मेष उत्पादन

File:Example finite element mesh, for illustrating the concept.png

घुमावदार डोमेन के चतुर्भुजों का परिमित तत्व जाल।

मेश जनरेशन एक मेश बनाने की प्रथा है, जो असतत जियोमेट्रिक और टोपोलॉजिकल सेल्स में एक निरंतर ज्यामितीय स्थान का एक उपखंड है। प्रायः ये कोशिकाएँ एक सरल जटिल बनाती हैं। प्रायः कोशिकाएं ज्यामितीय इनपुट डोमेन को विभाजित करती हैं। मेष कोशिकाओं का उपयोग बड़े डोमेन के असतत स्थानीय सन्निकटन के रूप में किया जाता है। मेश कंप्यूटर एल्गोरिदम द्वारा बनाए जाते हैं, प्रायः जीयूआई के माध्यम से मानव मार्गदर्शन के साथ, डोमेन की जटिलता और वांछित मेश के प्रकार पर निर्भर करता है। एक विशिष्ट लक्ष्य एक मेष बनाना है जो इनपुट डोमेन ज्यामिति को उच्च-गुणवत्ता (अच्छी तरह से आकार) कोशिकाओं के साथ और इतने सारे कोशिकाओं के बिना सटीक रूप से कैप्चर करता है ताकि बाद की गणनाओं को अट्रैक्टिव बनाया जा सके। बाद की गणना के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्रों में मेष भी ठीक (छोटे तत्व हैं) होना चाहिए।

मेश का उपयोग कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रतिपादन के लिए और भौतिक सिमुलेशन जैसे परिमित तत्व विश्लेषण या कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी के लिए किया जाता है। मेष सरल कोशिकाओं से बने होते हैं जैसे त्रिकोण, क्योंकि, उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि त्रिकोण पर परिमित तत्व गणना (इंजीनियरिंग) या किरण अनुरेखण (कंप्यूटर ग्राफिक्स) जैसे संचालन कैसे करें, लेकिन हम नहीं जानते कि इन कार्यों को सीधे जटिल स्थानों पर कैसे किया जाए और सड़क पुल जैसी आकृतियाँ। हम प्रत्येक त्रिकोण पर गणना करके और त्रिकोणों के बीच की बातचीत की गणना करके पुल की ताकत का अनुकरण कर सकते हैं, या इसे कंप्यूटर स्क्रीन पर खींच सकते हैं।

एक बड़ा अंतर संरचित और असंरचित मेशिंग के बीच है। संरचित मेशिंग में जाल एक नियमित मेश है, जैसे कि एक सरणी, तत्वों के बीच निहित कनेक्टिविटी के साथ। असंरचित मेशिंग में, तत्व अनियमित पैटर्न में एक दूसरे से जुड़े हो सकते हैं, और अधिक जटिल डोमेन कैप्चर किए जा सकते हैं। यह पृष्ठ मुख्य रूप से असंरचित जालों के बारे में है। जबकि मेश एक त्रिकोणासन हो सकता है, मेश लगाने की प्रक्रिया को बिंदु सेट त्रिकोणासन से अलग किया जाता है जिसमें जाल में इनपुट में मौजूद वर्टिकल जोड़ने की स्वतंत्रता सम्मिलित होती है। प्रारूपण के लिए "फ़ैसेटिंग" (त्रिकोणीय) सीएडी मॉडल में शीर्षों को जोड़ने की समान स्वतंत्रता है, लेकिन लक्ष्य जितना संभव हो उतना कम त्रिकोणों का उपयोग करके आकार का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करना है और अलग-अलग त्रिकोणों का आकार महत्वपूर्ण नहीं है। बनावट और यथार्थवादी प्रकाश व्यवस्था के कंप्यूटर ग्राफिक्स रेंडरिंग इसके बजाय मेश का उपयोग करते हैं।

कई मेश जनरेशन सॉफ़्टवेयर को एक सीएडी सिस्टम से जोड़ा जाता है जो इसके इनपुट को परिभाषित करता है, और इसके आउटपुट को लेने के लिए सिमुलेशन सॉफ़्टवेयर। इनपुट बहुत भिन्न हो सकता है लेकिन सामान्य रूप सॉलिड मॉडलिंग, जियोमेट्रिक मॉडलिंग, एनयूआरबीएस, बी-रेप, एसटीएल या पॉइंट क्लाउड हैं।

शब्दावली

शब्द "मेश जनरेशन," "ग्रिड जनरेशन," "मेशिंग," और "ग्रिडिंग,", प्रायः एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं, हालांकि बाद के दो व्यापक रूप से बोलते हैं और मेष सुधार को सम्मिलित करते हैं: गति बढ़ाने के लक्ष्य के साथ मेश को बदलना या संख्यात्मक गणनाओं की सटीकता जो उस पर की जाएगी। कंप्यूटर ग्राफिक्स रेंडरिंग और गणित में, एक मेश को कभी-कभी टेसलेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है।

मेष चेहरों (कोशिकाओं, संस्थाओं) के उनके आयाम और उस संदर्भ के आधार पर अलग-अलग नाम होते हैं जिसमें जाल का उपयोग किया जाएगा। परिमित तत्वों में, उच्चतम-आयामी जाल संस्थाओं को "तत्व" कहा जाता है, "किनारों" को 1D और "नोड्स" को 0D कहा जाता है। यदि तत्व 3D हैं, तो 2D निकाय "चेहरे" हैं। कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, 0D बिंदुओं को शिखर कहा जाता है। टेट्राहेड्रा को अक्सर "टेट्स" के रूप में संक्षिप्त किया जाता है; त्रिकोण "ट्रिस" हैं, चतुर्भुज "क्वाड" हैं और हेक्साहेड्रा (टोपोलॉजिकल क्यूब्स) "हेक्स" हैं।

तकनीक

[[index.php?title=File:Catmull-Clark_subdivision_of_4_planes.png|thumb|301x301px|कैटमुल-क्लार्क एक सतह का उपखंड]]

File:Approx-3tori.svg

एक अन्तर्निहित सतह का भूतल त्रिकोणासन

डेलाउने त्रिभुज के सिद्धांतों पर कई मेशिंग तकनीकों का निर्माण किया गया है, साथ में वर्टिकल जोड़ने के नियम, जैसे रूपर्ट के एल्गोरिथ्म।

एक विशिष्ट विशेषता यह है कि पूरे स्थान का एक प्रारंभिक मोटा जाल बनता है, फिर कोने और त्रिकोण जोड़े जाते हैं। इसके विपरीत, आगे बढ़ने वाले एल्गोरिदम डोमेन सीमा से शुरू होते हैं, और तत्वों को आंतरिक रूप से भरते हुए जोड़ते हैं। हाइब्रिड तकनीक दोनों करते हैं। अग्रिम तकनीकों का एक विशेष वर्ग द्रव प्रवाह के लिए तत्वों की पतली सीमा परत बनाता है। स्ट्रक्चर्ड मेश जनरेशन में पूरा मेश एक जाली ग्राफ होता है, जैसे कि वर्गों का एक नियमित ग्रिड। ब्लॉक-स्ट्रक्चर्ड मेशिंग में, डोमेन को बड़े उप-क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक एक स्ट्रक्चर्ड मेश है। कुछ प्रत्यक्ष विधियाँ एक ब्लॉक-संरचित जाल से शुरू होती हैं और फिर जाल को इनपुट के अनुरूप ले जाती हैं; polycube पर आधारित ऑटोमैटिक हेक्स-मेश जेनरेशन देखें। डोमेन सीमा द्वारा संरचित कोशिकाओं को काटने के लिए एक और सीधा तरीका है; मार्चिंग क्यूब्स पर आधारित मूर्तिकला देखें।

कुछ प्रकार के मेश दूसरों की तुलना में बनाना अधिक कठिन होते हैं। सिंपलियल मेश क्यूबिकल मेश की तुलना में आसान होते हैं। एक महत्वपूर्ण श्रेणी एक निश्चित चतुर्भुज सतह जाल के अनुरूप एक हेक्स जाल उत्पन्न कर रही है; एक अनुसंधान उपक्षेत्र विशिष्ट छोटे विन्यासों के जालों के अस्तित्व और पीढ़ी का अध्ययन कर रहा है, जैसे कि चतुष्कोणीय समलम्बाकार। इस समस्या की कठिनाई के कारण, अच्छे ज्यामितीय अहसास पैदा करने की समस्या के अलावा संयोजी हेक्स मेश के अस्तित्व का अध्ययन किया गया है। जबकि ज्ञात एल्गोरिदम न्यूनतम गुणवत्ता की गारंटी के साथ सरल जाल उत्पन्न करते हैं, ऐसी गारंटी क्यूबिकल जाल के लिए दुर्लभ होती है, और कई लोकप्रिय कार्यान्वयन कुछ इनपुट से उलटा (अंदरूनी) हेक्स उत्पन्न करते हैं।

वर्कस्टेशन पर मेश अक्सर सीरियल में बनाए जाते हैं, तब भी जब मेश पर बाद की गणना सुपर-कंप्यूटर पर समानांतर कंप्यूटिंग में की जाएगी। यह दोनों इस सीमा के कारण है कि अधिकांश मेश जेनरेटर इंटरएक्टिव हैं, और क्योंकि सॉल्वर टाइम की तुलना में मेश जनरेशन रनटाइम आमतौर पर नगण्य है। हालाँकि, यदि किसी एकल सीरियल मशीन की मेमोरी में फिट होने के लिए मेश बहुत बड़ा है, या सिमुलेशन के दौरान मेश को बदलना (अनुकूलित) होना चाहिए, तो मेशिंग समानांतर में की जाती है।

बीजगणितीय तरीके

File:Algebraic methods 1.png

नोजल ज्यामिति

File:Algebraic methods 2.png

भौतिक स्थान में कम्प्यूटेशनल जाल

बीजगणितीय विधियों द्वारा ग्रिड निर्माण गणितीय प्रक्षेप समारोह पर आधारित है। यह मनमाने आकार के क्षेत्रों को लेकर एक, दो या तीन आयामों में ज्ञात कार्यों का उपयोग करके किया जाता है। कम्प्यूटेशनल डोमेन आयताकार नहीं हो सकता है, लेकिन सादगी के लिए, डोमेन को आयताकार माना जाता है। विधियों का मुख्य लाभ यह है कि वे भौतिक ग्रिड आकार और रिक्ति का स्पष्ट नियंत्रण प्रदान करते हैं। सरलतम प्रक्रिया जिसका उपयोग सीमा सज्जित कम्प्यूटेशनल जाल का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है, सामान्यीकरण परिवर्तन है।

वर्णन समारोह के साथ एक नोजल के लिए $y=x^{2}$ वाई-दिशा में एकसमान विभाजन का उपयोग करके ग्रिड को आसानी से एक्स-दिशा में समान रूप से अंतर वृद्धि के साथ उत्पन्न किया जा सकता है, जिसे इसके द्वारा वर्णित किया गया है

$\xi =x\,$

$\eta ={\frac {y}{y_{\max }}}\,$

कहाँ $y_{\max }$ नोज़ल दीवार के y-निर्देशांक को दर्शाता है। के दिए गए मानों के लिए ($\xi$, $\eta$), के मान ($x$, $y$) आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

विभेदक समीकरण विधियाँ

बीजगणितीय विधियों की तरह, ग्रिड उत्पन्न करने के लिए अवकल समीकरण विधियों का भी उपयोग किया जाता है। [[आंशिक अंतर समीकरण]]ों (पीडीई) का उपयोग करने का लाभ यह है कि जाल उत्पन्न करने के लिए ग्रिड जनरेटिंग समीकरणों का समाधान किया जा सकता है। आंशिक अंतर समीकरणों के सभी तीन वर्गों का उपयोग करके ग्रिड निर्माण किया जा सकता है।

अण्डाकार योजनाएं

अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरण में आम तौर पर बहुत चिकनी समाधान होते हैं जिससे चिकनी रूपरेखा होती है। एक लाभ के रूप में इसकी चिकनाई का उपयोग लाप्लास के समीकरणों को अधिमानतः उपयोग किया जा सकता है क्योंकि हार्मोनिक कार्यों के लिए अधिकतम सिद्धांत के परिणामस्वरूप जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक सकारात्मक पाए गए। क्रॉली (1962) और विंसलो (1966) द्वारा किए गए व्यापक कार्य के बाद पोइसन के समीकरण का उपयोग करते हुए भौतिक डोमेन को कम्प्यूटेशनल विमान में बदलकर पीडीई पर। पॉइसन का समीकरण, थॉम्पसन एट अल। (1974) ग्रिड उत्पन्न करने के लिए अंडाकार आंशिक अंतर समीकरण पर बड़े पैमाने पर काम किया है। पोइसन ग्रिड जनरेटर में, वांछित ग्रिड बिंदुओं को चिह्नित करके मानचित्रण पूरा किया जाता है $(x,y)$ भौतिक डोमेन की सीमा पर, नीचे लिखे समीकरणों के समाधान के माध्यम से निर्धारित आंतरिक बिंदु वितरण के साथ

$\xi _{xx}+\xi _{yy}=P(\xi ,\eta )$

$\eta _{xx}+\eta _{yy}=Q(\xi ,\eta )$

कहाँ, $(\xi ,\eta )$ कम्प्यूटेशनल डोमेन में निर्देशांक हैं, जबकि पी और क्यू डी के भीतर बिंदु रिक्ति के लिए जिम्मेदार हैं। कम्प्यूटेशनल स्पेस में उपरोक्त समीकरणों को बदलने से फॉर्म के दो अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण का एक सेट प्राप्त होता है,

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{x}_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}-<!--\; -\; -->2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$