केवियन

ज्यामिति में, केवियन रेखा खंड होता है, जो त्रिभुज के शीर्ष (ज्यामिति) को त्रिभुज के विपरीत दिशा में बिंदु से जोड़ता है। मेडियन (ज्यामिति) एवं कोण द्विभाजक केवियन के विशेष विषय हैं। केवियन नाम इतालवी गणितज्ञ गियोवन्नी सेवा से आया है, जिन्होंने केवियन के विषय में प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध किया। जिसमें उनका नाम भी है।

लंबाई

File:Stewarts theorem.svg

लंबाई के एक केवियन के साथ एक त्रिकोण d

स्टीवर्ट की प्रमेय

एक केवियन की लंबाई स्टीवर्ट के प्रमेय द्वारा निर्धारित की जा सकती है: आरेख में, केवियन की लंबाई d सूत्र द्वारा दिया गया है

$\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$

कम आम तौर पर, यह निम्नलिखित स्मरक द्वारा भी दर्शाया गया है (कुछ पुनर्व्यवस्था के साथ):

${\underset {{\text{A }}man{\text{ and his }}dad}{man\ +\ dad}}=\!\!\!\!\!\!{\underset {{\text{put a }}bomb{\text{ in the }}sink.}{bmb\ +\ cnc}}$

मध्य

यदि सीवियन एक माध्यिका (त्रिकोण) होता है (इस प्रकार एक बहुभुज की भुजाओं का द्विभाजन#द्विभाजक), तो इसकी लंबाई सूत्र से निर्धारित की जा सकती है

$\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})$

या

$\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}$

तब से

$\,a=2m.$

इसलिए इस मामले में

$d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.$

कोण द्विभाजक

यदि सीवियन एक समद्विभाजक #कोण ​​द्विभाजक होता है, तो इसकी लंबाई सूत्रों का पालन करती है

$\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),$

एवं

$d^{2}+mn=bc$

एवं

$d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}$

जहां अर्द्धपरिधि $s={\tfrac {a+b+c}{2}}.$ लम्बाई का किनारा a के अनुपात में बांटा गया है b : c.

ऊँचाई

यदि केवियन एक ऊंचाई (त्रिकोण) होता है एवं इस प्रकार एक तरफ लंबवत होता है, तो इसकी लंबाई सूत्रों का पालन करती है

$\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}$

एवं

$d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},$

जहां अर्द्धपरिधि $s={\tfrac {a+b+c}{2}}.$

अनुपात गुण

File:Ceva's theorem 1.svg

एक सामान्य बिंदु से गुजरने वाले तीन सीवियन

एक ही मनमाना आंतरिक बिंदु से गुजरने वाले तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं: दाईं ओर आरेख का जिक्र करते हुए,

$\begin{array}{rl}& \frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AF}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{FB}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{CE}}{\stackrel{}{E}}\end{array}$