सजातीय स्थान

File:Torus.png

एक टोरस्र्स । मानक टोरस अपने भिन्नता और होमियोमोर्फिज्म समूहों के तहत सजातीय है, और सपाट टोरस अपने भिन्नता, होमोमोर्फिज्म और आइसोमेट्री समूहों के तहत सजातीय है।

गणित में, विशेष रूप से झूठ समूहों, बीजगणितीय समूहों और टोपोलॉजिकल समूहों के सिद्धांतों में, एक समूह (गणित) जी के लिए एक सजातीय स्थान एक खाली सेट है। गैर-खाली कई गुना या सामयिक स्थान एक्स जिस पर जी समूह क्रिया (गणित) समूह क्रिया (गणित) क्रियाओं के प्रकार। जी के तत्वों को एक्स की सममिति कहा जाता है। इसका एक विशेष मामला तब होता है जब विचाराधीन समूह जी अंतरिक्ष एक्स का ऑटोमोर्फिज्म समूह होता है - यहां ऑटोमोर्फिज्म समूह का मतलब आइसोमेट्री समूह, डिफियोमोर्फिज्म समूह, या होमोमोर्फिज्म समूह हो सकता है। इस मामले में, एक्स सजातीय है यदि सहज रूप से एक्स प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय रूप से समान दिखता है, या तो आइसोमेट्री (कठोर ज्यामिति), डिफोमोर्फिज्म समूहडिफरेंशियल ज्योमेट्री), या होमोमोर्फिज्म (टोपोलॉजी) के अर्थ में। कुछ लेखक जोर देकर कहते हैं कि जी की कार्रवाई प्रभावी समूह कार्रवाई (गैर-पहचान तत्व गैर-तुच्छ रूप से कार्य करती है), हालांकि वर्तमान लेख ऐसा नहीं करता है। इस प्रकार एक्स पर G की एक समूह क्रिया (गणित) है जिसे एक्स पर कुछ ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करने और एक्स को एक एकल कक्षा में बनाने के बारे में सोचा जा सकता है ( समूह सिद्धांत)|जी-ऑर्बिट.

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि एक्स एक अरिक्त समुच्चय है और G एक समूह है। तब एक्स को G-स्पेस कहा जाता है यदि यह एक्स पर G की क्रिया से सुसज्जित है। ध्यान दें कि स्वचालित रूप से G सेट पर automorphism (बीजेक्शन) द्वारा कार्य करता है। यदि एक्स अतिरिक्त रूप से किसी श्रेणी (गणित) से संबंधित है, तो G के तत्वों को उसी श्रेणी में ऑटोमोर्फिज़्म के रूप में कार्य करने के लिए माना जाता है। यही है, जी के तत्वों से आने वाले एक्स पर मानचित्र श्रेणी से जुड़े ढांचे को संरक्षित करते हैं (उदाहरण के लिए, यदि एक्स डिफ में एक वस्तु है तो कार्रवाई को अलग-अलग होने की आवश्यकता होती है)। एक सजातीय स्थान एक जी-स्पेस है जिस पर जी सकर्मक रूप से कार्य करता है।

संक्षेप में, यदि एक्स श्रेणी 'सी' का एक वस्तु है, तो जी-स्पेस की संरचना एक समरूपता है:

$\rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X)$

श्रेणी 'सी' में ऑब्जेक्ट एक्स के ऑटोमोर्फिज्म के समूह में। जोड़ी (एक्स, ρ) एक सजातीय स्थान को परिभाषित करती है बशर्ते ρ(जी) एक्स के अंतर्निहित सेट के समरूपता का एक संक्रामक समूह है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, यदि एक्स एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो समूह के तत्वों को एक्स पर होमोमोर्फिज़्म के रूप में कार्य करने के लिए माना जाता है। G-स्पेस की संरचना एक समूह होमोमोर्फिज़्म ρ : G → होमियो(X) एक्स के होमियोमॉर्फिज़्म समूह में है।

इसी तरह, यदि एक्स एक अलग-अलग कई गुना है, तो समूह तत्व अलग-अलग हैं। जी-स्पेस की संरचना एक समूह समरूपता ρ : G → Diffeo(X) है जो एक्स के डिफियोमोर्फिज़्म समूह में है।

रिमेंनियन सममित स्थान सजातीय स्थानों का एक महत्वपूर्ण वर्ग है, और इसमें नीचे सूचीबद्ध कई उदाहरण शामिल हैं।

ठोस उदाहरणों में शामिल हैं:

examples of homogeneous spaces

space $X$	group $G$	stabilizer $H$
spherical space $\mathbb {S} ^{n-1}$	$\mathrm {O} (n)$	$\mathrm {O} (n-1)$
oriented $\mathbb {S} ^{n-1}$	$\mathrm {SO} (n)$	$\mathrm {SO} (n-1)$
projective space $\mathbb {PR} ^{n-1}$	$\mathrm {PO} (n)$	$\mathrm {PO} (n-1)$
Euclidean space $\mathbb {E} ^{n}$	$\mathrm {E} (n)$	$\mathrm {O} (n)$
oriented $\mathbb {E} ^{n}$	$\mathrm {E} ^{+}(n)$	$\mathrm {SO} (n)$
hyperbolic space $\mathbb {H} ^{n}$	$\mathrm {O} ^{+}(1,n)$	$\mathrm {O} (n)$
oriented $\mathbb {H} ^{n}$	$\mathrm {SO} ^{+}(1,n)$	$\mathrm {SO} (n)$
anti-de Sitter space $\mathrm {AdS} _{n+1}$	$\mathrm {O} (2,n)$	$\mathrm {O} (1,n)$
Grassmannian $\mathrm {Gr} (r,n)$	$\mathrm {O} (n)$	$\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r)$
affine space $\mathbb {A} (n,K)$	$\mathrm {Aff} (n,K)$	$\mathrm {GL} (n,K)$

आइसोमेट्री समूह

• सकारात्मक वक्रता:

1. क्षेत्र (ऑर्थोगोनल समूह): $S^{}$