स्मूथनेस

"सी अनंत" redirects here. For the extended complex plane $\mathbb {C} _{\infty }$, see रीमैन क्षेत्र.

"C^n" redirects here. For $\mathbb {C} ^{n}$, see जटिल समन्वय स्थान.

For संख्या सिद्धांत में सहजता, see सहज संख्या.

कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ टक्कर समारोह एक स्मूद फंक्शन है।

गणितीय विश्लेषण में, एक फलन (गणित) की सहजता एक ऐसा गुण है जिसे उसके किसी प्रक्षेत्र पर निरंतर अवकलज की संख्या से मापा जाता है, जिसे अवकलनीयता वर्ग कहा जाता है। बहुत कम ही, (इसलिए निरंतर) एक फलन को सुचारू माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो। दूसरे छोर पर, यह अपने प्रक्षेत्र में सभी अनुक्रमो के अवकलज भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से अलग-अलग कहा जाता है और इसे सी-अनंत फलन (या $C^{\infty }$ फलन ) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

विभेदीकरण वर्ग

अवकलनीयता वर्ग उनके यौगिक के गुणों के अनुसार कार्यों का वर्गीकरण है। यह अवकलज के उच्चतम क्रम का एक माप है जो मौजूद है और एक फलन के लिए निरंतर है।

वास्तविक रेखा पर एक खुले समुच्चय $U$ पर विचार करें और एक फलन $f$ वास्तविक मानों के साथ $U$ पर परिभाषित करें। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। फलन $f$ को $C^{k}$ का अवकालनीयता वर्ग कहा जाता है ,यदि अवकलज $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ मौजूद हैं और $U$ पर निरंतर कार्य कर रहा है। यदि $f$ है $k$-विभेद्य पर $U$, तो यह कम से कम कक्षा में है $C^{k-1}$ जबसे $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$ लगातार चालू हैं $U$. कार्यक्रम $f$ कहा जाता है कि यह असीम रूप से भिन्न, चिकना या वर्ग का है $C^{\infty }$, अगर इसमें सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं $U$. (इसलिए ये सभी डेरिवेटिव निरंतर कार्य हैं $U$.) कार्यक्रम $f$ वर्ग का बताया गया है $C^{\omega }$, या विश्लेषणात्मक कार्य, यदि $f$ चिकना है (यानी, $f$ कक्षा में है $C^{\infty }$) और इसके प्रक्षेत्र में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में कार्य में परिवर्तित हो जाता है। $C^{\omega }$ इस प्रकार सख्ती से निहित है $C^{\infty }$. बम्प फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं $C^{\infty }$ लेकिन अंदर नहीं $C^{\omega }$.

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, class $C^{0}$ सभी निरंतर कार्यों से मिलकर बनता है। कक्षा $C^{1}$ सभी अवकलनीय फलन होते हैं जिनका व्युत्पन्न निरंतर है; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक $C^{1}$ फंक्शन वास्तव में एक फंक्शन है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और कक्षा $C^{0}$का है. सामान्य तौर पर, कक्षाएं $C^{k}$ घोषित करके प्रत्यावर्तन परिभाषित किया जा सकता है $C^{0}$ सभी निरंतर कार्यों का सेट होना और घोषणा करना $C^{k}$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ उन सभी अलग-अलग कार्यों का सेट होने के लिए जिनका व्युत्पन्न है $C^{k-1}$. विशेष रूप से, $C^{k}$ में निहित है $C^{k-1}$ हरएक के लिए $k>0$, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त है ($C^{k}\subsetneq C^{k-1}$). कक्षा $C^{\infty }$ असीम रूप से भिन्न कार्यों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है $C^{k}$ जैसा $k$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण

File:C0 function.svg

सी⁰ समारोह f(x) = x के लिये x ≥ 0 और 0 अन्यथा।

फ़ाइल:X^2sin(x^-1).svg|thumb|कार्यक्रम g(x) = x² sin(1/x) के लिये x > 0.

फ़ाइल: फलन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|कार्यक्रम $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ साथ $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ के लिये $x\neq 0$ तथा $f(0)=0$ अवकलनीय है। हालाँकि, यह फलन लगातार भिन्न नहीं होता है।

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एक सहज कार्य जो विश्लेषणात्मक नहीं है।

कार्यक्रम

$$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}$$

निरंतर है, लेकिन अलग-अलग नहीं है x = 0, तो यह कक्षा सी का है⁰, लेकिन कक्षा C का नहीं^{1</उप>।}

कार्यक्रम

$$g(x)=\{\begin{array}{l}\end{array}$$