स्मूथनेस

"सी अनंत" redirects here. For विस्तारित जटिल समतल $\mathbb {C} _{\infty }$, see रीमैन क्षेत्र.

"C^n" redirects here. For $\mathbb {C} ^{n}$, see जटिल समन्वय स्थान.

For संख्या सिद्धांत में सहजता, see सहज संख्या.

संक्षिप्त आधार के साथ बम्प फलन एक स्मूद फलन है।

गणितीय विश्लेषण में, एक फलन(गणित) की स्मूथता एक ऐसा गुण है जिसे उसके किसी प्रक्षेत्र पर सतत अवकलज की संख्या से मापा जाता है, जिसे अवकलनीयता वर्ग कहा जाता है। बहुत कम ही,(इसलिए सतत) एक फलन को स्मूथ(समतल) माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो। दूसरे छोर पर, यह अपने प्रक्षेत्र में सभी अनुक्रमो के अवकलज भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से अलग-अलग कहा जाता है और इसे C-अनंत फलन(या $C^{\infty }$ फलन ) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

विभेदीकरण वर्ग

अवकलनीयता वर्ग उनके अवकलज के गुणों के अनुसार फलनो का वर्गीकरण है। यह अवकलज के उच्चतम क्रम का एक माप है जो उपलब्ध है और एक फलन के लिए सतत है।

वास्तविक रेखा पर एक खुले समुच्चय $U$ पर विचार करें और वास्तविक मानों के साथ $U$ पर परिभाषित फलन $f$ पर विचार करें। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। फलन $f$ को $C^{k}$ का अवकालनीयता वर्ग कहा जाता है ,यदि अवकलज $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ उपलब्ध हैं और $U$ पर सतत है। यदि $f$ , $k$ दोनों $U$ पर अवकलनीय है , तो यह कम से कम कक्षा $C^{k-1}$ में है क्योंकि $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$, $U$ सतत हैं। फलन $f$ को असीम रूप से अलग करने योग्य, स्मूथ या वर्ग $C^{\infty }$ कहा जाता है, अगर इसमें सभी क्रम के अवकलज हैं $U$.(इसलिए ये सभी अवकलज सतत फलन हैं $U$.) फलन क्रम $f$ वर्ग का बताया गया है $C^{\omega }$, या विश्लेषणात्मक फलन, यदि $f$ स्मूथ है(यानी, $f$ कक्षा में है $C^{\infty }$) और इसके प्रक्षेत्र में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार बिंदु के कुछ सन्निकट(गणित) में फलन में परिवर्तित हो जाता है। $C^{\omega }$ इस प्रकार सख्ती से निहित है $C^{\infty }$. बम्प फलन के उदाहरण हैं $C^{\infty }$ लेकिन अंदर नहीं $C^{\omega }$.

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, class $C^{0}$ सभी सतत फलनों से मिलकर बनता है। कक्षा $C^{1}$ सभी अवकलनीय फलन होते हैं जिनका व्युत्पन्न सतत है; ऐसे फलनों को सतत अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक $C^{1}$ फलन वास्तव में एक फलन है जिसका व्युत्पन्न उपलब्ध है और कक्षा $C^{0}$का है. सामान्य तौर पर, कक्षाएं $C^{k}$ घोषित करके प्रत्यावर्तन परिभाषित किया जा सकता है $C^{0}$ सभी सतत फलनों का समुच्चय होना और घोषणा करना $C^{k}$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ उन सभी अलग-अलग फलनों का समुच्चय होने के लिए जिनका व्युत्पन्न है $C^{k-1}$. विशेष रूप से, $C^{k}$ में निहित है $C^{k-1}$ हरएक के लिए $k>0$, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त है($C^{k}\subsetneq C^{k-1}$). कक्षा $C^{\infty }$ असीम रूप से भिन्न फलनों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है $C^{k}$ जैसा $k$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण.

उदाहरण, सतत(C⁰) लेकिन अवकलनीय नहीं

File:C0 function.svg

सी⁰ समारोह f(x) = x के लिये x ≥ 0 और 0 अन्यथा।

फ़ाइल, X^2sin(x^-1).svg|thumb|फलनक्रम g(x) = x² sin(1/x) के लिये x > 0.

फ़ाइल: फलन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|फलनक्रम $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ साथ $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ के लिये $x\neq 0$ तथा $f(0)=0$ अवकलनीय है। हालाँकि, यह फलन लगातार भिन्न नहीं होता है।

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एक स्मूथ फलन जो विश्लेषणात्मक नहीं है।

फलन

$$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}$$

सतत है, x = 0 पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह वर्ग, C⁰ का है, लेकिन वर्ग C^{1 का है नहीं}

$$g(x)=\{\begin{array}{l}{x}^{}\end{array}$$