एकदिष्ट फलन

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चित्रा 1. एक नीरस रूप से गैर-घटता कार्य।

चित्रा 2. एक नीरस रूप से गैर-बढ़ता हुआ कार्य

File:Monotonicity example3.svg

चित्रा 3. एक प्रकार्य जो एकदिष्ट नहीं है

गणित में, एकदिष्ट प्रकार्य गणित में क्रमित संरचनाओं की सूची के बीच एक प्रकार्य (गणित) है जो दिए गए क्रमवार को संरक्षित या उलट देता है। यह अवधारणा पहले गणना में उत्पन्न हुई, और बाद में अनुक्रम सिद्धांत की अधिक अमूर्त सेटिंग के लिए सामान्यीकृत की गई।

कलन और विश्लेषण में

कलन में, एक प्रकार्य $f$ वास्तविक मानों के साथ वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय पर परिभाषित को एकदिष्ट कहा जाता है यदि और केवल यदि यह पूरी तरह से गैर-बढ़ती हैं, या पूरी तरह से गैर-घटती हैं। चित्र 1 के अनुसार, एक कार्य जो एकदिष्‍टत: बढ़ता है उसे विशेष रूप से बढ़ाना नहीं है, इसे बस कम नहीं होना चाहिए।

एक प्रकार्य को एकदिष्ट रूप से बढ़ाना (बढ़ते या गैर-घटते भी) कहा जाता है यदि सभी $x$ तथा $y$ के लिए $x\leq y$ ऐसा है कि एक के पास $f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)$ है, तो $f$ क्रम को बनाए रखता है (चित्र 1 देखें)। इसी तरह, एक प्रकार्य को एकदिष्‍टत: रूप से घटते हुए (घटते या गैर-बढ़ते भी) कहा जाता है यदि, जब भी $x\leq y$, तत्पश्चात $f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)$, तो यह क्रम को उलट देता है (चित्र 2 देखें)।

यदि अनुक्रम $\leq$ एकदिष्टता की परिभाषा में कड़े अनुक्रम $<$ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, वह दृढ़ आवश्यकता प्राप्त करता है। इस विशेषता के साथ एक प्रकार्य को अनुशासनपूर्वक बढ़ाना कहा जाता है। फिर से, अनुक्रम सिंबल को उल्टा करके, एक संबंधित अवधारणा को अनुशासनपूर्वक घटता हुआ (भी घटता हुआ) कहा जाता है।किसी भी विशेषता वाले प्रकार्य को अनुशासनपूर्वक मोनोटोन कहा जाता है। कार्य जो अनुशासनपूर्वक मोनोटोन हैं वे एक-से-एक कार्य हैं | एक-से-एक (क्योंकि के लिए $x$ असमान $y$, या $x<y$ या $x>y$ और इसलिए, एकदिष्टता से, या तो $f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)$ या $f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)$, इस प्रकार $f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)$.)

अस्पष्टता से बचने के लिए, कमजोर मोनोटोन, कमजोर रूप से बढ़ने और कमजोर रूप से घटने वाले शब्द अक्सर गैर-सख्त एकदिष्टिटी को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

गैर-घटती और गैर-बढ़ती शर्तों को (बहुत कमजोर) नकारात्मक योग्यताओं के घटने और न बढ़ने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र 3 में दिखाया गया गैर-एकदिष्ट प्रकार्य पहले गिरता है, फिर ऊपर उठता है, फिर फिर से गिरता है। इसलिए यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है, लेकिन यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है।

एक प्रकार्य $f\!\left(x\right)$ एक अंतराल पर बिल्कुल एकदिष्ट कहा जाता है $\left(a,b\right)$ यदि के सभी अनुक्रमों के डेरिवेटिव $f$ अंतराल पर सभी बिंदुओं पर गैर-नकारात्मक या सभी गैर-सकारात्मक हैं।

प्रकार्य का उलटा

सभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट फ़ंक्शंस उलटा प्रकार्य हैं क्योंकि उन्हें अपनी सीमा से अपने डोमेन में एक-से-एक मैपिंग की गारंटी है।

हालांकि, ऐसे कार्य जो केवल कमजोर मोनोटोन वाले होते हैं, व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं क्योंकि वे कुछ अंतराल पर स्थिर होते हैं (और इसलिए एक-से-एक नहीं होते हैं)।

एक प्रकार्य सीमित मूल्यों की एक सीमा पर अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट हो सकता है और इस प्रकार उस सीमा पर उलटा हो सकता है, भले ही यह हर जगह अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट न हो। उदाहरण के लिए, यदि $y=g(x)$ सीमा पर अनुशासनपूर्वक बढ़ रहा है $[a,b]$, तो इसका व्युत्क्रम होता है $x=h(y)$ सीमा पर $[g(a),g(b)]$.

ध्यान दें कि एकदिष्ट शब्द का प्रयोग कभी-कभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट के स्थान पर किया जाता है, इसलिए एक स्रोत यह बता सकता है कि सभी एकदिष्ट प्रकार्य उलटा हो सकते हैं जब उनका वास्तव में मतलब होता है कि सभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट प्रकार्य उलटा हो जाते हैं।

एकदिष्ट परिवर्तन

एकदिष्ट ट्रांसफ़ॉर्मेशन (या मोनोटोन ट्रांसफ़ॉर्मेशन) शब्द भी भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि यह एक अनुशासनपूर्वक बढ़ते प्रकार्य द्वारा परिवर्तन को संदर्भित करता है। यह अर्थशास्त्र में एक उपयोगिता प्रकार्य के क्रमिक गुणों के संबंध में एक एकदिष्ट परिवर्तन (मोनोटोन वरीयताएँ भी देखें) में संरक्षित होने का मामला है। इस संदर्भ में, एकदिष्ट परिवर्तन शब्द एक सकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन को संदर्भित करता है और इसका उद्देश्य इसे "नकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन" से अलग करना है, जो संख्याओं के क्रम को उलट देता है।

कुछ बुनियादी अनुप्रयोग और परिणाम

File:Monotonic dense jumps svg.svg

जम्प डिसकंटीन्युटीज के सघन सेट के साथ एकदिष्ट प्रकार्य (कई सेक्शन दिखाए गए हैं)

एक एकदिष्ट प्रकार्य के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$:

• $f$ प्रकार्य के अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर दाएं और बाएं से प्रकार्य की सीमा होती है;
• $f$ सकारात्मक या नकारात्मक अनंत पर एक सीमा है ($\pm \infty$) या तो एक वास्तविक संख्या का, $\infty$, या $-\infty$.
• $f$ केवल जंप असततता हो सकती है;
• $f$ इसके डोमेन में मोनोटोन फ़ंक्शंस की केवल गणनीय कई विसंगतियां हो सकती हैं। हालाँकि, विच्छिन्नताएँ, आवश्यक रूप से अलग-अलग बिंदुओं से मिलकर नहीं बनती हैं और एक अंतराल (ए, बी) में सघन भी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, किसी योग्‍य अनुक्रम के लिए $(a_{i})$ सकारात्मक संख्या और किसी भी गणना की $(q_{i})$ परिमेय संख्याओं का, नीरस रूप से बढ़ता हुआ फलन
  $$f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}$$
  हर अपरिमेय संख्या (cf. चित्र) पर निरंतर है। यह परिमेय संख्याओं पर असतत माप का संचयी वितरण फलन है, जहाँ $a_{i}$ का वजन है $q_{i}$.

ये गुण ही कारण हैं कि गणितीय विश्लेषण में तकनीकी कार्य में एकदिष्ट प्रकार्य उपयोगी होते हैं। इन कार्यों के अन्य महत्वपूर्ण गुणों में शामिल हैं:

• यदि $f$ एक अंतराल (गणित) पर परिभाषित एक एकदिष्ट प्रकार्य है $I$, फिर $f$ लगभग हर जगह व्युत्पन्न है $I$; यानी संख्याओं का समूह $x$ में $I$ ऐसा है कि $f$ में अवकलनीय नहीं है $x$ Lebesgue माप माप शून्य है। इसके अलावा, इस परिणाम को गणनीय में सुधार नहीं किया जा सकता है: कैंटर प्रकार्य देखें।
• यदि यह सेट गणनीय है, तो $f$ नितांत सतत है
• यदि $f$ अंतराल पर परिभाषित एक एकदिष्ट प्रकार्य है $\left[a,b\right]$, फिर $f$ रीमैन इंटीग्रल है।

संभाव्यता सिद्धांत में एकदिष्ट कार्यों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। यदि $X$ एक यादृच्छिक चर है, इसका संचयी वितरण कार्य $F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)$ एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है।

एक फलन एकरूपी फलन है यदि यह नीरस रूप से किसी बिंदु तक बढ़ रहा है (बहुलक (सांख्यिकी)) और फिर नीरस रूप से घट रहा है।

कब $f$ एक अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट प्रकार्य है, फिर $f$ अपने डोमेन पर इंजेक्शन प्रकार्य है, और यदि $T$ के एक प्रकार्य की सीमा है $f$, तो वहाँ एक उलटा कार्य होता है $T$ के लिये $f$. इसके विपरीत, प्रत्येक निरंतर कार्य एकदिष्ट है, लेकिन इंजेक्शन नहीं है, और इसलिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता।

टोपोलॉजी में

नक्षा $f:X\to Y$ मोनोटोन कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक फाइबर (गणित)#फाइबर इन नेव सेट थ्योरी कनेक्टेड (टोपोलॉजी) है; अर्थात्, प्रत्येक तत्व के लिए $y\in Y,$ (संभवतः खाली) सेट $f^{-1}(y)$ का कनेक्टेड सबस्पेस टोपोलॉजी है $X.$

कार्यात्मक विश्लेषण में

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर कार्यात्मक विश्लेषण में $X$, एक (संभवतः गैर-रैखिक) ऑपरेटर $T:X\rightarrow X^{*}$ एक मोनोटोन ऑपरेटर कहा जाता है यदि

$(Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.$

कचुरोवस्की के प्रमेय से पता चलता है कि बनच रिक्त स्थान पर उत्तल कार्य उनके डेरिवेटिव के रूप में एकदिष्ट ऑपरेटर हैं।

उपसमुच्चय $G$ का $X\times X^{*}$ यदि हर जोड़ी के लिए एक मोनोटोन सेट कहा जाता है $[u_{1},w_{1}]$ तथा $[u_{2},w_{2}]$ में $G$,

$(w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.$

$G$ अधिकतम मोनोटोन कहा जाता है यदि यह सेट समावेशन के अर्थ में सभी मोनोटोन सेटों में अधिकतम है। एक मोनोटोन ऑपरेटर का ग्राफ $G(T)$ एक मोनोटोन सेट है। एक मोनोटोन ऑपरेटर को अधिकतम मोनोटोन कहा जाता है यदि इसका ग्राफ़ अधिकतम मोनोटोन सेट है।

क्रम सिद्धांत में

अनुक्रम थ्योरी मनमाना आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए सेट और वास्तविक संख्याओं के सामान्यीकरण के रूप में पूर्व अनुक्रम से संबंधित है। एकदिष्टता की उपरोक्त परिभाषा इन मामलों में भी प्रासंगिक है। हालांकि, बढ़ती और घटती शर्तों से बचा जाता है, क्योंकि उनका पारंपरिक सचित्र प्रतिनिधित्व उन अनुक्रम पर लागू नहीं होता है जो कुल अनुक्रम नहीं हैं। इसके अलावा, सख्त अनुक्रम संबंध < और > कई गैर-कुल अनुक्रमों में बहुत कम उपयोग होते हैं और इसलिए उनके लिए कोई अतिरिक्त शब्दावली पेश नहीं की जाती है।

≤ को किसी भी आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए सेट के आंशिक क्रम संबंध को दर्शाता है, एक मोनोटोन प्रकार्य , जिसे आइसोटोन भी कहा जाता है, याorder-preserving, विशेषता को संतुष्ट करता है

x ≤ y का अर्थ है f(x) ≤ f(y),

इसके डोमेन में सभी x और y के लिए। दो मोनोटोन मैपिंग का सम्मिश्रण भी मोनोटोन है।

द्वैत (अनुक्रम सिद्धांत) धारणा को अक्सर एंटीटोन, एंटी-मोनोटोन या अनुक्रम-रिवर्सिंग कहा जाता है। इसलिए, एक एंटीटोन प्रकार्य f विशेषता को संतुष्ट करता है

x ≤ y का अर्थ है f(y) ≤ f(x),

इसके डोमेन में सभी x और y के लिए।

एक स्थिर कार्य मोनोटोन और एंटीटोन दोनों है; इसके विपरीत, यदि f मोनोटोन और एंटीटोन दोनों है, और यदि f का डोमेन एक जाली (क्रम) है, तो f स्थिर होना चाहिए।

क्रम सिद्धांत में मोनोटोन फ़ंक्शंस केंद्रीय हैं। वे इस विषय पर अधिकांश लेखों में दिखाई देते हैं और विशेष अनुप्रयोगों के उदाहरण इन स्थानों पर पाए जाते हैं। कुछ उल्लेखनीय विशेष मोनोटोन फ़ंक्शंस अनुक्रम एम्बेडिंग हैं (प्रकार्य जिसके लिए x ≤ y यदि और केवल यदि f(x) ≤ f(y)) और अनुक्रम समरूपता (विशेषण अनुक्रम एम्बेडिंग)।

खोज एल्गोरिदम के संदर्भ में

खोज एल्गोरिदम के संदर्भ में एकदिष्टता (जिसे संगति भी कहा जाता है) अनुमानी कार्यों पर लागू एक शर्त है। एक अनुमानी प्रकार्य (एन) एकदिष्ट है, यदि प्रत्येक नोड एन और एन के प्रत्येक उत्तराधिकारी एन 'के लिए किसी भी कार्रवाई से उत्पन्न होता है, एन से लक्ष्य तक पहुंचने की अनुमानित लागत एन' प्लस प्राप्त करने की चरण लागत से अधिक नहीं है n' से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत,

$h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).$

यह n, n' और लक्ष्य G के साथ त्रिभुज असमानता का एक रूप है_nएन के सबसे करीब। क्योंकि प्रत्येक एकदिष्ट ह्यूरिस्टिक भी स्वीकार्य ह्यूरिस्टिक है, स्वीकार्यता की तुलना में एकदिष्टिटी एक सख्त आवश्यकता है। कुछ अनुमानी एल्गोरिथम जैसे A* खोज एल्गोरिद्म|A* को असम्बद्ध रूप से इष्टतम एल्गोरिथम सिद्ध किया जा सकता है, बशर्ते कि वे जिस अनुमानी का उपयोग करते हैं वह एकदिष्ट हो।

बूलियन कार्यों में

File:Hasse3 x impl y and z.svg With the nonmonotonic function "if a then both b and c", false nodes appear above true nodes.

Error creating thumbnail: Hasse diagram of the monotonic function "at least two of a, b, c hold". Colors indicate function output values.

बूलियन बीजगणित (तर्क) में, एक एकदिष्ट प्रकार्य ऐसा है जो सभी के लिए है_i और बी_i {0,1} में, यदि a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ..., a_n ≤ b_n (यानी कार्टेशियन उत्पाद {0, 1}ⁿ को निर्देशांकानुसार क्रमित किया गया है), तब f(a₁, ..., a_n) ≤ f(b₁, ..., b_n). दूसरे शब्दों में, एक बूलियन प्रकार्य एकदिष्ट होता है, यदि इनपुट के प्रत्येक संयोजन के लिए, इनपुट में से किसी एक को गलत से सही पर स्विच करने से केवल आउटपुट को गलत से सही पर स्विच किया जा सकता है, न कि सही से गलत पर। रेखांकन से, इसका मतलब यह है कि एक एन-आरी बूलियन प्रकार्य एकदिष्ट है जब एक हाइपरक्यूब के रूप में इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है | सत्य मूल्यों के साथ लेबल किए गए एन-क्यूब में सत्य से असत्य तक कोई ऊपर की ओर नहीं है। (यह लेबल किया गया हस्से आरेख द्वैत (गणित) है # प्रकार्य के लेबल किए गए वेन आरेख का आयाम-उलटा द्वैत है, जो इसके लिए अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व है n ≤ 3.)

एकदिष्ट बूलियन फ़ंक्शंस ठीक वे हैं जिन्हें केवल ऑपरेटर्स तार्किक संयोजन और तार्किक विच्छेदन (विशेष रूप से निषेध वर्जित है) का उपयोग करके इनपुट्स (जो एक से अधिक बार प्रकट हो सकते हैं) के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए कम से कम दो ए, बी, सी होल्ड ए, बी, सी का एक एकदिष्ट प्रकार्य है, क्योंकि इसे उदाहरण के लिए ((ए और बी) या (ए और सी) या (बी और सी)) के रूप में लिखा जा सकता है। .

n चरों पर ऐसे कार्यों की संख्या को n की डेडेकिंड संख्या के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

• मोनोटोन क्यूबिक इंटरपोलेशन
• छद्म-मोनोटोन ऑपरेटर
• स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक - डेटा के एक सेट में एकदिष्टता का माप
• कुल एकदिष्टता
• चक्रीय एकदिष्टता
• ऑपरेटर मोनोटोन प्रकार्य

ग्रन्थसूची

• Bartle, Robert G. (1976). The elements of real analysis (second ed.).
• Grätzer, George (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. ISBN 0-7167-0442-0.
• Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2001). Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. ISBN 0-7190-3341-1.
• Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. p. 356. ISBN 0-387-00444-0.
• Riesz, Frigyes & Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Functional Analysis. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3.
• Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2010). Artificial Intelligence: A Modern Approach (3rd ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (April 1994). Mathematics for Economists (first ed.). ISBN 978-0-393-95733-4. (Definition 9.31)

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• असम्बद्ध रूप से इष्टतम एल्गोरिदम
• समन्वय क्रम
• हस्स आरेख
• नकार
• डेडेकाइंड संख्या

बाहरी संबंध

• "Monotone function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. "Monotonic Function". MathWorld.