वेब्लेन फलन

गणित में, वेब्लेन फलन, सामान्य फलन का पदानुक्रम है (क्रमवाचक संख्या से क्रमांक तक कठोरता से बढ़ते फलन), जिसे वेबलेन (1908) में ओसवाल्ड वेब्लेन द्वारा प्रस्तुत किया गया। यदि φ₀ कोई सामान्य कार्य है, तो किसी भी गैर-शून्य क्रमिक α के लिए, φ_α β<α के लिए φ_β के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करने वाला कार्य है। ये सभी सामान्य कार्य हैं।

वेब्लेन पदानुक्रम

विशेष स्थिति में जब φ₀(α) = ω^α कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है। फलन φ₁, ε फलन के समान है: φ₁(α) = ε_α यदि $\alpha <\beta \,,$ तब $\varphi _{\alpha }(\varphi _{\beta }(\gamma ))=\varphi _{\beta }(\gamma )$ होता है। इससे और तथ्य यह है कि φ_β कठोरता से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: $\varphi _{\alpha }(\beta )<\varphi _{\gamma }(\delta )$ यदि और केवल यदि या तो ($\alpha =\gamma$ और $\beta <\delta$) या ($\alpha <\gamma$ और $\beta <\varphi _{\gamma }(\delta )$) या ($\alpha >\gamma$ और $\varphi _{\alpha }(\beta )<\delta$) होता है।

वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

कोफिनलिटी ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के निकट α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के मध्य स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात रूचि के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम क्रमसूचक्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के अनुसार n की छवि α[n] द्वारा प्रदर्शित की जाएगी।

वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $\alpha =\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\varphi _{\beta _{2}}(\gamma _{2})+\cdots +\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})$, जहाँ k>0 प्राकृत संख्या है और पूर्व के पश्चात का प्रत्येक पद पूर्व पद से अल्प या समान है, $\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\geq \varphi _{\beta _{m+1}}(\gamma _{m+1})\,,$ और प्रत्येक $\gamma _{m}<\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\,$है। यदि अंतिम पद के लिए मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम $\alpha [n]=\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\cdots +\varphi _{\beta _{k-1}}(\gamma _{k-1})+(\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})[n])\,$से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है $\gamma <\varphi _{\beta }(\gamma )\,,$ तो मान लीजिये $\varphi _{\beta }(\gamma )[n]=\varphi _{\beta }(\gamma [n])\,$होता है।

ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है $\varphi _{0}(0)$ = ω⁰ = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।

$\varphi _{0}(\gamma +1)=\omega ^{\gamma +1}=\omega ^{\gamma }\cdot \omega \,,$ के लिए, हम $\varphi _{0}(\gamma +1)[n]=\varphi _{0}(\gamma )\cdot n=\omega ^{\gamma }\cdot n\,$