प्रत्यक्ष योग

प्रत्यक्ष योग, गणित की एक शाखा और अमूर्त बीजगणित में गणितीय संरचना के बीच का एक संचालन है। यह अलग-अलग प्रकार की संरचनाओं के लिए अलग-अलग, लेकिन समान रूप से परिभाषित किया गया है। अमूर्त बीजगणित में प्रत्यक्ष योग का उपयोग कैसे किया जाता है, यह देखने के लिए, अधिक प्रारंभिक संरचना, एबेलियन समूह पर विचार करें। दो एबेलियन समूहों $A$ तथा $B$ का प्रत्यक्ष योग एक दूसरा एबेलियन समूह $A\oplus B$ होता है जिसमे क्रमित युग्म $(a,b)$ सम्मलित होता है : जहाँ $a\in A$ तथा $b\in B$. क्रमित युग्मों को जोड़ने के लिए, हम $(a,b)+(c,d)$ योग को $(a+c,b+d)$ द्वारा परिभाषित करते हैं; दूसरे शब्दों में जोड़ को निर्देशांक के अनुसार परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष योग $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$, जहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक कार्तीय तल है, $\mathbb {R} ^{2}$. इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग दो सदिश क्षेत्र या दो मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के लिए किया जा सकता है।

हम किसी भी परिमित संख्या के जोड़ के साथ प्रत्यक्ष योग भी बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, $A\oplus B\oplus C$, जहाँ पर $A,B,$ तथा $C$ एक ही प्रकार की बीजगणितीय संरचनाएं हैं ( उदाहरण के लिए, सभी एबेलियन समूह, या सभी सदिश क्षेत्र )। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रत्यक्ष योग समरूपता तक साहचर्य है। वह है, एक ही तरह की किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$, $B$, तथा $C$ के लिए $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ । प्रत्यक्ष योग समरूपता तक क्रमविनिमेय भी है, अर्थात एक ही तरह की किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$, $B$, तथा $C$ के लिए $A\oplus B\cong B\oplus A$ ।

बहुत से एबेलियन समूहों, सदिश क्षेत्र, या मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग, संबंधित प्रत्यक्ष गुणन के लिए प्रामाणिक रूप से समाकृतिक है। सामान्यतः, यह कुछ बीजगणितीय वस्तुओं के लिए गलत है, जैसे कि गैर-अबेलियन समूह।

ऐसे स्थिति में जहाँ असीमित रूप से अनेक वस्तुएं संयुक्त होती हैं, प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणन समाकृतिक नहीं होते हैं, यहाँ तक ​​कि एबेलियन समूहों, सदिश क्षेत्र या मॉड्यूल के लिए भी समाकृतिक नहीं होते हैं। एक उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों की अपरिमित रूप से अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल पर विचार करें। प्रत्यक्ष गुणन में एक तत्व, एक अनंत अनुक्रम है जैसे (1,2,3,...) लेकिन प्रत्यक्ष योग में, एक आवश्यकता है कि सभी लेकिन बहुत से निर्देशांक शून्य हों, इसलिए अनुक्रम (1,2,3,...) प्रत्यक्ष गुणन का एक तत्व होगा, लेकिन प्रत्यक्ष योग का नहीं, जबकि (1,2,0,0,0,...) दोनों का एक तत्व होगा। अधिकांशतः, यदि एक + चिह्न का उपयोग किया जाता है, तो बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी निर्देशांक शून्य होने चाहिए, जबकि यदि गुणन के किसी रूप का उपयोग किया जाता है, तो निश्चित रूप से बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी 1 होना चाहिए। अधिक तकनीकी भाषा में, यदि योगफल $(A_{i})_{i\in I}$ हैं , तब प्रत्यक्ष योग

$$\bigoplus _{i\in I}A_{i}$$

टुपल्स के सेट $(a_{i})_{i\in I}$ के रूप में परिभाषित किया गया है $a_{i}\in A_{i}$ ऐसे कि $a_{i}=0$ सभी लेकिन निश्चित रूप से बहुत से i के लिए। प्रत्यक्ष योग ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ प्रत्यक्ष गुणन ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ में निहित है, लेकिन सूचकांक सेट होने पर सख्ती से छोटा होता है $I$ अनंत है, क्योंकि प्रत्यक्ष गुणन के एक तत्व में असीम रूप से अनेक अशून्य निर्देशांक हो सकते हैं।

उदाहरण

xy-तल, एक द्वि-आयामी सदिश क्षेत्र, को दो एक-आयामी सदिश क्षेत्र, अर्थात् x और y अक्षों के प्रत्यक्ष योग के रूप में माना जा सकता है। इस प्रत्यक्ष योग में, x और y अक्ष केवल मूल बिंदु (शून्य सदिश) पर प्रतिच्छेद करते हैं। जोड़ को निर्देशांक-के अनुसार परिभाषित किया गया है, अर्थात $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$, जो सदिश योग के समान है।

दो संरचनाएं $A$ तथा $B$ दी गई हैं, उनका प्रत्यक्ष योग $A\oplus B$ प्रकार से लिखा जाता है। संरचनाओं के अनुक्रमित परिवार $A_{i}$ को देखते हुए, $i\in I$ प्रत्यक्ष योग ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ लिखा जा सकता है। प्रत्येक A_i को A का 'प्रत्यक्ष योग' कहा जाता है। यदि सूचकांक सेट सीमित है, तो प्रत्यक्ष योग, प्रत्यक्ष गुणन के समान होता है। समूहों के विषय में, यदि समूह संचालन $+$ के रूप में लिखा गया है, तो प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाता है, जबकि यदि समूह संचालन $*$ लिखा जाता है प्रत्यक्ष गुणन वाक्यांश का उपयोग किया जाता है। जब सूचकांक सेट अनंत होता है, तो प्रत्यक्ष योग, प्रत्यक्ष गुणन के समान नहीं होता है क्योंकि प्रत्यक्ष योग की अतिरिक्त आवश्यकता होती है कि सभी लेकिन अंतत: अनेक निर्देशांक शून्य होने चाहिए।

आंतरिक और बाह्य प्रत्यक्ष योग

आंतरिक और बाह्य प्रत्यक्ष योगों के बीच एक भेद किया जाता है, सामान्यतः दोनों तुल्याकारी हैं। यदि योग को पहले परिभाषित किया जाता है, और फिर योग के संदर्भ में प्रत्यक्ष योग को परिभाषित किया जाता है, तो हमारे पास बाहरी प्रत्यक्ष योग होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम वास्तविक संख्याओं को परिभाषित करते हैं $\mathbb {R}$ और फिर परिभाषित करें $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ प्रत्यक्ष योग को बाह्य कहा जाता है।

यदि, दूसरी ओर, हम पहले कुछ बीजगणितीय संरचना को परिभाषित करते हैं $S$ और फिर लिखो