स्प्रे (गणित)

अवकल ज्यामिति में, स्प्रे स्पर्शरेखा बंडल TM पर सदिश क्षेत्र H होता है, जो बेस मैनिफोल्ड M पर सामान्य अवकल समीकरण की द्विरेखीय द्वितीय कोटि प्रणाली को एनकोड करता है। सामान्यतः स्प्रे को सजातीय होने की आवश्यकता होती है क्योंकि इसके अभिन्न वक्र t→Φ_H^t(ξ)∈TM सकारात्मक पुनर्मूल्यांकन में नियम Φ_H^t(λξ)=Φ_H^λt(ξ) का पालन करते है। यदि यह आवश्यकता समाप्त हो जाती है, तो H को सेमीस्प्रे कहा जाता है।

रिमेंनियन और फिन्सलर ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से जियोडेसिक स्प्रे उत्पन्न होते हैं, जिनके अभिन्न वक्र स्थानीय लंबाई को कम करने वाले स्पर्शरेखा वक्र होते हैं।

सेमिस्प्रे स्वाभाविक रूप से लैग्रैंगियन यांत्रिकी में क्रिया के चरम वक्र के रूप में उत्पन्न होते हैं। इन सभी उदाहरणों को सामान्यीकृत करते हुए, M पर कोई भी (संभवतः अरेखीय) कनेक्शन सेमीस्प्रे H को प्रेरित करता है, और इसके विपरीत, सेमीस्प्रे H, M पर टॉरशन-फ्री अरेखीय कनेक्शन उत्पन्न करता है। यदि मूल कनेक्शन टॉरशन-फ्री है, तो यह H द्वारा प्रेरित कनेक्शन के समान है और सजातीय टॉरशन-फ्री कनेक्शन स्प्रे के अनुरूप हैं।

औपचारिक परिभाषाएँ

मान लीजिए, M अवकलनीय मैनिफोल्ड है और (TM,π_TM,M) टेंगेंट बंडल है। TM पर सदिश क्षेत्र H (अर्थात, डबल टेंगेंट बंडल TTM का खंड) M पर 'सेमिस्प्रे' है, यदि निम्नलिखित तीन समकक्ष स्थितियों में से कोई भी हो-

• (π_TM)_*H_ξ = ξ
• JH=V, जहाँ J TM पर टेंगेंट संरचना है और TM\0 पर विहित सदिश क्षेत्र है।
• j∘H=H, जहाँ j:TTM→TTM कैनोनिकल फ्लिप है और H को मैपिंग TM→TTM के रूप में देखा जाता है।

M पर सेमीस्प्रे H '(पूर्ण) स्प्रे' है, यदि निम्न में से कोई भी समतुल्य स्थिति प्रस्तावित होती है-

• H_λξ = λ_*(λH_ξ), जहाँ λ_*:TTM→TTM सकारात्मक स्केलर λ>0 द्वारा गुणन λ:TM→TM का पुश-फॉरवर्ड है।
• विहित सदिश क्षेत्र V के साथ H का लाई-व्युत्पन्न [V,H]=H को संतुष्ट करता है।
• H के अभिन्न वक्र t→Φ_H^t(ξ)∈TM\0 किसी भी λ>0 के लिए Φ_H^t(λξ)=λΦ_H^λt(ξ) को संतुष्ट करता है।

मान लीजिए $(x^{i},\xi ^{i})$, $TM$ पर स्थानीय निर्देशांक है, जो प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर समन्वय के आधार का उपयोग करके $M$ पर स्थानीय निर्देशांक $(x^{i}$) से जुड़ा हुआ है। तब $H$, $M$ पर सेमीस्प्र है यदि इसमें TM पर प्रत्येक संबद्ध समन्वय प्रणाली पर फॉर्म-

$H_{\xi }=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}-2G^{i}(x,\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}.$

का स्थानीय प्रतिनिधित्व है। सेमीस्प्रे H (पूर्ण) स्प्रे है, यदि 'स्प्रे गुणांक' Gⁱ निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं-

$G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),\quad \lambda >0.\,$

लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में सेमीस्प्रे

लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में भौतिक प्रणाली को कुछ विन्यास स्थान $M$ के स्पर्शरेखा बंडल पर लैग्रैजियन फ़ंक्शन L:TM→R द्वारा प्रस्तुत किया गया है। गतिशील नियम हैमिल्टनियन सिद्धांत से प्राप्त किया जाता है, जो बताता है कि सिस्टम की स्थिति का समय विकास γ:[a,b]→M समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है

${\mathcal {S}}(\gamma ):=\int _{a}^{b}L(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))dt$.

TM पर संबंधित निर्देशांक में समाकलज क्रिया की प्रथम भिन्नता को इस रूप में अध्यन्न किया जाता है-

${\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}{\frac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}X^{i}-\int _{a}^{b}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{j}\partial \xi ^{i}}}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{j}\partial \xi ^{i}}}{\dot {\gamma }}^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}X^{i}dt,$

जहाँ X:[a,b]→R, γ_s:[a,b]→M के निकट γ(t) = γ₀(t) से सम्बंधित वेरिएशन सदिश क्षेत्र है| निम्नलिखित अवधारणाओं को प्रस्तुत करके प्रथम भिन्नता सूत्र को शैक्षिक रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है:

• कोवेक्टर $\alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{x}\in T_{x}^{*}M$, $\alpha _{i}(x,\xi )={\tfrac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}(x,\xi )$ के साथ संयुग्मी संवेग $\xi \in T_{x}M$ है|
• ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$