारिक परिभाषा में समष्टि समय के माध्यम से पथ का वर्णन करना सम्मिलित है जो एक घड़ी, पर्यवेक्षक, या परीक्षण कण और उस समष्टि समय के आव्यूह प्रदिश (सामान्य सापेक्षता) का प्रतिनिधित्व करता है। उपयुक्त समय चार आयामी समष्टि-समय में विश्व रेखाओं की छद्म-रीमैनियन चाप लंबाई है। गणितीय दृष्टिकोण से, समन्वय समय को पूर्वनिर्धारित माना जाता है और समन्वय समय के कार्य के रूप में उपयुक्त समय के लिए एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता होती है। दूसरी ओर, उपयुक्त समय को प्रयोगात्मक रूप से मापा जाता है और समन्वय समय की गणना जड़त्वीय घड़ियों के उपयुक्त समय से की जाती है।

उपयुक्त समय को केवल समष्टि समय के माध्यम से समय सदृश पथों के लिए परिभाषित किया जा सकता है जो भौतिक मापक और घड़ियों के साथ-साथ समुच्चय के निर्माण की स्वीकृति देता है। समष्टि जैसे पथ के लिए समान औपचारिकता उपयुक्त समय के अतिरिक्त उपयुक्त दूरी की माप की ओर ले जाती है। प्रकाश की तरह पथों के लिए, उपयुक्त समय की कोई अवधारणा सम्मिलित नहीं है और यह अपरिभाषित है क्योंकि समष्टि समय अंतराल शून्य है। इसके अतिरिक्त, समय से असंबंधित एकपक्षीय और भौतिक रूप से अप्रासंगिक एफ़िन पैरामीटर पेश किया जाना चाहिए।

विशेष सापेक्षता में

मीट्रिक हस्ताक्षर के लिए समय सदृश कन्वेंशन के साथ, Minkowski मेट्रिक को इसके द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},$$

और निर्देशांक द्वारा

$$(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$$

एकपक्षीय रूप से लोरेंत्ज़ फ्रेम के लिए।

इस तरह के किसी भी फ्रेम में एक अतिसूक्ष्म अंतराल, यहाँ दो घटनाओं के बीच समय की तरह माना जाता है

$$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },$$

(1)

और एक कण के प्रक्षेपवक्र पर बिंदुओं को अलग करता है (सोचिए घड़ी)। उसी अंतराल को निर्देशांकों में व्यक्त किया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक क्षण कण आराम पर है। इस तरह के फ्रेम को तात्कालिक आराम फ्रेम कहा जाता है, जिसे निर्देशांक द्वारा यहां दर्शाया गया है $(c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })$ प्रत्येक पल के लिए। अंतराल के निश्चरता के कारण (अलग-अलग समय पर लिए गए तात्क्षणिक विश्राम फ्रेम लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से संबंधित हैं) कोई भी लिख सकता है

$$ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},$$

चूँकि तात्क्षणिक विश्राम तंत्र में, कण या ढांचा स्वयं विश्राम में है, अर्थात, $dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0$. चूंकि अंतराल को समय सदृश माना जाता है (यानी। $ds^{2}>0$), उपरोक्त पैदावार का वर्गमूल लेना

$$ds=cd\tau ,$$

या

$$d\tau ={\frac {ds}{c}}.$$

के लिए इस अंतर अभिव्यक्ति को देखते हुए τ, उपयुक्त समय अंतराल के रूप में परिभाषित किया गया है

$\Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int {\frac {ds}{c}}.$          (2)

यहाँ P कुछ प्रारंभिक घटना से कुछ अंतिम घटना के लिए आवश्यक घटनाओं के क्रम के साथ विश्व रेखा है कि अंतिम घटना प्रारंभिक घटना की तुलना में घड़ी के अनुसार बाद में होती है।

का उपयोग करते हुए (1) और फिर से अंतराल का व्युत्क्रम, कोई लिख सकता है

${\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}\\&=\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}\\&=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}dt\\&=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt=\int {\frac {dt}{\gamma (t)}},\end{aligned}}$          (3)

कहाँ v(t) समन्वय समय पर समन्वय गति है t, और x(t), y(t), और z(t) समष्टि निर्देशांक हैं। पहली अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से लोरेंत्ज़ इनवेरिएंट है। वे सभी लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय हैं, क्योंकि उपयुक्त समय और उपयुक्त समय अंतराल परिभाषा के अनुसार समन्वय-स्वतंत्र हैं।

अगर t, x, y, z, एक पैरामीटर द्वारा पैरामिट्रीकृत हैं λ, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .$$

यदि कण की गति स्थिर है, तो अभिव्यक्ति सरल हो जाती है

$$\Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},$$

जहां Δ का अर्थ प्रारंभिक और अंतिम घटनाओं के बीच निर्देशांक में परिवर्तन है। विशेष आपेक्षिकता में परिभाषा सामान्य सापेक्षता के लिए सीधे सामान्यीकरण करती है जैसा कि नीचे दिया गया है।

सामान्य सापेक्षता में

उपयुक्त समय को सामान्य सापेक्षता में इस प्रकार परिभाषित किया गया है: एक स्थानीय निर्देशांक के साथ छद्म-रीमैनियन कई गुना दिया गया x^μ और एक मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) से सुसज्जित है g_μν, उपयुक्त समय अंतराल Δτ समयबद्ध पथ के साथ दो घटनाओं के बीच P रेखा अभिन्न द्वारा दिया गया है

$\Delta \tau =\int _{P}\,d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}.$

(4)

यह अभिव्यक्ति है, जैसा कि होना चाहिए, समन्वय परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। यह फ्लैट समष्टि समय में विशेष सापेक्षता की अभिव्यक्ति के लिए (उपयुक्त निर्देशांक में) कम कर देता है।

उसी तरह निर्देशांक चुने जा सकते हैं जैसे कि x¹, x², x³ = const विशेष सापेक्षता में, यह सामान्य सापेक्षता में भी किया जा सकता है। फिर, इन निर्देशांकों में,

$$\Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.$$

यह अभिव्यक्ति परिभाषा को सामान्यीकृत करती है (2) और परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। फिर अंतराल, समीकरण के व्युत्क्रम का उपयोग करना (4) उसी तरह से इसका अनुसरण करता है (3) से अनुसरण करता है (2), सिवाय इसके कि यहाँ एकपक्षीय रूप से समन्वय परिवर्तन की स्वीकृति है।

विशेष सापेक्षता में उदाहरण

उदाहरण 1: जुड़वां विरोधाभास

जुड़वां विरोधाभास परिदृश्य के लिए, एक पर्यवेक्षक ए होने दें जो ए-निर्देशांक (0,0,0,0) और (10 वर्ष, 0, 0, 0) के बीच जड़ता से चलता है। इसका मतलब है कि ए पर रहता है $x=y=z=0$ 10 साल के ए-कोऑर्डिनेट टाइम के लिए। दो घटनाओं के बीच A के लिए उपयुक्त समय अंतराल तब है

$$\Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.$$

तो एक विशेष सापेक्षता समन्वय प्रणाली में आराम करने का मतलब है कि उपयुक्त समय और समन्वय समय समान हैं।

बता दें कि अब एक और पर्यवेक्षक बी है जो 0.866 सी से (5 साल, 4.33 प्रकाश-वर्ष, 0, 0) पर ए-निर्देशांक समय के 5 साल के लिए (0,0,0,0) से एक्स दिशा में यात्रा करता है। एक बार वहां, बी तेज हो जाता है, और ए-समन्वय समय के 5 साल (10 साल, 0, 0, 0) के लिए अन्य स्थानिक दिशा में यात्रा करता है। यात्रा के प्रत्येक चरण के लिए, ए-निर्देशांक का उपयोग करके उपयुक्त समय अंतराल की गणना की जा सकती है, और इसके द्वारा दिया जाता है

$$\Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.$$

तो पर्यवेक्षक बी के लिए (0,0,0,0) से (5 वर्ष, 4.33 प्रकाश-वर्ष, 0, 0) और फिर (10 वर्ष, 0, 0, 0) तक जाने का कुल उपयुक्त समय है

$$\Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.$$

इस प्रकार यह दिखाया गया है कि उपयुक्त समय समीकरण में समय फैलाव प्रभाव सम्मिलित है। वास्तव में, एसआर (विशेष सापेक्षता) में किसी वस्तु के लिए समष्टि समय वेग से यात्रा कर रहा है $v$ एक बार के लिए $\Delta T$अनुभव किया गया उपयुक्त समय अंतराल है

$$\Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$$

जो SR समय फैलाव सूत्र है।

उदाहरण 2: घूर्णन डिस्क

एक अन्य जड़त्वीय पर्यवेक्षक के चारों ओर घूमने वाला एक पर्यवेक्षक संदर्भ के त्वरित फ्रेम में है। ऐसे पर्यवेक्षक के लिए, वृद्धिशील ($d\tau$) उपयुक्त समय समीकरण के रूप की आवश्यकता है, साथ ही नीचे दिखाए गए पथ के पैरामीटरयुक्त विवरण के साथ।

बता दें कि xy प्लेन में एक कोऑर्डिनेट कोणीय दर से घूमने वाली डिस्क पर एक ऑब्जर्वर C है $\omega$ और डिस्क के केंद्र से r की दूरी पर डिस्क के केंद्र के साथ कौन है x = y = z = 0. पर्यवेक्षक सी का मार्ग किसके द्वारा दिया गया है $(T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)$, कहाँ $T$ वर्तमान समन्वय समय है। जब आर और $\omega$ स्थिर हैं, $dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT$ और $dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT$. वृद्धिशील उपयुक्त समय सूत्र तब बन जाता है

$$d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.$$

तो समन्वय समय के बीच ω की निरंतर कोणीय दर पर समष्टि समय में दिए गए बिंदु से आर की निरंतर दूरी पर घूमने वाले पर्यवेक्षक के लिए $T_{1}$ और $T_{2}$, उपयुक्त समय का अनुभव होगा

$$\int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},$$

जैसा v = rω एक घूर्णन पर्यवेक्षक के लिए। यह परिणाम रेखीय गति उदाहरण के समान है, और उपयुक्त समय सूत्र के अभिन्न रूप के सामान्य अनुप्रयोग को दर्शाता है।

सामान्य सापेक्षता में उदाहरण

एसआर और सामान्य सापेक्षता (जीआर) के बीच का अंतर यह है कि जीआर में किसी भी मीट्रिक का उपयोग किया जा सकता है जो आइंस्टीन फील्ड समीकरणों का समाधान है, न कि केवल मिंकोव्स्की मीट्रिक। चूंकि घुमावदार समष्टि-समय में जड़त्वीय गति में एसआर में सरल अभिव्यक्ति की कमी होती है, उपयुक्त समय समीकरण के लाइन अभिन्न रूप का हमेशा उपयोग किया जाना चाहिए।

उदाहरण 3: घूर्णन डिस्क (फिर से)

एक उपयुक्त ध्रुवीय समन्वय प्रणाली # मिंकोवस्की मीट्रिक के विरुद्ध किए गए ध्रुवीय और कार्टेशियन निर्देशांक के बीच रूपांतरण निर्देशांक बनाता है जहां एक घूर्णन डिस्क पर एक वस्तु समान स्थानिक समन्वय स्थिति में रहती है। नए निर्देशांक हैं

$$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$$

और

$$\theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.$$

T और z निर्देशांक अपरिवर्तित रहते हैं। इस नई समन्वय प्रणाली में वृद्धिशील उपयुक्त समय समीकरण है

$$d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.$$

r, θ, और z समय के साथ स्थिर होने के साथ, यह सरल हो जाता है

$$d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},$$

जो उदाहरण 2 के समान है।

अब घूमने वाली डिस्क से दूर और डिस्क के केंद्र के संबंध में जड़त्वीय आराम पर और उससे R की दूरी पर एक वस्तु होने दें। इस वस्तु में एक 'समन्वय' गति द्वारा वर्णित है dθ = −ω dt, जो घूर्णन पर्यवेक्षक की दृष्टि में प्रति-घूर्णन की जड़त्वीय रूप से स्थिर वस्तु का वर्णन करता है। अब उपयुक्त समय समीकरण बन जाता है

$$d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.$$

तो जड़त्वीय पर्यवेक्षक के लिए, समन्वय समय और उपयुक्त समय एक बार फिर उसी दर से गुजरते हुए पाए जाते हैं, जैसा कि सापेक्षता सिद्धांत की आंतरिक आत्म-स्थिरता के लिए अपेक्षित और आवश्यक है।

उदाहरण 4: श्वार्जस्चिल्ड समाधान - पृथ्वी पर समय

श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान में वृद्धिशील उपयुक्त समय समीकरण है

$$d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},$$

कहाँ

• t वह समय है जो पृथ्वी के संबंध में एक घड़ी से दूर और जड़त्वीय विश्राम पर कैलिब्रेट किया गया है,
• आर एक रेडियल समन्वय है (जो प्रभावी रूप से पृथ्वी के केंद्र से दूरी है),
• ɸ एक सह-अक्षांशीय निर्देशांक है, कांति में उत्तरी ध्रुव से कोणीय पृथक्करण।
• θ एक अनुदैर्ध्य समन्वय है, जो पृथ्वी की सतह पर देशांतर के समान है लेकिन पृथ्वी के घूर्णन से स्वतंत्र है। यह रेडियन में भी दिया गया है।
• m पृथ्वी का ज्यामितीय द्रव्यमान है, m = GM/c2</सुप>,
  • M पृथ्वी का द्रव्यमान है,
  • G गुरुत्वीय स्थिरांक है।

उपयुक्त समय संबंध के उपयोग को प्रदर्शित करने के लिए, यहाँ पृथ्वी से जुड़े कई उप-उदाहरणों का उपयोग किया जाएगा।

पृथ्वी के लिए, M = 5.9742×10²⁴ kg, मतलब है कि m = 4.4354×10⁻³ m. उत्तरी ध्रुव पर खड़े होकर हम अनुमान लगा सकते हैं $dr=d\theta =d\phi =0$ (जिसका अर्थ है कि हम न तो ऊपर जा रहे हैं और न ही नीचे या पृथ्वी की सतह के साथ)। इस स्थिति में, श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान उपयुक्त समय समीकरण बन जाता है ${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$. फिर पृथ्वी के ध्रुवीय त्रिज्या का उपयोग रेडियल समन्वय (या $r={\text{6,356,752 metres}}$), हम पाते हैं

$$d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.$$

भूमध्य रेखा पर, पृथ्वी की त्रिज्या है r = 6378137 m. इसके अलावा, पृथ्वी के घूर्णन को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह एक पर्यवेक्षक पर एक कोणीय वेग प्रदान करता है $d\theta /dt$ पृथ्वी के घूर्णन के नाक्षत्र समय से विभाजित 2π का, 86162.4 सेकंड। इसलिए $d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt$. उपयुक्त समय समीकरण तब पैदा करता है

$$d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.$$

गैर-सापेक्षतावादी दृष्टिकोण से यह पिछले परिणाम के समान ही होना चाहिए था। यह उदाहरण दर्शाता है कि कैसे उपयुक्त समय समीकरण का उपयोग किया जाता है, भले ही पृथ्वी घूमती है और इसलिए श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान द्वारा अनुमानित गोलाकार रूप से सममित नहीं है। रोटेशन के प्रभावों का अधिक सटीक वर्णन करने के लिए केर मीट्रिक का उपयोग किया जा सकता है।

यह भी देखें

• लोरेंत्ज़ परिवर्तन
• मिन्कोव्स्की समष्टि
• उपयुक्त लंबाई
• उपयुक्त त्वरण
• अपरिवर्तनीय द्रव्यमान
• उपयुक्त वेग
• घड़ी की परिकल्पना
• पेरेस मीट्रिक

संदर्भ

• Cook, R. J. (2004). "Physical time and physical space in general relativity". Am. J. Phys. 72 (2): 214–219. Bibcode:2004AmJPh..72..214C. doi:10.1119/1.1607338. ISSN 0002-9505.
• Foster, J.; Nightingale, J.D. (1978). A short course in general relativity. Essex: Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-44194-3.
• Kleppner, D.; Kolenkow, R.J. (1978). An introduction to mechanics. McGraw–Hill. ISBN 0-07-035048-5.
• Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011). Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-40856-6.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975). The classical theory of fields. Course of theoretical physics. Vol. 2 (4th ed.). Oxford: Butterworth–Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
• Lawden, Derek F. (2012). An Introduction to Tensor Calculus: Relativity and Cosmology. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13214-3.
• Lovelock, David; Rund, Hanno (1989), Tensors, Differential Forms, and Variational Principles, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-65840-6
• Minkowski, Hermann (1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern", Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen, Göttingen, archived from the original on 2012-07-08
• Poisson, Eric (2004), A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics, Cambridge University Press, ISBN 978-0521537803
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-92567-5
• Zwiebach, Barton (2004). A First Course in String Theory (first ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-83143-1.