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[[File:multiplication_table_to_scale.svg|thumb|गुणन सारणी 1 से 10 तक के पैमाने पर खींची गई है जिसमें ऊपरी-दाहिने आधे हिस्से को प्रधान गुणनखंडों के साथ लेबल किया गया है। लिंक ={{filepath:multiplication_table_to_scale.svg}}]]गणित में, एक गुणन तालिका (कभी-कभी, कम औपचारिक रूप से, एक समय तालिका) एक [[गणितीय तालिका]] होती है जिसका उपयोग बीजगणितीय प्रणाली के लिए | [[File:multiplication_table_to_scale.svg|thumb|गुणन सारणी 1 से 10 तक के पैमाने पर खींची गई है जिसमें ऊपरी-दाहिने आधे हिस्से को प्रधान गुणनखंडों के साथ लेबल किया गया है। लिंक ={{filepath:multiplication_table_to_scale.svg}}]]गणित में, एक गुणन तालिका (कभी-कभी, कम औपचारिक रूप से, एक समय तालिका) एक [[गणितीय तालिका]] होती है जिसका उपयोग बीजगणितीय प्रणाली के लिए गुणन संक्रिया को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। | ||
[[दशमलव]] गुणन सारणी को पारंपरिक रूप से दुनिया भर में प्रारंभिक अंकगणित के एक अनिवार्य भाग के रूप में पढ़ाया जाता था, क्योंकि यह आधार-दस संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं की नींव रखता है। कई शिक्षकों का मानना है कि 9 × 9 तक की तालिका को याद करना आवश्यक होता है।<ref>{{citation|journal=For the Learning of Mathematics|volume=1|issue=1|year=1980|title=The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!|first=John|last=Trivett|pages=21–25|jstor= 40247697}}.</ref> | |||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
=== पूर्व-आधुनिक समय में === | === पूर्व-आधुनिक समय में === | ||
[[File:Qinghuajian, Suan Biao.jpg|thumb|right|180px|[[सिंघुआ बांस पर्ची]], चीनी [[युद्धरत राज्य]] 305 ईसा पूर्व की दशमलव गुणा तालिका]]लगभग 4000 साल पहले [[बेबीलोनियन गणित]] द्वारा सबसे पुरानी ज्ञात गुणन सारणी का उपयोग किया गया था।<ref name=Qiu/>हालांकि, उन्होंने 60 के आधार का इस्तेमाल किया।<ref name=Qiu>{{cite journal | first = Jane | last = Qiu | author-link = Jane Qiu | title = Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips | journal = Nature News | date = January 7, 2014 | doi = 10.1038/nature.2014.14482 | s2cid = 130132289 | url = http://www.nature.com/news/ancient-times-table-hidden-in-chinese-bamboo-strips-1.14482| doi-access = free }}</ref> 10 के आधार का उपयोग करने वाली सबसे पुरानी ज्ञात | [[File:Qinghuajian, Suan Biao.jpg|thumb|right|180px|[[सिंघुआ बांस पर्ची]], चीनी [[युद्धरत राज्य]] 305 ईसा पूर्व की दशमलव गुणा तालिका]]लगभग 4000 साल पहले [[बेबीलोनियन गणित|बेबीलोनियों]] द्वारा सबसे पुरानी ज्ञात गुणन सारणी का उपयोग किया गया था।<ref name=Qiu/> हालांकि, उन्होंने 60 के आधार का इस्तेमाल किया।<ref name=Qiu>{{cite journal | first = Jane | last = Qiu | author-link = Jane Qiu | title = Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips | journal = Nature News | date = January 7, 2014 | doi = 10.1038/nature.2014.14482 | s2cid = 130132289 | url = http://www.nature.com/news/ancient-times-table-hidden-in-chinese-bamboo-strips-1.14482| doi-access = free }}</ref> 10 के आधार का उपयोग करने वाली सबसे पुरानी ज्ञात सारणी चीन के युद्धरत राज्यों की अवधि के दौरान लगभग 305 ईसा पूर्व की बांस की पट्टियों पर चीनी दशमलव गुणा तालिका है।<ref name=Qiu/> | ||
[[File:PSM V26 D467 Table of pythagoras on slats.jpg|thumb|right|180px|नेपियर की हड्डियों पर पाइथागोरस की तालिका<ref>[[Wikisource:Page:Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467]]</ref> ]]गुणा तालिका को कभी-कभी प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ [[पाइथागोरस]] (570-495 ईसा पूर्व) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। इसे कई भाषाओं में पाइथागोरस की तालिका भी कहा जाता है (उदाहरण के लिए फ्रेंच, इतालवी और रूसी), कभी-कभी अंग्रेजी में।<ref>for example in [https://archive.org/details/bub_gb_TBBKAAAAMAAJ/page/n10 <!-- pg=17 quote="table of pythagoras" -Montessori. --> ''An Elementary Treatise on Arithmetic''] by [[John Farrar (scientist)|John Farrar]]</ref> [[ग्रीको रोमन]] गणितज्ञ [[निकोमेकस]] (60-120 ईस्वी), नियोपाइथागोरियनवाद के अनुयायी, ने अपने अंकगणित के परिचय में एक गुणन तालिका शामिल की, जबकि सबसे पुरानी जीवित [[ग्रीक गणित|ग्रीक]] गुणन तालिका पहली शताब्दी ईस्वी की एक मोम की गोली पर है और वर्तमान में इसमें रखी गई है। ब्रिटिश संग्रहालय।<ref>David E. Smith (1958), ''History of Mathematics, Volume I: General Survey of the History of Elementary Mathematics''. New York: Dover Publications (a reprint of the 1951 publication), {{isbn|0-486-20429-4}}, pp. 58, 129.</ref> | |||
493 ईस्वी में, एक्विटाइन के विक्टोरियस ने एक 98-स्तंभ गुणन तालिका लिखी, जिसने (रोमन अंकों में) 2 से 50 गुणा तक प्रत्येक संख्या का उत्पाद दिया और पंक्तियां एक हजार से शुरू होने वाली संख्याओं की एक सूची थी, जो सैकड़ों से एक तक उतरती थी। सौ, फिर दस से दस तक घटते हुए, फिर एक से एक तक, और फिर भिन्न से 1/144 तक घटाते हैं।<ref>David W. Maher and John F. Makowski. "Literary evidence for Roman arithmetic with fractions". ''Classical Philology'', 96/4 (October 2001), p. 383.</ref> | |||
=== आधुनिक समय में === | === आधुनिक समय में === | ||
गणितज्ञ [[जॉन लेस्ली (भौतिक विज्ञानी)|जॉन लेस्ली]] ने अपनी 1820 की पुस्तक द फिलॉसफी ऑफ अरिथमेटिक में,<ref>{{cite book |last=Leslie |first=John |year=1820 |title=The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand |publisher=Abernethy & Walker |location=Edinburgh}}</ref> 99 × 99 तक एक गुणा तालिका प्रकाशित की, जो एक समय में अंकों के जोड़े में संख्याओं को गुणा करने की अनुमति देती है। लेस्ली ने यह भी सिफारिश की कि युवा विद्यार्थियों को 50 × 50 तक की गुणन सारणी याद रखनी चाहिए। | |||
नीचे दिया गया उदाहरण 12 × 12 तक की तालिका दिखाता है, जो आजकल अंग्रेजी-दुनिया के स्कूलों में आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला आकार है। | नीचे दिया गया उदाहरण 12 × 12 तक की तालिका दिखाता है, जो आजकल अंग्रेजी-दुनिया के स्कूलों में आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला आकार है। | ||
Revision as of 01:55, 17 February 2023
गणित में, एक गुणन तालिका (कभी-कभी, कम औपचारिक रूप से, एक समय तालिका) एक गणितीय तालिका होती है जिसका उपयोग बीजगणितीय प्रणाली के लिए गुणन संक्रिया को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
दशमलव गुणन सारणी को पारंपरिक रूप से दुनिया भर में प्रारंभिक अंकगणित के एक अनिवार्य भाग के रूप में पढ़ाया जाता था, क्योंकि यह आधार-दस संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं की नींव रखता है। कई शिक्षकों का मानना है कि 9 × 9 तक की तालिका को याद करना आवश्यक होता है।[1]
इतिहास
पूर्व-आधुनिक समय में
लगभग 4000 साल पहले बेबीलोनियों द्वारा सबसे पुरानी ज्ञात गुणन सारणी का उपयोग किया गया था।[2] हालांकि, उन्होंने 60 के आधार का इस्तेमाल किया।[2] 10 के आधार का उपयोग करने वाली सबसे पुरानी ज्ञात सारणी चीन के युद्धरत राज्यों की अवधि के दौरान लगभग 305 ईसा पूर्व की बांस की पट्टियों पर चीनी दशमलव गुणा तालिका है।[2]
गुणा तालिका को कभी-कभी प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ पाइथागोरस (570-495 ईसा पूर्व) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। इसे कई भाषाओं में पाइथागोरस की तालिका भी कहा जाता है (उदाहरण के लिए फ्रेंच, इतालवी और रूसी), कभी-कभी अंग्रेजी में।[4] ग्रीको रोमन गणितज्ञ निकोमेकस (60-120 ईस्वी), नियोपाइथागोरियनवाद के अनुयायी, ने अपने अंकगणित के परिचय में एक गुणन तालिका शामिल की, जबकि सबसे पुरानी जीवित ग्रीक गुणन तालिका पहली शताब्दी ईस्वी की एक मोम की गोली पर है और वर्तमान में इसमें रखी गई है। ब्रिटिश संग्रहालय।[5]
493 ईस्वी में, एक्विटाइन के विक्टोरियस ने एक 98-स्तंभ गुणन तालिका लिखी, जिसने (रोमन अंकों में) 2 से 50 गुणा तक प्रत्येक संख्या का उत्पाद दिया और पंक्तियां एक हजार से शुरू होने वाली संख्याओं की एक सूची थी, जो सैकड़ों से एक तक उतरती थी। सौ, फिर दस से दस तक घटते हुए, फिर एक से एक तक, और फिर भिन्न से 1/144 तक घटाते हैं।[6]
आधुनिक समय में
गणितज्ञ जॉन लेस्ली ने अपनी 1820 की पुस्तक द फिलॉसफी ऑफ अरिथमेटिक में,[7] 99 × 99 तक एक गुणा तालिका प्रकाशित की, जो एक समय में अंकों के जोड़े में संख्याओं को गुणा करने की अनुमति देती है। लेस्ली ने यह भी सिफारिश की कि युवा विद्यार्थियों को 50 × 50 तक की गुणन सारणी याद रखनी चाहिए।
नीचे दिया गया उदाहरण 12 × 12 तक की तालिका दिखाता है, जो आजकल अंग्रेजी-दुनिया के स्कूलों में आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला आकार है।
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| 6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| 7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| 9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
| 10 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| 11 | 0 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 |
| 12 | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 |
हालाँकि, चीन में, क्योंकि पूर्णांकों का गुणन क्रमविनिमेय है, कई स्कूल नीचे दी गई छोटी तालिका का उपयोग करते हैं। कुछ स्कूल पहले कॉलम को भी हटा देते हैं क्योंकि 1 गुणक पहचान है।
| 1 | 1 | ||||||||
| 2 | 2 | 4 | |||||||
| 3 | 3 | 6 | 9 | ||||||
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | |||||
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | ||||
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | |||
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | ||
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
गुणन की पारंपरिक रटने की सीख तालिका में स्तंभों को याद करने पर आधारित थी, जैसे
<कविता>
1 × 10 = 10 2 × 10 = 20 3 × 10 = 30 4 × 10 = 40 5 × 10 = 50 6 × 10 = 60 7 × 10 = 70 8 × 10 = 80 9 × 10 = 90
</कविता>
पूर्ण संख्या वाले वाक्यों वाले स्तंभों में गुणन तालिका लिखने का यह रूप अभी भी कुछ देशों में उपयोग किया जाता है, जैसे बोस्निया और हर्ज़ेगोविना,[citation needed] उपरोक्त आधुनिक ग्रिड के बजाय।
तालिकाओं में पैटर्न
गुणन सारणी में एक पैटर्न है जो लोगों को तालिका को अधिक आसानी से याद करने में मदद कर सकता है। यह नीचे दिए गए आंकड़ों का उपयोग करता है:
| → | → | |||||||||
| ↑ | 1 | 2 | 3 | ↓ | ↑ | 2 | 4 | ↓ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 5 | 6 | ||||||||
| 7 | 8 | 9 | 6 | 8 | ||||||
| ← | ← | |||||||||
| 0 | 5 | 0 | ||||||||
| Figure 1: Odd | Figure 2: Even | |||||||||
चित्र 1 का उपयोग 1, 3, 7 और 9 के गुणकों के लिए किया गया है। चित्र 2 का उपयोग 2, 4, 6 और 8 के गुणकों के लिए किया गया है। इन पैटर्नों का उपयोग 0 से 10 तक किसी भी संख्या के गुणकों को याद करने के लिए किया जा सकता है। 5 को छोड़कर। जैसा कि आप उस संख्या पर शुरू करेंगे जिसे आप गुणा कर रहे हैं, जब आप 0 से गुणा करते हैं, तो आप 0 पर बने रहते हैं (0 बाहरी है और इसलिए तीरों का 0 पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, अन्यथा 0 का उपयोग एक सतत चक्र बनाने के लिए लिंक के रूप में किया जाता है ). पैटर्न 10 के गुणकों के साथ भी काम करता है, 1 से शुरू करके और केवल 0 जोड़कर, आपको 10 देता है, फिर पैटर्न में हर संख्या को दसियों इकाई पर लागू करें जैसा कि आप सामान्य रूप से इकाइयों की इकाई के लिए करते हैं।
उदाहरण के लिए, 7 के सभी गुणकों को वापस बुलाने के लिए:
- पहले चित्र में 7 को देखें और तीर का अनुसरण करें।
- तीर की दिशा में अगली संख्या 4 है। इसलिए 7 के बाद अगली संख्या के बारे में सोचें जो 4 पर समाप्त होती है, जो कि 14 है।
- तीर की दिशा में अगली संख्या 1 है। तो 14 के बाद अगली संख्या के बारे में सोचें जो 1 के साथ समाप्त होती है, जो कि 21 है।
- इस कॉलम के ऊपर आने के बाद, अगले कॉलम के नीचे से शुरू करें, और उसी दिशा में आगे बढ़ें। संख्या 8 है। अतः 21 के बाद अगली संख्या के बारे में सोचें जो 8 पर समाप्त होती है, जो 28 है।
- 63 के अनुरूप अंतिम संख्या 3 तक इसी तरह आगे बढ़ें।
- अगला, नीचे 0 का उपयोग करें। यह 70 के अनुरूप है।
- फिर, 7 से फिर से शुरू करें। इस बार यह 77 के अनुरूप होगा।
- ऐसे ही जारी रखें।
अमूर्त बीजगणित में
टेबल्स समूह (गणित) एस, फील्ड (गणित) एस, रिंग (गणित) एस, और अन्य सार बीजगणित पर द्विआधारी संचालन को भी परिभाषित कर सकते हैं। ऐसे संदर्भों में उन्हें केली टेबल कहा जाता है। यहाँ परिमित क्षेत्र Z के लिए योग और गुणन तालिकाएँ हैं5:
- हर प्राकृतिक संख्या n के लिए, वलय Z के लिए जोड़ और गुणन सारणी भी हैंn.
|
|
अन्य उदाहरणों के लिए, समूह (गणित) और ऑक्टोनियन देखें।
चीनी और जापानी गुणन सारणी
हेजो पैलेस में खोजे गए वुडविंड ने सुझाव दिया कि गुणन तालिका को जापान में चीनी गणितीय ग्रंथों जैसे सूरज बैंगनी एसयू शांत के माध्यम से पेश किया गया हो सकता है, क्योंकि गुणन तालिका की उनकी अभिव्यक्ति चरित्र को साझा करती है 如 दस से कम उत्पादों में।[8] चीनी और जापानी 9 × 9 तक गुणन तालिका सीखने में मदद करने के लिए छात्रों को सिखाए जाने वाले अस्सी-एक छोटे, आसानी से यादगार वाक्यों की एक समान प्रणाली साझा करते हैं। वर्तमान उपयोग में, दस से कम उत्पादों को व्यक्त करने वाले वाक्यों में दोनों में एक अतिरिक्त कण शामिल होता है। भाषाएँ। आधुनिक चीनी के मामले में, यह है 得 (dé); और जापानी में, यह है が (ga). यह उन लोगों के लिए उपयोगी है जो एक सूनपैन या soroban के साथ गणना का अभ्यास करते हैं, क्योंकि वाक्य उन्हें याद दिलाते हैं कि किसी उत्पाद को इनपुट करते समय एक कॉलम को दाईं ओर ले जाना चाहिए जो एक संख्यात्मक अंक से शुरू नहीं होता है। विशेष रूप से, जापानी गुणन तालिका कुछ विशिष्ट उदाहरणों में संख्याओं के लिए गैर-मानक उच्चारण का उपयोग करती है (जैसे कि सबरोकू के साथ सैन रोकू का प्रतिस्थापन)।
| × | 1 ichi | 2 ni | 3 san | 4 shi | 5 go | 6 roku | 7 shichi | 8 ha | 9 ku |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 in | inichi ga ichi | inni ga ni | insan ga san | inshi ga shi | ingo ga go | inroku ga roku | inshichi ga shichi | inhachi ga hachi | inku ga ku |
| 2 ni | ni ichi ga ni | ni ninga shi | ni san ga roku | ni shi ga hachi | ni go juu | ni roku juuni | ni shichi juushi | ni hachi juuroku | ni ku juuhachi |
| 3 san | san ichi ga san | san ni ga roku | sazan ga ku | san shi juuni | san go juugo | saburoku juuhachi | san shichi nijuuichi | sanpa nijuushi | san ku nijuushichi |
| 4 shi | shi ichi ga shi | shi ni ga hachi | shi san juuni | shi shi juuroku | shi go nijuu | shi roku nijuushi | shi shichi nijuuhachi | shi ha sanjuuni | shi ku sanjuuroku |
| 5 go | go ichi ga go | go ni juu | go san juugo | go shi nijuu | go go nijuugo | go roku sanjuu | go shichi sanjuugo | go ha shijuu | gokku shijuugo |
| 6 roku | roku ichi ga roku | roku ni nijuu | roku san juuhachi | roku shi nijuushi | roku go sanjuu | roku roku sanjuuroku | roku shichi shijuuni | roku ha shijuuhachi | rokku gojuushi |
| 7 shichi | shichi ichi ga shichi | shichi ni juushi | shichi san nijuuichi | shichi shi nijuuhachi | shichi go sanjuugo | shichi roku shijuuni | shichi shichi shijuuku | shichi ha gojuuroku | shichi ku rokujuusan |
| 8 hachi | hachi ichi ga hachi | hachi ni juuroku | hachi san nijuushi | hachi shi sanjuuni | hachi go shijuu | hachi roku shijuuhachi | hachi shichi gojuuroku | happa rokujuushi | hakku shichijuuni |
| 9 ku | ku ichi ga ku | ku ni juuhachi | ku san nijuushichi | ku shi sanjuuroku | ku go shijuugo | ku roku gojuushi | ku shichi rokujuusan | ku ha shichijuuni | ku ku hachijuuichi |
वारिंग स्टेट्स दशमलव गुणन बांस फिसल जाता है
सिंघुआ बैम्बू स्लिप्स (清華簡) संग्रह में युद्धरत राज्यों की अवधि में 305 ईसा पूर्व की 21 बाँस की पर्चियों का एक बंडल दशमलव गुणन तालिका का दुनिया का सबसे पहला ज्ञात उदाहरण है।[9]
== यूएस == में मानक-आधारित गणित सुधार
1989 में, नेशनल काउंसिल ऑफ़ टीचर्स ऑफ़ मैथमैटिक्स (NCTM) ने नए मानक विकसित किए जो इस विश्वास पर आधारित थे कि सभी छात्रों को उच्च-स्तरीय सोच कौशल सीखना चाहिए, जिसमें रट्टा मारने पर निर्भर पारंपरिक तरीकों के शिक्षण पर कम जोर देने की सिफारिश की गई थी, जैसे कि गुणन सारणी के रूप में। संख्याओं, डेटा और अंतरिक्ष में जांच जैसे व्यापक रूप से अपनाए गए पाठ (इसके निर्माता, तकनीकी शिक्षा अनुसंधान केंद्रों के बाद व्यापक रूप से तकनीकी शिक्षा अनुसंधान केंद्र के रूप में जाने जाते हैं) प्रारंभिक संस्करणों में गुणन सारणी जैसे छोड़े गए सहायक उपकरण। एनसीटीएम ने अपने 2006 के सिद्धांतों और स्कूली गणित के लिए मानकों # पाठ्यचर्या फोकल बिंदुओं में यह स्पष्ट कर दिया है कि बुनियादी गणित के तथ्यों को सीखना चाहिए, हालांकि इस बात पर कोई सहमति नहीं है कि रटकर याद करना सबसे अच्छा तरीका है या नहीं। हाल के वर्षों में, बच्चों को गुणन तथ्यों को सीखने में मदद करने के लिए कई गैर-पारंपरिक तरीके तैयार किए गए हैं, जिनमें वीडियो-गेम शैली के ऐप और किताबें शामिल हैं, जिनका उद्देश्य चरित्र-आधारित कहानियों के माध्यम से समय सारणी को पढ़ाना है।
यह भी देखें
- वैदिक चौराहा
- आईबीएम 1620, एक प्रारंभिक कंप्यूटर जो जोड़ने और गुणा करने के लिए स्मृति में संग्रहीत तालिकाओं का उपयोग करता था
संदर्भ
- ↑ Trivett, John (1980), "The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!", For the Learning of Mathematics, 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Qiu, Jane (January 7, 2014). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". Nature News. doi:10.1038/nature.2014.14482. S2CID 130132289.
- ↑ Wikisource:Page:Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467
- ↑ for example in An Elementary Treatise on Arithmetic by John Farrar
- ↑ David E. Smith (1958), History of Mathematics, Volume I: General Survey of the History of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications (a reprint of the 1951 publication), ISBN 0-486-20429-4, pp. 58, 129.
- ↑ David W. Maher and John F. Makowski. "Literary evidence for Roman arithmetic with fractions". Classical Philology, 96/4 (October 2001), p. 383.
- ↑ Leslie, John (1820). The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand. Edinburgh: Abernethy & Walker.
- ↑ "「九九」は中国伝来…平城宮跡から木簡出土". Yomiuri Shimbun. December 4, 2010. Archived from the original on December 7, 2010.
- ↑ Nature article The 2,300-year-old matrix is the world's oldest decimal multiplication table
