अनंत: Difference between revisions

Revision as of 14:40, 14 February 2023

विरोधी दर्पणों के बीच निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब के कारण ऐसा लगता है कि उनके भीतर असीम स्थान और पुनरावृत्ति है।

अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक $\infty$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्राचीन यूनानियों के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक^[1] और अतिसूक्ष्म गणना के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखला के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)^[2] ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।^[1] 19वीं शताब्दी के अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अनंत समुच्चयों और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।^[1]^[3] उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की प्रधानता) पूर्णांकों की संख्या से बड़ी होती है।^[4] इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य गणितीय वस्तु की तरह ही उपयोग किया जा सकता है।

अनंत की गणितीय अवधारणा पुरानी दार्शनिक अवधारणा को परिशोधित और विस्तारित करती है, विशेष रूप से अनंत समुच्चयों के असीम रूप से कई अलग-अलग आकारों को प्रस्तुत करके। जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों में, जिस पर अधिकांश आधुनिक गणित विकसित की जा सकती हैं, अनंत का स्वयंसिद्ध है, जो अनंत समुच्चयों के अस्तित्व का दायित्व देता है।^[1] अनंतता की गणितीय अवधारणा और अनंत समुच्चयों के हेरफेर का उपयोग गणित में प्रत्येक स्थान पर किया जाता है, यहां तक कि साहचर्य जैसे क्षेत्रों में भी जिनका उनसे कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण प्रारंभिक अंकगणित के संदर्भ में दी गई लंबी समस्या को हल करने के लिए बहुत बड़े अनंत समुच्चयोंं के अस्तित्व पर निर्भर करता है।^[5]

भौतिकी और ब्रह्माण्ड विज्ञान में, क्या ब्रह्माण्ड स्थानिक रूप से अनंत है यह एक विवादास्पद प्रश्न है।

इतिहास

प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। प्राचीन भारतीयों और यूनानियों ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच गया है।

प्रारंभिक ग्रीक

ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार एक यूनानी वैज्ञानिक (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।^[1]^[6]

अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को वास्तविक अनंत से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता प्रतीत होता था।^[7] यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, हेलेनिस्टिक यूनानियों में अनंत का आतंक था,^[8]^[9] जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों यूक्लिड (सी. 300 ई.पू.) ने यह नहीं कहा कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, बल्कि "अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्धारित बहुसंख्यक संख्या से अधिक हैं।"^[10] यह भी कहा गया है कि अभाज्य संख्याओं की अनंतता को साबित करने में यूक्लिड "अनंत के आतंक पर काबू पाने वाले पहले व्यक्ति थे"।^[11] यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा से संबंधित एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता है-

यदि एक सीधी रेखा दो [अन्य] सीधी रेखाओं के बीच गिरती हुई अपने एक ही ओर आंतरिक कोण बनाती है [जिसका योग] दो समकोणों से कम होता है तो दो [अन्य] सीधी रेखाएँ अनंत तक बढ़ाई जा रही हैं जो [मूल सीधी रेखा के] उस ओर मिलती हैं जिसका [आंतरिक कोणों का योग] दो समकोणों से कम होता है।^[12]

हालाँकि, अन्य अनुवादक इस अनुवाद को प्राथमिकता देते हैं कि यदि "दो सीधी रेखाएँ, अनिश्चित काल तक बनाई जाती है...",^[13] तो इस निहितार्थ से बचा जा सकता है कि यूक्लिड अनंत की धारणा के साथ सहज था। अंत में, यह बनाए रखा गया है कि अनंत पर एक प्रतिबिंब, "अनंत के आतंक" से दूर, प्रारंभिक ग्रीक दर्शन के सभी आधारों को रेखांकित करता है और यह कि अरस्तू की "संभावित अनंतता" इस अवधि की सामान्य प्रवृत्ति से एक विपथन है।^[14]

ज़ेनो- अकिलिस और कछुआ

एलिया के ज़ेनो (सी.-495 - सी.-430 ई.पू.) ने अनंत के विषय में किसी भी दृष्टिकोण को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उनके विरोधाभास,^[15] विशेष रूप से "अकिलिस और कछुआ", का इसमें महत्वपूर्ण योगदान था जिसमें उन्होंने लोकप्रिय अवधारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को बर्ट्रेंड रसेल द्वारा "अथाह सूक्ष्म और गहन" के रूप में वर्णित किया गया था।^[16]

अकिलिस कछुआ दौड़ता है जो बाद वाले को एक प्रमुख प्रारम्भ देता है।

चरण 1- कछुआ के प्रारम्भिक बिंदु पर अकिलिस दौड़ता है जबकि कछुआ आगे बढ़ता है।
चरण 2- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
चरण 3- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
चरण 4- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 3 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। आदि।

स्पष्ट रूप से, अकिलिस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने भी कदम पूरे कर लेता है, कछुआ उसके आगे रहता है।

ज़ेनो अनंत के बारे में बात करने का प्रयास नहीं कर रहा था। एलीटिक्स स्कूल के एक सदस्य के रूप में, जो गति को एक भ्रम मानता था, उसने यह मान लेना गलती के रूप में देखा कि अकिलिस दौड़ सकता है। बाद के विचारकों ने, इस समाधान को अस्वीकार्य पाते हुए, तर्क में अन्य कमजोरियों को खोजने के लिए दो सहस्राब्दी से अधिक समय तक संघर्ष किया।

अंत में, 1821 में, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 < x < 1 के लिए,^[17]

a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.

मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की प्रारम्भिक बढ़त है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में a = 10 सेकंड और x = 0.01 के साथ उपयुक्त बैठती है। अकिलिस कछुआ से आगे निकल जाता है, यह उसे ले जाता है

10+0.1+0.001+0.00001+\cdots ={\frac {10}{1-.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.

प्रारंभिक भारतीय

जैन गणितीय ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-^[18]

गणनीय- निम्नतम, मध्यवर्ती और उच्चतम
असंख्य- लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य रूप से अनगिनत
अनंत- लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, असीम रूप से अनंत

17वीं शताब्दी

17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का व्यवस्थित ढंग से प्रयोग करना शुरू किया। 1655 में, जॉन वालिस ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए^[19] अंकन $\infty$ का उपयोग किया और ${1 \over \infty }$ के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यंत सूक्ष्म पट्टियों में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया।^[20] लेकिन अंकगणितीय इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर "&c" जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और &c।"^[21]

1699 में, आइज़ैक न्यूटन ने अपने कार्य समीकरणों का विश्लेषण अनंत काल तक में अनंत पदों वाले समीकरणों के बारे में लिखा था।^[22]

गणित

हरमन वेइल ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक संबोधन का प्रारम्भ किया-^[23]

गणित अनंत का विज्ञान है।

प्रतीक

अनंत प्रतीक $\infty$ (जिसे कभी-कभी द्विपाशी कहा जाता है,) एक गणितीय प्रतीक है जो अनंत की अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीक एकल कोड में U+221E $\infty$ अनंत (&अनंत)^[24] और लाटेक्स (LaTeX) में\infty^[25]के रूप में एन्कोड किया गया है।

यह जॉन वालिस द्वारा 1655 में पेश किया गया था,^[26]^[27] और इसके प्रारम्भ के बाद से, आधुनिक रहस्यवाद और साहित्यिक प्रतीकवाद^[28] में गणित के बाहर भी इसका उपयोग किया गया है।^[29]

गणना

अत्यंत सूक्ष्म गणना के सह-आविष्कारकों में से एक गॉटफ्रीड लीबनिज ने अनंत संख्याओं और गणित में उनके उपयोग के बारे में व्यापक रूप से अनुमान लगाया। लीबनिज के लिए, दोनों अतिसूक्ष्म और अनंत मात्राएं आदर्श संस्थाएं थीं, जो सराहनीय मात्राओं के समान प्रकृति की नहीं थी, लेकिन निरंतरता के नियम के अनुसार समान गुणों का आनंद ले रही थी।^[30]^[2]

वास्तविक विश्लेषण

वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक $\infty$ जिसे "अनंत" कहा जाता है, का उपयोग असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है।^[31] अंकन $x\rightarrow \infty$ का अर्थ है कि $x$ बिना किसी सीमा के बढ़ता है और $x\to -\infty$ का अर्थ है कि $x$ बिना किसी सीमा के घटता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक $t$ के लिए $f left parenthesis t right parenthesis greater than or equals 0$

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 === समुच्चय सिद्धान्त ===
-{{Main|Cardinality|Ordinal number}}
+{{Main|कार्डिनलिटी|क्रमसूचक संख्या}}
 [[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|अनंत समुच्चय और उसके उचित उपसमुच्चय के बीच प्रत्येक से अलग समतुल्यता]]"अनंत" का एक अलग रूप समुच्चय सिद्धान्त की क्रमवाचक संख्या और [[बुनियादी संख्या|गणनसंख्या]] अनंत हैं, जो पहले जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित की गई परिमितातीत (ट्रांसफ़िनिट) संख्याओं की प्रणाली है। इस प्रणाली में, पहला परिमितातीत गणनसंख्या एलेफ़-नल (<span style= font-family:'Cambria Math'; ><big>ℵ</big><sub>0</sub></span>) है, जो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का गणनांक है। मात्रात्मक अनंत की यह आधुनिक गणितीय अवधारणा 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर, [[भगवान फ्रीज का शुक्र है|गोटलॉब फ्रेग]], [[रिचर्ड डेडेकिंड]] और अन्य लोगों द्वारा संग्रह या समुच्चय के विचार का उपयोग करके विकसित हुई थी।<ref name=":1" />
-डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समुच्चय के आकार की तुलना करने के लिए प्रत्येक से अलग समतुल्यता के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक [[वर्ग संख्या|वर्ग पूर्णांकों]] के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत समुच्चय हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल समतुल्यता) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे समतुल्यता) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"।{{citation needed|date=April 2017}}
+डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समुच्चय के आकार की तुलना करने के लिए प्रत्येक से अलग समतुल्यता के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक [[वर्ग संख्या|वर्ग पूर्णांकों]] के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत समुच्चय हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल समतुल्यता) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे समतुल्यता) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"।
 कैंटर ने दो प्रकार की अनंत संख्याओं को परिभाषित किया- क्रमवाचक संख्याएँ और गणन संख्याएँ। क्रमवाचक संख्याएँ [[सुव्यवस्थित]] समुच्चयों की विशेषता बताती हैं, या किसी भी निष्कर्ष पर की गई गिनती, जिसमें अनंत संख्या के बाद के अंक पहले ही गिने जा चुके हैं। परिमित और (साधारण) अनंत [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] का सामान्यीकरण, जो धनात्मक [[पूर्णांकों]] से मानचित्र हैं, तथा क्रमवाचक संख्याओं से परिमितातीत अनुक्रमों तक मानचित्रण की ओर जाता हैं। क्रमवाचक संख्याएँ समुच्चय के आकार को परिभाषित करती हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें कितने सदस्य हैं, और उस आकार के क्रमवाचक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित आकार की पहली क्रमवाचक संख्या चुनकर मानकीकृत किया जा सकता है। सबसे छोटी क्रमवाचक अनंत धनात्मक पूर्णांकों की होती है, और कोई भी समुच्चय जिसमें पूर्णांकों का गणनांक होता है, वह गणनीय रूप से अनंत होता है। यदि एक समुच्चय सकारात्मक पूर्णांकों के साथ प्रत्येक से अलग समतुल्यता में रखने के लिए बहुत बड़ा है, तो इसे [[बेशुमार सेट|अगणनीय]] कहा जाता है। कैंटर के विचार प्रचलित थे और आधुनिक गणित संगत और सुसंगत सिद्धांत के भाग के रूप में वास्तविक अनंतता को स्वीकार करती है।<ref>{{Cite web|url=https://math.dartmouth.edu/~matc/Readers/HowManyAngels/अनंतताMind/IM.html|title=अनंतता|website=math.dartmouth.edu|access-date=2019-11-16}}</ref><ref>{{cite book
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 |publisher=Routledge
 |year=1991}}
-</ref>{{page needed|date=June 2014}} कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतिवास्तविक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ सम्मिलित करती हैं।{{citation needed|date=April 2017}}
+</ref>{{page needed|date=June 2014}} कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतिवास्तविक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ सम्मिलित करती हैं।
 ==== सातत्य का गणनांक ====
 {{Main|सातत्य का गणनांक}}
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 इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के भीतर सिद्ध या अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है, यहाँ तक कि स्वयंसिद्ध के चुनाव को भी मानते हुए।<ref>{{harvnb|Cohen|1963|p=1143}}</ref>
-[[कार्डिनल अंकगणित|गणनांक अंकगणित]] का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि [[वास्तविक संख्या रेखा]] में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी [[रेखा खंड|खंड]] में बिंदुओं की संख्या के बराबर है, बल्कि यह भी कि यह समतल पर बिंदुओं की संख्या के बराबर है। और वास्तव में, किसी भी परिमित-आयामी स्थान में।{{citation needed|date=April 2017}}
+[[कार्डिनल अंकगणित|गणनांक अंकगणित]] का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि [[वास्तविक संख्या रेखा]] में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी [[रेखा खंड|खंड]] में बिंदुओं की संख्या के बराबर है, बल्कि यह भी कि यह समतल पर बिंदुओं की संख्या के बराबर है। और वास्तव में, किसी भी परिमित-आयामी स्थान में।
 [[File:Peanocurve.svg|thumb|एक फ्रैक्टल निर्माण के पहले तीन चरण जिसकी सीमा [[जगह भरने वाला कर्व|स्थान-भरने वाले वक्र]] है, यह दर्शाता है कि एक-आयामी रेखा में उतने ही बिंदु हैं जितने कि एक द्वि-आयामी वर्ग में हैं।]]इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फलन पर विचार करने से स्पष्ट होता है, जो [[अंतराल]] (&minus;{{sfrac|π|2}}, {{sfrac|π|2}}) और '''R''' के बीच प्रत्येक से अलग संगति प्रदान करता है।  {{math|}}{{math|}}.{{see also|ग्रांड होटल का हिल्बर्ट विरोधाभास}}

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