स्मूथनेस

"सी अनंत" redirects here. For विस्तारित जटिल समतल $\mathbb {C} _{\infty }$, see रीमैन क्षेत्र.

"C^n" redirects here. For $\mathbb {C} ^{n}$, see जटिल समन्वय समष्टि.

For संख्या सिद्धांत में सहजता, see सहज संख्या.

संक्षिप्त आधार के साथ बम्प फलन एक स्मूद फलन है।

गणितीय विश्लेषण में, किसी फलन की स्मूथता एक ऐसा गुण है जिसे उसके किसी प्रक्षेत्र पर सतत अवकलज की संख्या से मापा जाता है, जिसे अवकलनीयता वर्ग कहा जाता है। यदि यह हर जगह अलग-अलग हो तो बहुत कम ही,(इसलिए सतत) एक फलन को स्मूथ माना जा सकता है। दूसरे छोर पर, यह अपने प्रक्षेत्र में सभी अनुक्रमो के अवकलज भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से भिन्न कहा जाता है और इसे C-अनंत फलन (या $C^{\infty }$ फलन ) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

विभेदीकरण वर्ग

अवकलनीयता वर्ग उनके अवकलज के गुणों के अनुसार फलनो का वर्गीकरण है। यह अवकलज के उच्चतम क्रम का एक माप है जो उपलब्ध है और एक फलन के लिए सतत है।

वास्तविक रेखा पर एक खुले समुच्चय $U$ पर विचार करें और वास्तविक मानों के साथ $U$ पर परिभाषित फलन $f$ पर विचार करें। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। यदि अवकलज $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ उपलब्ध हैं और $U$ पर सतत है, तो फलन $f$ को $C^{k}$ का अवकालनीयता वर्ग कहा जाता है। यदि $f$ , $U$ पर $k$ अवकलनीय है, तो यह कम से कम श्रेणी $C^{k-1}$ में है क्योंकि $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$, $U$ सतत हैं। यदि इसमें $U$ पर सभी क्रम के अवकलज हैं, तो फलन $f$ को अपरिमित अवकलनीय, स्मूथ या वर्ग $C^{\infty }$ कहा जाता है। (इसलिए ये सभी अवकलज $U$ पर सतत फलन हैं ।) फलन $f$ को वर्ग $C^{\omega }$ या विश्लेषणात्मक कहा जाता है, यदि $f$ स्मूथ है (अर्थात, $f$ वर्ग $C^{\infty }$ में है ) और इसके प्रक्षेत्र में किसी भी बिंदु के चारों ओर इसकी टेलर श्रृंखला विस्तार बिंदु के किसी सन्निकट फलन में परिवर्तित हो जाती है, इस प्रकार $C^{\omega }$ सख्ती से $C^{\infty }$ में निहित है। बम्प फलन $C^{\infty }$ में फलन के उदाहरण हैं लेकिन $C^{\omega }$ नहीं है।

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, वर्ग $C^{0}$ में सभी सतत फलन होते है। वर्ग $C^{1}$ में सभी अवकलनीय फलन सम्मिलित हैं जिनका अवकलज सतत है, ऐसे फलनों को सतत अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक $C^{1}$ फलन वास्तव में एक फलन है जिसका अवकलज उपलब्ध है और वर्ग $C^{0}$ का है। सामान्य तौर पर, वर्ग $C^{k}$ को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है $C^{0}$ को सभी सतत फलनों का समुच्चय घोषित करके,और किसी सकारात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $C^{k}$ को सभी अलग-अलग फलनों का समुच्चय घोषित किया जा सकता है, जिसका अवकलज $C^{k-1}$में है। विशेष रूप से, $C^{k}$ प्रत्येक $k>0$ ,के लिए $C^{k-1}$ में निहित है , और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त ($C^{k}\subsetneq C^{k-1}$) है। असीम रूप से भिन्न फलनों का वर्ग $C^{\infty }$वर्ग $C^{k}$ का प्रतिच्छेदन है क्योंकि $k$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण.

उदाहरण, सतत(C⁰) लेकिन अवकलनीय नहीं

File:C0 function.svg

सी⁰ फलन f(x) = x के लिये x ≥ 0 और 0 अन्यथा।

फलन

$$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}$$

सतत है, लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह वर्ग C⁰ का है, लेकिन वर्ग C¹ का नहीं है।

उदाहरण: परिमित-बार अवकलनीय (C^k)

प्रत्येक सम पूर्णांक k के लिए, फलन

$$f(x)=|x|^{k+1}$$

निरंतर है और सभी x पर k बार अवकलनीय है। हालाँकि, x = 0 पर, f f (k + 1) गुणा अवकलनीय नहीं है, इसलिए f f वे वर्ग C^k का है, लेकिन वर्ग C^j का नहीं है जहाँ j > k ।

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं (C¹नहीं)

फलन

एक स्मूथ फलन जो विश्लेषणात्मक नहीं है।

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin <!--\; \; -->\left(\frac{1}{x}\right)& \text{if }\end{array}$$