बेसेल फिल्टर

इलेक्ट्रानिक्स और संकेत का प्रक्रमण में, एक बेसेल फ़िल्टर एक प्रकार का एनालॉग रैखिक फ़िल्टर है जिसमें अधिकतम फ्लैट समूह/चरण विलंब (अधिकतम रैखिक चरण प्रतिक्रिया) होता है, जो पासबैंड में फ़िल्टर्ड सिग्नल के तरंग आकार को सुरक्षित रखता है। बेसेल फिल्टर अक्सर ऑडियो क्रॉसओवर सिस्टम में उपयोग किए जाते हैं।

फ़िल्टर का नाम जर्मन गणितज्ञ फ्रेडरिक बेसेल (1784-1846) का संदर्भ है, जिन्होंने गणितीय सिद्धांत विकसित किया जिस पर फ़िल्टर आधारित है। डब्ल्यू ई थॉमसन की मान्यता में फिल्टर को बेसेल-थॉमसन फिल्टर भी कहा जाता है,जिन्होंने 1949 में डिज़ाइन को फ़िल्टर करने के लिए बेसेल फलन को लागू करने का तरीका निकाला।

बेसेल फ़िल्टर गॉस फिल्टर के समान ही है, और फ़िल्टर क्रम बढ़ने पर उसी आकार की ओर जाता है।जबकि गॉस फ़िल्टर के टाइम-डोमेन चरण प्रतिक्रिया में शून्य अतिक्रमण (संकेत) होता है,बेसेल फ़िल्टर में थोड़ी मात्रा में अतिक्रमण होता है, लेकिन फिर भी अन्य सामान्य आवृत्ति-डोमेन फ़िल्टर की तुलना में बहुत कम होता है,जैसे बटरवर्थ फिल्टर। यह ध्यान दिया गया है कि बेसेल-थॉमसन फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया एक गॉस की ओर जाती है क्योंकि फिल्टर का क्रम बढ़ जाता है।

गॉस फ़िल्टर के परिमित-आदेश अनुमानों की तुलना में, बेसेल फ़िल्टर में बेहतर आकार देने वाला कारक, फ्लैटर फेज़ में होने वाली देरी, और समान क्रम के गॉस की तुलना में फ्लैटर समूह में होने वाली देरी , चूँकि गॉस में कम समय विलंब और शून्य अतिक्रमण होता है।

स्थानांतरण फलन

File:Bessel4 GainDelay.png

चौथे क्रम के लो-पास बेसेल फिल्टर के लिए लाभ और समूह में होने वाली देरी का एक प्लॉट। ध्यान दें कि पासबैंड से स्टॉपबैंड में संक्रमण अन्य फिल्टर की तुलना में बहुत धीमा है, लेकिन पासबैंड में समूह में होने वाली देरी व्यावहारिक रूप से स्थिर है। बेसेल फ़िल्टर शून्य आवृत्ति पर समूह में होने वाली देरी वक्र की समतलता को अधिकतम करता है।

एक बेसेल लो पास फिल्टर को इसके स्थानांतरण प्रकार्य की विशेषता है:

$H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}\,$

कहाँ पे $\theta _{n}(s)$ एक उल्टा बेसेल बहुपद है जिससे फ़िल्टर का नाम मिलता है और $\omega _{0}$ वांछित अंतक आवृत्ति देने के लिए चुनी गई आवृत्ति है। फ़िल्टर में कम आवृत्ति समूह में होने वाली देरी है $1/\omega _{0}$. तब से $\theta _{n}(0)$ विपरीत बेसेल बहुपद की परिभाषा से अनिश्चित है, लेकिन एक हटाने योग्य विलक्षणता है, यह परिभाषित किया गया है कि $\theta _{n}(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\theta _{n}(x)$.

बेसेल बहुपद

$s$ विमान, यहाँ क्रॉस के रूप में प्लॉट किया गया।

बेसेल फ़िल्टर का स्थानांतरण फलन एक तर्कसंगत कार्य है जिसका हर एक विपरीत बेसेल बहुपद है, जैसे कि निम्न:

$n=1:\quad s+1$

$n=2:\quad s^{2}+3s+3$

$n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15$

$n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105$

$n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945$

विलोम बेसेल बहुपद निम्न द्वारा दिए गए हैं:

$\theta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},$

कहाँ पे

$a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.$

उदाहरण

File:Bessel 3rd-order gain.svg

सामान्यीकृत आवृत्ति बनाम तीसरे क्रम के बेसेल फ़िल्टर का लाभ प्लॉट।

File:Bessel 3rd-order delay.svg

तीसरे क्रम के बेसेल फ़िल्टर का समूह में होने वाली देरी प्लॉट, पासबैंड में फ्लैट इकाई विलंब को दर्शाता है।

तीसरे क्रम (तीन-पोल) बेसेल कम-पास फ़िल्टर के लिए स्थानांतरण फलन $\omega _{0}=1$ है

$H(s)=\frac{15}{s^3+6s^{}}$