दशमलव: Difference between revisions

Revision as of 07:35, 3 February 2023

दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें

दशमलव अंक प्रणाली (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और /ˈdiːnəri/^[1] या दशकीय भी कहा जाता है) पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।^[2] दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के तरीके को अक्सर दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[3]

एक दशमलव अंक (अक्सर केवल दशमलव या, कम सही ढंग से, दशमलव संख्या), आम तौर पर दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक दशमलव विभाजक (आमतौर पर। या, $25.9703$ या $3,1415$ के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।^[4] दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि $3.14$ में $π$ का अनुमान है दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, $a /10 n$ के रूप का भिन्न (गणित) , जहाँ $a$ एक पूर्णांक है, और $n$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

दशमलव विभाजक (दशमलव प्रतिनिधित्व देखें) के बाद अंकों के अनुक्रम (गणित) का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, $5.123144144144144... = 5.123 144$ )।^[5] एक अनंत दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल अगर यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।

मूल

ईमानदार = 1.2

प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना शुरू किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले मिस्र के अंक हैं, फिर ब्राह्मी अंक, ग्रीक अंक, हिब्रू अंक, रोमन अंक और चीनी अंक इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की शुरूआत के साथ पूरी तरह से हल किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

दशमलव अंकन

संख्या लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंकों का उपयोग करती है, एक दशमलव चिह्न, और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक घटाव का चिन्ह -।दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;^[6] दशमलव विभाजक डॉट है $.$ कई देशों में (ज्यादातर अंग्रेजी बोलने वाले),^[7] और एक अल्पविराम $,$ अन्य देशों में।^[4]

संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक दशमलव चिह्न, और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक घटाव का चिन्ह "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;^[8] दशमलव विभाजक डॉट " $.$ " है कई अन्य देशों में (ज्यादातर अंग्रेजी बोलने वाले),^[9] और एक अल्पविराम " $,$ " का प्रयोग किया जाता है।^[4]

एक गैर-नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक दशमलव अंक होता है

या तो अंकों का एक (परिमित) अनुक्रम (जैसे 2017), जहां पूरा अनुक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है,
$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$
या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)

a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}

।

यदि $m > 0$ , अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह आमतौर पर माना जाता है कि पहला अंक $a m$ शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, $3.14 = 03.14 = 003.14$ ।इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - यानी, तो, अगर $b n = 0$ - इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; ^{[note 1]} उदाहरण के लिए, $15 = 15.0 = 15.00$ और $5.2 = 5.20 = 5.200$ ।

एक ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक ऋण चिह्न $a m$ से पहले रखा जाता है।

अंक $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है

a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}

।

दशमलव अंक का पूर्णांक भाग या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)। एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है। दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, आमतौर पर कम्प्यूटिंग में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, $.1234$ , के बजाय $0.1234$ )। सामान्य लेखन में, यह आम तौर पर बचा जाता है, क्योंकि दशमलव निशान और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण।

संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।

दशमलव अंश

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[note 1]

@@ Line 99: / Line 99: @@
 |और ''x'' है|| {{figure space|3}}{{sfrac|4152|9990}}
 |}
-या, दोनों अंश और हर दोनों को विभाजित करना, 6, {{sfrac|692|1665}}।
+या अंश और हर दोनों को 6 से भाग देने पर, {{sfrac|692|1665}}।
 == दशमलव गणना ==
-[[File:Decimal multiplication table.JPG|thumb|right|300px|दुनिया के सबसे पहले ज्ञात मल्टीप्लिका और शर्मीली का आरेख; tion टेबल ({{circa|305 BCE}}) [[युद्धरत राज्यों की अवधि]] से]]अधिकांश आधुनिक [[ संगणक ]] हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर सिस्टम आमतौर पर आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (हालांकि कई शुरुआती कंप्यूटर, जैसे कि [[ENIAC]] या [[IBM 650]], आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)।<ref>"Fingers or Fists? (The Choice of Decimal or Binary Representation)", [[Werner Buchholz]], ''Communications of the ACM'', Vol. 2 #12, pp. 3–11, ACM Press, December 1959.</ref>
+[[File:Decimal multiplication table.JPG|thumb|right|300px|दुनिया के सबसे पहले ज्ञात मल्टीप्लिका और शर्मीली का आरेख; tion टेबल ({{circa|305 BCE}}) [[युद्धरत राज्यों की अवधि]] से]]अधिकांश आधुनिक [[ संगणक ]] हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर सिस्टम आमतौर पर आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (हालांकि कई शुरुआती कंप्यूटर, जैसे कि [[ENIAC|ईएनआईएसी]] या [[IBM 650|आईबीएम 650]], आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)।<ref>"Fingers or Fists? (The Choice of Decimal or Binary Representation)", [[Werner Buchholz]], ''Communications of the ACM'', Vol. 2 #12, pp. 3–11, ACM Press, December 1959.</ref>
 कंप्यूटर विशेषज्ञों द्वारा बाहरी उपयोग के लिए, यह बाइनरी प्रतिनिधित्व कभी -कभी संबंधित [[ अष्टभुजाकार ]] या [[हेक्साडेसिमल]] सिस्टम में प्रस्तुत किया जाता है।
 अधिकांश उद्देश्यों के लिए, हालांकि, द्विआधारी मूल्यों को मनुष्यों से प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मूल्यों में या परिवर्तित किया जाता है;कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं।(123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस तरह लिखा जाता है, भले ही कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को ठीक से एनकोड करने में असमर्थ हों।)
-कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं।अक्सर यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो [[बाइनरी-कोडित दशमलव]] के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है,<ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, US --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, Florida |isbn=0-89874-318-4}}</ref><ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, USA --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1st |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, New York|isbn=0-471-76180-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref> विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, लेकिन उपयोग में अन्य दशमलव अभ्यावेदन हैं ([[दशमलव अस्थायी बिंदु]] जैसे कि [[IEEE 754]] के नए संशोधन में। फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए IEEE 754 मानक)। Ref> दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट: कंप्यूटर के लिए अल्गोरिज्म, माइक काउलिशॉव | Cowlishaw, माइक एफ।, कार्यवाही 16 वीं IEEE संगोष्ठी कंप्यूटर अंकगणित पर, {{isbn|0-7695-1894-X}}, पीपी। 104–11, IEEE COMP।Soc।, 2003 </ref>
+कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों ही आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं। अक्सर यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो बाइनरी-कोडेड दशमलव के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है, [10] [11] विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, लेकिन उपयोग में अन्य दशमलव प्रतिनिधित्व होते हैं (दशमलव फ़्लोटिंग पॉइंट जैसे नए संशोधनों में) फ़्लोटिंग-प्वाइंट अंकगणित के लिए IEEE 754 मानक)। [12]
-दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटर में किया जाता है ताकि उनके आंशिक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मूल्यों को जोड़ने (या घटाने) के दशमलव आंशिक परिणाम हमेशा सटीकता की समान लंबाई के लिए गणना की जाती हैं।यह विशेष रूप से वित्तीय गणना के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, उनके परिणामों की आवश्यकता होती है, जो कि पुस्तक रखने के उद्देश्यों के लिए सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है।यह बाइनरी में संभव नहीं है, क्योंकि नकारात्मक शक्तियां <math>10</math> कोई परिमित द्विआधारी आंशिक प्रतिनिधित्व नहीं है;और आमतौर पर गुणा (या विभाजन) के लिए असंभव है।<ref>[http://speleotrove.com/decimal/decifaq.html Decimal Arithmetic – FAQ<!-- Bot generated title -->]</ref><ref>[http://www.dec.usc.es/arith16/papers/paper-107.pdf Decimal Floating-Point: Algorism for Computers], [[Cowlishaw]], M. F., ''Proceedings [[16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic]]'' ([http://www.dec.usc.es/arith16/ ARITH&nbsp;16]), {{isbn|0-7695-1894-X}}, pp.&nbsp;104–11, IEEE Comp. Soc., June 2003</ref> सटीक गणना के लिए मनमानी-सटीक अंकगणित देखें।
+कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं। अक्सर यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो [[बाइनरी-कोडित दशमलव]] के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है,<ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, US --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, Florida |isbn=0-89874-318-4}}</ref><ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, USA --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1st |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, New York|isbn=0-471-76180-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref> विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, लेकिन उपयोग में अन्य दशमलव प्रतिनिधित्व हैं ([[दशमलव अस्थायी बिंदु]] जैसे कि [[IEEE 754]] के नए संशोधन में)।
+Ref> दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट: कंप्यूटर के लिए अल्गोरिज्म, माइक काउलिशॉव | Cowlishaw, माइक एफ।, कार्यवाही 16 वीं IEEE संगोष्ठी कंप्यूटर अंकगणित पर, {{isbn|0-7695-1894-X}}, पीपी। 104–11, IEEE COMP।Soc।, 2003 <nowiki></ref></nowiki>
+दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटर में किया जाता है ताकि उनके आंशिक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मूल्यों को जोड़ने (या घटाने) के दशमलव आंशिक परिणाम हमेशा सटीकता की समान लंबाई के लिए गणना की जाती हैं। यह विशेष रूप से वित्तीय गणना के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, उनके परिणामों की आवश्यकता होती है, जो कि पुस्तक रखने के उद्देश्यों के लिए सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है।यह बाइनरी में संभव नहीं है, क्योंकि नकारात्मक शक्तियां <math>10</math> कोई परिमित द्विआधारी आंशिक प्रतिनिधित्व नहीं है;और आमतौर पर गुणा (या विभाजन) के लिए असंभव है।<ref>[http://speleotrove.com/decimal/decifaq.html Decimal Arithmetic – FAQ<!-- Bot generated title -->]</ref><ref>[http://www.dec.usc.es/arith16/papers/paper-107.pdf Decimal Floating-Point: Algorism for Computers], [[Cowlishaw]], M. F., ''Proceedings [[16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic]]'' ([http://www.dec.usc.es/arith16/ ARITH&nbsp;16]), {{isbn|0-7695-1894-X}}, pp.&nbsp;104–11, IEEE Comp. Soc., June 2003</ref> सटीक गणना के लिए मनमानी-सटीक अंकगणित देखें।
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