अनंत

For प्रतीक के लिए, see अनंत प्रतीक देखें।. For "अनंत" और "अनंत" के अन्य उपयोगों के लिए, अनंत (बहुविकल्पी) देखें।, see अनंत (disambiguation).

Not to be confused with अनंत (बहुविकल्पी) के साथ भ्रमित न हों।.

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निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब अनंत दर्पण के कारण, ऐसा लगता है कि उनके अंदर असीमित स्थान और पुनरावृत्ति है।

अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक $\infty$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्राचीन यूनानियों के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक और अतिसूक्ष्म गणना के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखला के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित) ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है। 19वीं शताब्दी के अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अनंत समुच्चयों और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की प्रधानता) पूर्णांकों की संख्या से बड़ी होती है। इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य गणितीय वस्तु की तरह ही उपयोग किया जा सकता है।

अनंत की गणितीय अवधारणा पुरानी दार्शनिक अवधारणा को परिशोधित और विस्तारित करती है, विशेष रूप से अनंत समुच्चयों के असीम रूप से कई अलग-अलग आकारों को प्रस्तुत करके। जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों में, जिस पर अधिकांश आधुनिक गणित विकसित की जा सकती हैं, अनंत का स्वयंसिद्ध है, जो अनंत समुच्चयों के अस्तित्व का दायित्व देता है। अनंतता की गणितीय अवधारणा और अनंत समुच्चयों के हेरफेर का उपयोग गणित में प्रत्येक स्थान पर किया जाता है, यहां तक कि साहचर्य जैसे क्षेत्रों में भी जिनका उनसे कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण प्रारंभिक अंकगणित के संदर्भ में दी गई लंबी समस्या को हल करने के लिए बहुत बड़े अनंत समुच्चयोंं के अस्तित्व पर निर्भर करता है।

भौतिकी और ब्रह्माण्ड विज्ञान में, क्या ब्रह्माण्ड स्थानिक रूप से अनंत है यह एक विवादास्पद प्रश्न है।

इतिहास

Further information: अनंत (दर्शनशास्त्र)

प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। प्राचीन भारतीयों और यूनानियों ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके बजाय एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच गया।

प्रारंभिक यूनानी

ग्रीस में अनंतता का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार एक यूनानी वैज्ञानिक (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने एपिरॉन शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और शायद इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।

अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को वास्तविक अनंत से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता प्रतीत होता था। यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, हेलेनिस्टिक यूनानियों में अनंत का आतंक था, जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों यूक्लिड (सी। 300 ईसा पूर्व) ने यह नहीं कहा कि अभाज्य संख्याओं की अनंतता है, बल्कि "प्राइम" संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्दिष्ट भीड़ से अधिक हैं।" यह भी कायम रखा गया है, कि, अभाज्य संख्याओं की अनंतता को साबित करने में, यूक्लिड "अनंत के आतंक पर काबू पाने वाला पहला व्यक्ति था"। यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा से संबंधित एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता है-

If a straight line falling across two [other] straight lines makes internal angles on the same side [of itself whose sum is] less than two right angles, then the two [other] straight lines, being produced to infinity, meet on that side [of the original straight line] that the [sum of the internal angles] is less than two right angles.

हालांकि, अन्य अनुवादक अनुवाद को पसंद करते हैं "दो सीधी रेखाएं, यदि अनिश्चित रूप से उत्पन्न होती हैं ...", इस प्रकार इस निहितार्थ से बचते हुए कि यूक्लिड अनंत की धारणा के साथ सहज था। अंत में, यह बनाए रखा गया है कि अनंत पर एक प्रतिबिंब, "अनंत के आतंक" से दूर, प्रारंभिक ग्रीक दर्शन के सभी आधारों को रेखांकित करता है और यह कि अरस्तू की "संभावित अनंतता" इस अवधि की सामान्य प्रवृत्ति से एक विपथन है।

ज़ेनो: दुखती और कछुआ

Main article: ज़ेनो के विरोधाभास § एच्लीस और कछुआ

एलिया के ज़ेनो (सी.-495 - सी.-430 ई.पू.) ने अनंत के विषय में किसी भी दृष्टिकोण को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उनके विरोधाभास, विशेष रूप से "एच्लीस और कछुआ", इसमें महत्वपूर्ण योगदान थे कि उन्होंने लोकप्रिय अवधारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को बर्ट्रेंड रसेल द्वारा "बेहद सूक्ष्म और गहरा" के रूप में वर्णित किया गया था।

एच्लीस एक कछुआ दौड़, उत्तरार्द्ध एक प्रमुख शुरुआत देता है।

• चरण #1- कछुआ के शुरुआती बिंदु पर अकिलिस दौड़ता है जबकि कछुआ आगे बढ़ता है।
• चरण #2- Achilles आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण # 1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
• चरण #3- Achilles आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण # 2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
• चरण #4- Achilles आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण # 3 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। आदि।

जाहिरा तौर पर, अकिलिस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने भी कदम पूरे कर लेता है, कछुआ उसके आगे रहता है।

ज़ेनो अनंतता के बारे में बात करने का प्रयास नहीं कर रहा था। एलीटिक्स स्कूल के एक सदस्य के रूप में, जो गति को एक भ्रम मानता था, उसने यह मान लेना एक गलती के रूप में देखा कि अकिलिस दौड़ सकता है। बाद के विचारकों ने, इस समाधान को अस्वीकार्य पाते हुए, तर्क में अन्य कमजोरियों को खोजने के लिए दो सहस्राब्दी से अधिक समय तक संघर्ष किया।

अंत में, 1821 में, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 <x <1 के लिए,

$$a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.$$

मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की हेड स्टार्ट है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में a = 10 सेकंड और x = 0.01 के साथ फिट बैठती है। Achilles कछुआ से आगे निकल जाता है; यह उसे लेता है

$$10+0.1+0.001+0.00001+\cdots ={\frac {10}{1-.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.$$

प्रारंभिक भारतीय

जैन गणितीय ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-

• गणनीय- निम्नतम, मध्यवर्ती और उच्चतम
• असंख्य- लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य असंख्य
• अनंत- लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, असीम रूप से अनंत

17वीं शताब्दी

17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने एक व्यवस्थित तरीके से अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का उपयोग करना शुरू किया। 1655 में, जॉन वालिस ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए नोटेशन इन्फ्टी का इस्तेमाल किया और 1/∞ के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यल्प स्ट्रिप्स में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया। लेकिन अरिथमेटिका इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और सी।"

1699 में, आइज़ैक न्यूटन ने अपने कार्य डी एनालिसिस पर एक्यूवेशन न्यूमेरो टर्मिनोरम इनफिनिटास में अनंत पदों वाले समीकरणों के बारे में लिखा।

गणित

हरमन वेइल ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक भाषण की शुरुआत की-

गणित अनंत का विज्ञान है।

प्रतीक

Main article: अनंत प्रतीक

अनंत प्रतीक $\infty$ (जिसे कभी-कभी लेम्निस्केट कहा जाता है,) एक गणितीय प्रतीक है जो अनंत की अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीक यूनिकोड में U+221E ∞ INFINITY (&infin;) और LaTeX में \infty\infty के रूप में एन्कोड किया गया है।

यह जॉन वालिस द्वारा 1655 में पेश किया गया था, और इसकी शुरूआत के बाद से, आधुनिक रहस्यवाद और साहित्यिक प्रतीकवाद में गणित के बाहर भी इसका उपयोग किया गया है।

गणना

इन्फिनिटिमल कैलकुस के सह-आविष्कारकों में से एक गॉटफ्राइड लीबनिज ने अनंत संख्याओं और गणित में उनके उपयोग के बारे में व्यापक रूप से अनुमान लगाया। लीबनिज के लिए, दोनों अपरिमेय और अनंत मात्राएं आदर्श संस्थाएं थीं, प्रशंसनीय मात्राओं के समान प्रकृति की नहीं, लेकिन निरंतरता के कानून के अनुसार समान गुणों का आनंद ले रहे थे।

वास्तविक विश्लेषण

वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक ∞ जिसे "अनंत" कहा जाता है, का उपयोग असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है। अंकन →∞x का अर्थ है कि x बिना किसी सीमा के बढ़ता है

वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक $\infty$, जिसे अनंत कहा जाता है, का उपयोग किसी फ़ंक्शन की असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है। अंकन $x\rightarrow \infty$ मतलब कि$x$बिना किसी सीमा के बढ़ता है, और $x\to -\infty$ मतलब कि$x$बिना सीमा के घटता है। उदाहरण के लिए, अगर $f(t)\geq 0$ हर एक के लिए$t$, तब

• $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ मतलब कि $f(t)$ से परिमित क्षेत्र को बाध्य नहीं करता है $a$ को $b.$
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ का अर्थ है कि इसके अंतर्गत क्षेत्र $f(t)$ अनंत है।
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ का अर्थ है कि कुल क्षेत्रफल $f(t)$ परिमित है, और के बराबर है $a.$

इन्फिनिटी का उपयोग अनंत श्रृंखला का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है:

• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ इसका मतलब है कि अनंत श्रृंखला अभिसरण श्रृंखला का योग कुछ वास्तविक मूल्य के लिए है $a.$