विभेदक वक्र

This article is about यूक्लिडियन क्षेत्र में वक्र. For एकपक्षीय टोपोलॉजिकल दूरी में वक्र, see वक्र.

वक्र की विभेदक ज्यामिति, ज्यामिति की वह शाखा है जो अंतर कलन और समाकलन के तरीकों से यूक्लिडियन समतल और यूक्लिडियन दूरी(गणित) तथा वक्रों से संबंधित है।

कृत्रिम ज्यामिति का उपयोग करके कई वक्रों की सूची की पूरी तरह से जांच की गई है। विभेदक ज्यामिति एक अन्य पद्धति अपनाती है, वक्र किसी प्राचल समीकरण में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएँ, जैसे कि वक्रता और चाप की लंबाई, सदिश गणना का उपयोग करके अभिकलन और समाकल के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक फ्रेनेट प्रारूप है, एक गतिशील प्रारूप जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जो उस बिंदु के निकटतम वक्र के लिए अधिकतम अनुकूलित होता है।

सतहों की अंतर ज्यामिति और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में वक्रता का सिद्धांत बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि यूक्लिडियन ज्यामितीय नियमित वक्र के अंतर्गत कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं है। चाप की लंबाई("प्राकृतिक प्राचलीकरण") द्वारा किसी भी नियमित वक्र को परीक्षण किया जा सकता है। वक्र पर परीक्षण कण के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, उसे सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग ज्यामितीय वक्र केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे घूमते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक अपरिवर्तनीय अवकल ज्यामिति द्वारा मापा जाता जिसे हम वक्र की वक्रता या पृष्ठ तनाव कहते हैं । वक्रों का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।

परिभाषाएँ

Main article: वक्र

एक प्राचलिक(प्राचल) C^r-वक्र या ए C^r-प्राचलन एक सदिश-विशेष फलन है

$\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$

वह r-समय पर निरंतर अलग-अलग है अर्थात(घटक फलन निरंतर अलग अलग हैं) जहां $n\in \mathbb {N}$, $r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$, तथा I वास्तविक संख्याओं का एक अशून्य अंतराल(गणित) है। $\gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ प्राचल वक्र का चित्र है । प्राचल वक्र γ और इसकी इमेज γ[I] अलग-अलग होना चाहिए क्योंकि दिया गया उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ कई अलग-अलग प्राचल वक्रों की इमेज हो सकती है। γ(t) में मापदण्ड t को एक निरुपित समय के रूप में माना जा सकता हैं और γ एक प्राचल क्षेत्र में घूमने वाले बिंदु का प्रक्षेप पथ हो सकता है । जब I एक बंद अंतराल है [a,b], y का , γ(a) प्रारंभिक बिंदु कहलाता है और γ(b) समापन बिंदु कहलाता है । यदि आरंभिक और अंतिम बिंदु संपाती हैं(अर्थात, γ(a) = γ(b)), फिर γ एक बंद वक्र या एक परिपथ है। C^r को एक परिपथ होने के लिए फलन γ को r-समय पर निरंतर अलग-अलग होना चाहिए और γ^(k)(a) = γ^(k)(b) 0 ≤ k ≤ r के लिए संतुष्ट करना चाहिए ।

प्राचल वक्र सरल है यदि

$\gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$

यदि y का प्रत्येक घटक फलन एक विश्लेषणात्मक फलन करता है तो γ एक विश्लेषणात्मक फलन है, अर्थात यह C^ω.वर्ग का है। वक्र γ नियमानुकूल है m(जहाँ पर m ≤ r) अगर, हर के लिए t ∈ I,

$\left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}$

$\mathbb {R} ^{n}$ का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है । विशेष रूप से, एक प्राचल C¹-वक्र γ नियमित है, यदि केवल और केवल γ′(t) ≠ 0 जिसके लिए t ∈ I.

पुनर्मानकीकरण और तुल्यता संबंध

See also: सदिश स्थिति and सदिश-विशेष फलन

प्राचल वक्र की इमेज को देखते हुए, प्राचलिक(प्राचल) वक्र के कई अलग-अलग मूल्यांकन हैं। अवकलन रेखागणित का उद्देश्य प्राचल वक्रों के गुणों का वर्णन करना है जो कुछ पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी प्राचल वक्रों के समुच्चय पर एक उपयुक्त तुल्यता संबंध परिभाषित किया जाना चाहिए। एक प्राचल वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण(जैसे इसकी लंबाई, इसकी फ़्रेनेट प्रारूप, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए समतुल्यता वर्ग के गुण स्वयं समतुल्य वर्ग C^r- वक्र कहलाते हैं और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं प्राचल हैं।

दो प्राचल C^r-वक्र, $\gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ तथा $\gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}$,समतुल्य कहा जाता है, यदि केवल कोई विशेषण सम्मिलित है तो C^r-छायाचित्र φ : I₁ → I₂ ऐसा है कि

$\forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0$

तथा

$\forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).$

तब ये कहा जाता है कि γ₁, y2 का पुनर्मूल्यांकन है।

पुनर्मूल्यांकन सभी प्राचल के समुच्चय पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है। C^r वर्ग के वक्र इस संबंध का तुल्यता वक्र है।

अभिविन्यस्त प्राचल C^r वक्र का अन्य बेहतर तुल्यता संबंध φ आवश्यकता के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। संतुष्ट करने के लिए φ′(t) > 0.

समतुल्य प्राचल C^r-वक्र की समरूप इमेज है, और समतुल्य उन्मुख प्राचल C^r-वक्र इमेज को उसी दिशा में विच्छेद भी करते हैं।

लंबाई और प्राकृतिक मानकीकरण

Main article: वक्राकार लंबाई

See also: वक्र एवं वक्र की लंबाई

लंबाई l एक प्राचल का C¹-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ की तरह परिभाषित किया गया है

$l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.$

एक प्राचल वक्र की लंबाई पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए प्राचल वक्र की अंतर-ज्यामितीय एक विशेषता है।

प्रत्येक नियमित प्राचल के लिए C^r-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$जहाँ पर , r ≥ 1, फलन परिभाषित किया गया है

$\forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.$

γ(s) = γ(t(s)), जहाँ पर t(s) का प्रतिलोम फलन s(t) है, y का पुनः मानकीकरण γ है जिसे एक चाप लंबाई मानकीकरण, प्राकृतिक मानकीकरण, यूनिट-स्पीड मानकीकरण कहा जाता है। मापदण्ड s(t) को γ का स्वाभाविक मापदण्ड कहा जाता है।

यह प्राचलीकरण इसीलिए चुना जाता है क्योंकि प्राकृतिक मापदण्ड s(t) की इमेज को y इकाई गति से विच्छेद करता है, इस प्रकार

$$