ट्रेस ऑपरेटर

एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका निशान (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।

गणित में, ट्रेस ऑपरेटर सोबोलेव स्पेस में सामान्यीकृत कार्यों के लिए अपने डोमेन की सीमा तक फलन के प्रतिबंध की धारणा को बढ़ाता है। यह निर्धारित सीमा स्थितियों (सीमा मान समस्याओं) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां कमजोर समाधान कार्यों के पारम्परिक अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए नियमित रूप से पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

प्रेरणा

एक सीमित, चिकने डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, विषम डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ पोइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें:

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

दिए गए कार्यों के साथ ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$ ट्रेस ऑपरेटर नीचे दिए गए आवेदन में चर्चा की गई नियमितता के साथ। कमजोर उपाय ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$. ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$वें>- की नियमितता ${\textstyle u}$ इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि किस अर्थ में ${\textstyle u}$ सीमा शर्त को पूरा कर सकते हैं ${\textstyle u=g}$ पर ${\textstyle \partial \Omega }$: परिभाषा से, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिस पर मनमाना मान हो सकता है ${\textstyle \partial \Omega }$ चूंकि यह एन-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।

यदि ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ वहाँ रखती है ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ सोबोलेव असमानता द्वारा, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि ${\textstyle u}$ पारम्परिक अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात ${\textstyle u}$ प्रति ${\textstyle \partial \Omega }$ फलन से सहमत हैं ${\textstyle g}$ (अधिक सटीक रूप से : का एक प्रतिनिधि उपस्थित है ${\textstyle u}$ में ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ इस संपत्ति के साथ)। ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ साथ ${\textstyle n>1}$ के लिये ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ का प्रयोग ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ के साथ ${\textstyle Tu=g}$ को सीमा मान समस्या का एक कमजोर समाधान कहा जाता है यदि ऊपर दिए गए अभिन्न समीकरण को संतुष्ट किया जाता है। ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा उचित होने के लिए, पर्याप्त रूप से नियमित ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ के लिए ${\textstyle u}$ होना चाहिए |

ट्रेस प्रमेय

ट्रेस ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस में कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ साथ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$, अन्य स्थानों पर ट्रेस के संभावित विस्तार के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें। होने देना ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के लिये ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ Lipschitz सीमा के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो। फिरवहाँ एक परिबद्ध रेखीय ट्रेस ऑपरेटर उपस्थित है

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$

ऐसा है कि ${\textstyle T}$ पारम्परिक ट्रेस का विस्तार करता है, अर्थात

$Tu=u|_{\partial \Omega }$ सभी के लिए $u$