चतुर्भुज

यह लेख चार भुजाओ वाली गणितीय आकृतियो के बारे मे है। अन्य उपयोगों के लिए,चतुर्भुज(बहुविकल्पी) देखें।

"टेट्रागोन" यहाँ पुनःनिर्देशित करता है. खाने योग्य पौधे के लिए टेट्रागोनिया टेट्रागोनाइड्स देखें।

चतुर्भुज
कुछ प्रकार के चतुर्भुज
किनारेs और कोने	4
स्लीपी सिंबल	{4} (वर्ग के लिए )
क्षेत्र	विभिन्न तरीके; नीचे देखें
आंतरिक कोण (डिग्री)	90° (वर्ग और आयात के लिए)

यूक्लिडियन ज्यामिति में चतुर्भुज एक चार भुजाओं वाला बहुभुज होता है, जिसमें चार किनारे (भुजाएँ) और चार शीर्ष (कोने) होते हैं। यह शब्द लैटिन शब्द क्वाड्री, जो चार का एक प्रकार है, और लैटस, जिसका अर्थ 'भुजा' है, से लिया गया है। इसे टेट्रागोन (चतुष्कोण) भी कहा जाता है, जो ग्रीक 'टेट्रा' से लिया गया है जिसका अर्थ है 'चार' और 'गॉन' का अर्थ कोने या कोण है, जो अन्य बहुभुजों (जैसे पंचकोण) के अनुरूप है। चूँकि गोन का अर्थ कोण होता है, इसे समान रूप से चतुष्कोण , या 4-कोण कहा जाता है। शीर्षों वाला एक चतुर्भुज $A$, $B$, $C$ तथा $D$ कभी-कभी $\square ABCD$ के रूप में दर्शाया जाता है।

चतुर्भुज या तो साधारण बहुभुज (स्व-प्रतिच्छेदी नहीं) या जटिल बहुभुज (स्व-प्रतिच्छेदी, या रेखित) होते हैं। सरल चतुर्भुज या तो उत्तल बहुभुज या अवतल बहुभुज होते हैं।

एक सरल (और समतलीय) चतुर्भुज ABCD के आंतरिक 360 डिग्री तक चाप जोड़ते हैं, जो कि:

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$

यह n-गॉन आंतरिक कोण योग सूत्र की एक विशेष स्थिति है: S = (n - 2) × 180°।

सभी स्वतः रेखांकित चतुर्भुज, उनके भुजाओं के मध्य बिंदुओं के चारों ओर बार-बार घुमाकर समतल करते है।

सरल चतुर्भुज

कोई भी चतुर्भुज जो स्व-प्रतिच्छेदी नहीं है, एक सरल चतुर्भुज है।

उत्तल चतुर्भुज

कुछ प्रकार के सरल चतुर्भुजों का यूलर आरेख। (यूके) ब्रिटिश अंग्रेजी को दर्शाता है और (यूएस) अमेरिकी अंग्रेजी को दर्शाता है।

File:Symmetries of square.svg

सममिति द्वारा उत्तल चतुर्भुज, एक हस्से आरेख के साथ दर्शाया गया है।

एक उत्तल चतुर्भुज में सभी आंतरिक कोण 180° से कम होते हैं, और दोनों विकर्ण चतुर्भुज के अंदर स्थित होते हैं।

• अनियमित चतुर्भुज (ब्रिटिश अंग्रेजी) या ट्रेपेजियम (उत्तरी अमेरिकी अंग्रेजी): कोई भुजा समानांतर नहीं हैं। (ब्रिटिश अंग्रेजी में, इसे एक बार ट्रेपेज़ॉइड कहा जाता था। अधिक जानकारी के लिए, देखें Trapezoid (विषम चतुर्भुज) § Trapezium (समलम्ब ) vs Trapezoid (विषम चतुर्भुज)
• समलम्ब (यूके) या ट्रेपेज़ॉइड (यूएस): कम से कम एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर (ज्यामिति) हैं। समलम्ब (यूके) और ट्रेपेज़ोइड्स (यूएस) में समांतर चतुर्भुज सम्मिलित हैं।
• समद्विबाहु ट्रेपेज़ियम (यूके) या [[समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड]] (यूएस): विपरीत भुजाओं का एक जोड़ा समानांतर होता है और आधार कोण माप में बराबर होते हैं। वैकल्पिक परिभाषाएँ समरूपता के अक्ष के साथ एक चतुर्भुज हैं जो विपरीत भुजाओ के एक जोड़े को द्विभाजित करती हैं, या समान लंबाई के विकर्णों के साथ एक चतुर्भुज हैं।
• समांतर चतुर्भुज: समानांतर भुजाओं के दो युग्मों वाला चतुर्भुज। समतुल्य स्थितियाँ हैं कि विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की हों; सम्मुख कोण बराबर होते हैं; या यह कि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। समांतर चतुर्भुजों में सम्मिलित हैं समचतुर्भुज (उन आयतों सहित जिन्हें वर्ग कहा जाता है) और विषमचतुर्भुज (उन आयतों सहित जिन्हें आयताकार कहा जाता है)। दूसरे शब्दों में, समांतर चतुर्भुज में सभी समचतुर्भुज और सभी समचतुर्भुज सम्मिलित होते हैं, और इस प्रकार इसमें सभी आयत भी सम्मिलित होते हैं।
• समचतुर्भुज, समचतुर्भुज:चारों भुजाएँ समान लंबाई (समबाहु) की हैं। समतुल्य स्थिति यह है कि विकर्ण एक दूसरे को लंब-समद्विभाजित करते हैं। अनौपचारिक रूप से: वर्ग एक समचतुर्भुज (लेकिन दृढ़ता से एक वर्ग भी सम्मिलित है)है।
• समचतुर्भुज: एक समांतर चतुर्भुज जिसमें आसन्न भुजाएँ असमान लंबाई की होती हैं, और कुछ कोण तिर्यक होते है (समतुल्य,कोई समकोण नहीं होता है)। अनौपचारिक रूप से: एक समचतुर्भुज आयताकार है। सभी संदर्भ सहमत नहीं हैं, कुछ समचतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज के रूप में परिभाषित करते हैं जो एक समचतुर्भुज नहीं है।
• आयत: चारों कोण समकोण (समकोणीय) होते हैं। समतुल्य स्थिति यह है कि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और लंबाई में बराबर होते हैं। आयतों में वर्ग और आयताकार सम्मिलित हैं। अनौपचारिक रूप से: एक बॉक्स या आयताकार (एक वर्ग सहित)।
• वर्ग (नियमित चतुर्भुज): चारों भुजाएँ समान लंबाई (समबाहु) की होती हैं, और चारों कोण समकोण होते हैं। एक समतुल्य स्थिति यह है कि विपरीत भुजाएं समानांतर होती हैं (एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज होता है), और यह कि विकर्ण लंबवत रूप से एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और समान लंबाई के होते हैं। एक चतुर्भुज एक वर्ग है यदि और केवल यदि यह एक समचतुर्भुज और एक आयत दोनों है (अर्थात्, चार समान भुजाएँ और चार समान कोण)।
• आयताकार: चौडाई से लंबा, या लंबाई से चौड़ा (यानी, एक आयत जो वर्ग नहीं है)।
• काइट (ज्यामिति): आसन्न भुजाओं के दो जोड़े समान लंबाई के होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि एक विकर्ण पतंग को सर्वांगसम त्रिभुजो में विभाजित करता है, और इसलिए समान भुजाओं के दो युग्मों के बीच के कोण माप में बराबर होते हैं। इसका तात्पर्य यह भी है कि विकर्ण लंबवत हैं। पतंग में समचतुर्भुज सम्मिलित है।

• स्पर्शरेखा चतुर्भुज: चार भुजाएँ एक उत्कीर्ण वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं। एक उत्तल चतुर्भुज स्पर्शरेखीय होता है यदि और केवल यदि विपरीत भुजाओं का योग बराबर हो।
• स्पर्शरेखा ट्रेपेज़ॉइड: एक ट्रेपेज़ॉइड जहाँ चारों भुजाएँ एक उत्कीर्ण वृत्त की स्पर्शरेखाएँ होती हैं।
• चक्रीय चतुर्भुज: चारों शीर्ष एक परिबद्ध वृत्त पर स्थित होते हैं। एक उत्तल चतुर्भुज चक्रीय होता है यदि और केवल यदि सम्मुख कोणों का योग 180° हो।
• दाहिनी पतंग: एक पतंग जिसमे दो विपरीत समकोण होते है। यह एक प्रकार का चक्रीय चतुर्भुज है।
• संगत चतुर्भुज: सम्मुख स्थित सिरों की लंबाई के गुणनफल बराबर होते हैं। यह एक प्रकार का चक्रीय चतुर्भुज है।
• द्विकेंद्रित चतुर्भुज: यह स्पर्शरेखा और चक्रीय दोनों है।
• लंब-अक्ष विकर्ण चतुर्भुज: विकर्ण समकोण पर एक दूसरे को काटते हैं।
• समबाहु चतुर्भुज: विकर्ण समान लंबाई के होते हैं।
• पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुज: भुजाओ के चार आयतन एक बहिर्वृत्त के स्पर्शरेखा हैं।
• समबाहु चतुर्भुज की दो विपरीत समान भुजाएँ होती हैं जिन्हें बढ़ाने पर वे 60° पर मिलती हैं।
• वाट चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें समान लंबाई की विपरीत भुजाओं का युग्म होता है।
• चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज होता है जिसके चारों शीर्ष एक वर्ग की परिधि पर स्थित होते हैं।
• व्यासयुक्त चतुर्भुज एक चक्रीय चतुर्भुज होता है जिसकी एक भुजा परिवृत्त के व्यास के रूप में होती है।
• जेल्म्सलेव चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसके दो समकोण विपरीत शीर्षों पर होते हैं।

अवतल चतुर्भुज

• अवतल चतुर्भुज में, एक आंतरिक कोण 180° से बड़ा होता है, और दो विकर्णों में से एक चतुर्भुज के बाहर स्थित होता है।
• एक शंकु (या तीर का सिरा) पतंग की तरह द्विपक्षीय समरूपता के साथ एक अवतल बहुभुज चतुर्भुज है, लेकिन जहां एक आंतरिक कोण प्रतिवर्त होता है। पतंग (ज्यामिति) देखें।

जटिल चतुर्भुज

File:DU21 facets.png

एक प्रतिसमांतर चतुर्भुज

स्व-प्रतिच्छेदी चतुर्भुज को विभिन्न प्रकार से एक रेखित-चतुर्भुज, रेखित चतुर्भुज, तितली चतुर्भुज या बो टाई चतुर्भुज कहा जाता है। एक रेखित किए गए चतुर्भुज में, रेखित के दोनों तरफ चार आंतरिक कोण (दो न्यून कोण और दो प्रतिबिंब कोण, सभी बाईं ओर या सभी दाईं ओर जैसा कि आकृति का पता लगाया गया है) 720 डिग्री तक जोड़ते हैं।

• समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड (यूएस) या समलम्ब (कॉमनवेल्थ): एक रेखित किया हुआ चतुर्भुज जिसमें एक जोड़ी असन्निकट भुजाएँ समानांतर होती हैं (एक समलम्ब की तरह)
• प्रतिसमांतर चतुर्भुज: एक रेखित किया हुआ चतुर्भुज जिसमें असन्निकट भुजाओं के प्रत्येक जोड़े की लंबाई समान होती है (एक समांतर चतुर्भुज की तरह)
• रेखित किया हुआ आयत: एक प्रतिसमांतर चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ दो विपरीत भुजाएँ होती हैं और एक आयत के दो विकर्ण होते हैं, इसलिए समानांतर विपरीत भुजाओं का एक युग्म होता है
• रेखित वर्ग: एक रेखित आयत की एक विशेष स्थिति जहां दो भुजा समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं

विशेष रेखा खंड

उत्तल चतुर्भुज के दो विकर्ण रेखा खंड होते हैं जो विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं।

एक उत्तल चतुर्भुज की दो द्विमाध्यिकाएं वे रेखाखंड होते हैं जो विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं। वे चतुर्भुज के ''शीर्ष केन्द्रक'' पर प्रतिच्छेद करते हैं (नीचे एक उत्तल चतुर्भुज मे § उल्लेखनीय बिन्दु और रेखाएं देखें)।

एक उत्तल चतुर्भुज के चार कोण एक तरफ के लंबवत होते हैं-विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से होकर।

एक उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल

उत्तल चतुर्भुज ABCD के भुजाओ a = AB, b = BC, c = CD and d = DA क्षेत्रफल K के लिए विभिन्न सामान्य सूत्र हैं

त्रिकोणमितीय सूत्र

क्षेत्र को त्रिकोणमितीय शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है

$K={\frac {pq}{2}}\sin \theta ,$

जहां विकर्णों की लंबाई p तथा q है और उनके बीच का कोण θ है। एक लंब-अक्ष विकर्ण चतुर्भुज (जैसे समचतुर्भुज, वर्ग और पतंग) की स्थितियों में, यह सूत्र कम हो जाता है $K={\tfrac {pq}{2}}$ चूंकि θ 90° है।

क्षेत्र को द्विमाध्यकों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:$K=mn\sin \varphi ,$

जहां द्विमाध्यिका की लंबाई m तथा n है और उनके बीच का कोण φ है।

ब्रेटश्राइडर का सूत्र भुजाओं और दो विपरीत कोणों के संदर्भ में क्षेत्र को व्यक्त करता है:

${\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\frac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}$

जहाँ क्रम में भुजाएँ a, b, c, d है, जहाँ s अर्धपरिधि है, और A तथा C दो (वास्तव में, कोई भी दो) विपरीत कोण हैं। यह चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए ब्रह्मगुप्त के सूत्र को कम करता है - जब A + C = 180° .

कोण के साथ भुजाओं और कोणों के संदर्भ में एक अन्य क्षेत्र सूत्र C भुजाओ के बीच b तथा c के बीच है, तथा A भुजाओ a तथा d के बीच है

$K=\frac{ad}{2}\sin <!--\; \; -->A$