बल (गणित)

For the use of forcing in recursion theory, see Forcing (recursion theory).

समुच्चय सिद्धान्त के गणितीय अनुशासन में, मजबूती एक स्थिरता और [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)]] परिणाम साबित करने के लिए एक तकनीक है। यह पहली बार 1963 में पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वतंत्रता और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से सातत्य परिकल्पना को साबित करने के लिए इस्तेमाल किया गया था।

बाद के वर्षों में फ़ोर्सिंग पर काफ़ी हद तक फिर से काम किया गया और इसे सरल बनाया गया, और तब से सेट थ्योरी और गणितीय तर्क जैसे रिकर्सन थ्योरी दोनों में एक शक्तिशाली तकनीक के रूप में काम किया है। वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत पुनरावर्तन सिद्धांत और समुच्चय सिद्धांत दोनों से बल प्रयोग की धारणाओं का उपयोग करता है। मॉडल सिद्धांत में भी फोर्सिंग का उपयोग किया गया है, लेकिन मॉडल थ्योरी में यह सामान्य है कि बिना फोर्सिंग का उल्लेख किए सीधे सामान्य फ़िल्टर को परिभाषित किया जाए।

अंतर्ज्ञान

सहज रूप से, बल में सेट सैद्धांतिक ब्रह्मांड (गणित) का विस्तार होता है $V$ एक बड़े ब्रह्मांड के लिए $V^{*}$. इस बड़े ब्रह्मांड में, उदाहरण के लिए, सेट के सबसेट के साथ पहचाने जाने वाले कई नए वास्तविक नंबर हो सकते हैं $\mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्याएँ, जो पुराने ब्रह्मांड में नहीं थीं, और इस तरह सातत्य परिकल्पना का उल्लंघन करती हैं।

जबकि परिमित सेट सेट (गणित) के साथ व्यवहार करना असंभव है, यह अनंत के बारे में कैंटर के विरोधाभास का सिर्फ एक और संस्करण है। सिद्धांत रूप में, कोई विचार कर सकता है:

$V^{*}=V\times \{0,1\},$

पहचान करना $x\in V$ साथ $(x,0)$, और फिर एक विस्तारित सदस्यता संबंध प्रस्तुत करें जिसमें प्रपत्र के नए सेट शामिल हों $(x,1)$. जबरदस्ती इस विचार का एक अधिक विस्तृत संस्करण है, एक नए सेट के अस्तित्व के विस्तार को कम करता है, और विस्तारित ब्रह्मांड के गुणों पर ठीक नियंत्रण की अनुमति देता है।

कोहेन की मूल तकनीक, जिसे अब शाखा मजबूर कहा जाता है, यहां बताए गए असम्बद्ध फोर्सिंग से थोड़ा अलग है। फोर्सिंग भी बूलियन-मूल्यवान मॉडल की विधि के बराबर है, जो कुछ लोगों को वैचारिक रूप से अधिक स्वाभाविक और सहज लगता है, लेकिन आमतौर पर इसे लागू करना अधिक कठिन होता है।

जबरदस्ती पोसेट्स

एक मजबूर पोसेट एक आदेशित ट्रिपल है, $(\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )$, कहाँ $\leq$ पर एक अग्रिम आदेश है $\mathbb {P}$ वह एटम (आदेश सिद्धांत) है, जिसका अर्थ है कि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

• प्रत्येक के लिए $p\in \mathbb {P}$, वहाँ हैं $q,r\in \mathbb {P}$ ऐसा है कि $q,r\leq p$, कोई साथ $s\in \mathbb {P}$ ऐसा है कि $s\leq q,r$. का सबसे बड़ा तत्व है $\mathbb {P}$ है $\mathbf {1}$, वह है, $p\leq \mathbf {1}$ सभी के लिए $p\in \mathbb {P}$.

के सदस्यों $\mathbb {P}$ मजबूर करने की स्थिति या सिर्फ स्थिति कहा जाता है। एक पढ़ता है $p\leq q$ जैसा$p$ से ज्यादा मजबूत है $q$. सहज रूप से, छोटी स्थिति अधिक जानकारी प्रदान करती है, जैसे कि छोटा अंतराल $[3.1415926,3.1415927]$ Pi| संख्या के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करता हैπअंतराल की तुलना में $[3.1,3.2]$ करता है।

उपयोग में विभिन्न सम्मेलन हैं। कुछ लेखकों की आवश्यकता होती है $\leq$ प्रतिसममित संबंध भी होना चाहिए, ताकि संबंध एक आंशिक क्रम हो। कुछ वैसे भी आंशिक आदेश शब्द का उपयोग करते हैं, जो मानक शब्दावली के साथ परस्पर विरोधी हैं, जबकि कुछ शब्द प्रीऑर्डर का उपयोग करते हैं। सबसे बड़े तत्व के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है। रिवर्स ऑर्डरिंग का भी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से सहारों शेलाह और उनके सह-लेखकों द्वारा।

पी-नाम

एक मजबूर पोसेट के साथ संबद्ध $\mathbb {P}$ वर्ग है (सेट सिद्धांत) $V^{(\mathbb {P} )}$ का $\mathbb {P}$-नाम। ए $\mathbb {P}$-नाम एक सेट है $A$ फार्म का

$A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.$

यह वास्तव में ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषा है। साथ $\varnothing$ खाली सेट, $\alpha +1$ क्रमसूचक का उत्तराधिकारी $\alpha$, ${\mathcal {P}}$ सत्ता स्थापित | पावर-सेट ऑपरेटर, और $\lambda$ एक सीमा क्रमसूचक, निम्नलिखित पदानुक्रम को परिभाषित करें:

${\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{aligned}}$

फिर की कक्षा $\mathbb {P}$-नाम के रूप में परिभाषित किया गया है

$V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.$