अनंत: Difference between revisions
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[[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right| | [[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right|[[अनंत दर्पण|विरोधी दर्पणों]] के बीच निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब के कारण ऐसा लगता है कि उनके भीतर असीम स्थान और पुनरावृत्ति है।]]अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक {{char|<math>\infty</math>}} द्वारा निरूपित किया जाता है। | ||
[[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है। | [[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है। | ||
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}}</ref> हम <math>+\infty</math> और <math>-\infty</math> को भी समान मान सकते हैं, जिससे वास्तविक संख्याओं का [[एक-बिंदु संघनन]] हो जाता है, जो कि वास्तविक प्रक्षेपण रेखा है।<ref>{{harvnb|Gemignani|1990|loc=p. 177}}</ref> [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] समतल ज्यामिति में अनंत पर रेखा, त्रि-आयामी स्थान में अनंत पर समतल, और सामान्य [[आयाम (गणित और भौतिकी)|आयामों]] के लिए अनंत पर अधिसमतल को भी संदर्भित करता है, प्रत्येक में अनंत पर बिंदु होते हैं।<ref>{{citation|first1=Albrecht|last1=Beutelspacher|first2=Ute|last2=Rosenbaum|title=Projective Geometry / from foundations to applications|year=1998|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-48364-3|page=27}}</ref> | }}</ref> हम <math>+\infty</math> और <math>-\infty</math> को भी समान मान सकते हैं, जिससे वास्तविक संख्याओं का [[एक-बिंदु संघनन]] हो जाता है, जो कि वास्तविक प्रक्षेपण रेखा है।<ref>{{harvnb|Gemignani|1990|loc=p. 177}}</ref> [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] समतल ज्यामिति में अनंत पर रेखा, त्रि-आयामी स्थान में अनंत पर समतल, और सामान्य [[आयाम (गणित और भौतिकी)|आयामों]] के लिए अनंत पर अधिसमतल को भी संदर्भित करता है, प्रत्येक में अनंत पर बिंदु होते हैं।<ref>{{citation|first1=Albrecht|last1=Beutelspacher|first2=Ute|last2=Rosenbaum|title=Projective Geometry / from foundations to applications|year=1998|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-48364-3|page=27}}</ref> | ||
==== सम्मिश्र विश्लेषण ==== | ==== सम्मिश्र विश्लेषण ==== | ||
[[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|250px|[[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, | [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|250px|[[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, सम्मिश्र स्थान को एक गोले पर "लपेटा" जा सकता है, जिसमें अनंत के अनुरूप क्षेत्र का शीर्ष बिंदु होता है। इसे [[रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है।]][[जटिल विश्लेषण|सम्मिश्र विश्लेषण]] में प्रतीक <math>\infty</math>, जिसे "अनंत" कहा जाता है, एक अहस्ताक्षरित अनंत [[सीमा (गणित)|सीमा]] को दर्शाता है। <math>x \rightarrow \infty</math> का अर्थ है कि <math>|x|</math> का परिमाण <math>x</math> किसी भी निर्दिष्ट मान से अधिक हो जाता है। <math>\infty</math> लेबल वाले एक बिंदु को सम्मिश्र में एक स्थलीय स्थान के रूप में जोड़ा जा सकता है, जिससे सम्मिश्र स्थान का एक-बिंदु संघनन होता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ExtendedComplexPlane.html|title=Extended Complex Plane|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-15}}</ref> जब यह किया जाता है, तो परिणामी स्थान एक आयामी सम्मिश्र कई गुना या रीमैन सतह होता है, जिसे विस्तारित सम्मिश्र स्थान या [[रीमैन सतह|रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है। विस्तारित वास्तविक संख्याओं के लिए ऊपर दिए गए समान अंकगणितीय संक्रियाओं को भी परिभाषित किया जा सकता है, हालांकि संकेतों में कोई अंतर नहीं है (जो एक अपवाद की ओर जाता है कि अनंत को स्वयं में नहीं जोड़ा जा सकता है)। दूसरी ओर, इस तरह का अनंत शून्य से विभाजन को सक्षम करता है, अर्थात किसी भी गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या <math>z</math> के लिए <math>z/0 = \infty</math>। इस संदर्भ में, ध्रुवों पर <math>\infty</math> का मान लेते हुए रीमैन क्षेत्र में नक्शो के रूप में [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमोर्फिक फलनों]] पर विचार करना प्रायः उपयोगी होता है। अनंत पर बिंदु को सम्मिलित करने के लिए सम्मिश्र-मूल्यवान फलन का क्षेत्र बढ़ाया जा सकता है। ऐसे फलनों का महत्वपूर्ण उदाहरण मोबीस रूपांतरणों का समूह है (मोबीस रूपांतरण § अवलोकन देखें)। | ||
=== गैर-मानक विश्लेषण === | === गैर-मानक विश्लेषण === | ||
[[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|अतिवास्तविक संख्या रेखा (1/ε = ω/1) पर | [[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|अतिवास्तविक संख्या रेखा (1/ε = ω/1) पर अति सूक्ष्म (ε) और अनंत (ω)]]आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा अतिसूक्ष्म गणना के मूल सूत्रीकरण में अतिसूक्ष्म मात्राओं का उपयोग किया गया था। 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, यह दिखाया गया था कि इस उपचार को विभिन्न तार्किक प्रणालियों के माध्यम से एक कठोर स्तर पर रखा जा सकता है, जिसमें सहज अति सूक्ष्म विश्लेषण और गैर-मानक विश्लेषण सम्मिलित हैं। उत्तरार्द्ध में, अतिसूक्ष्म व्युत्क्रमणीय होते हैं, और उनके व्युत्क्रम अनंत संख्याएँ होती हैं। इस अर्थ में अनंत एक अति वास्तविक क्षेत्र का हिस्सा है उनके बीच कैंटोरियन परिमितातीतों के साथ कोई समानता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि H इस अर्थ में एक अनंत संख्या है, तो H + H = 2H और H + 1 विशिष्ट अनंत संख्याएँ हैं। गैर-मानक गणना के लिए यह दृष्टिकोण {{harvtxt|केसलर |1986}} में पूरी तरह से विकसित था। | ||
=== समुच्चय सिद्धान्त === | === समुच्चय सिद्धान्त === | ||
{{Main|Cardinality|Ordinal number}} | {{Main|Cardinality|Ordinal number}} | ||
[[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|अनंत | [[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|अनंत समुच्चय और उसके उचित उपसमुच्चय के बीच प्रत्येक से अलग समतुल्यता]]"अनंत" का एक अलग रूप समुच्चय सिद्धान्त की क्रमवाचक संख्या और [[बुनियादी संख्या|गणनसंख्या]] अनंत हैं, जो पहले जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित की गई परिमितातीत (ट्रांसफ़िनिट) संख्याओं की प्रणाली है। इस प्रणाली में, पहला परिमितातीत गणनसंख्या एलेफ़-नल (<span style= font-family:'Cambria Math'; ><big>ℵ</big><sub>0</sub></span>) है, जो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का गणनांक है। मात्रात्मक अनंत की यह आधुनिक गणितीय अवधारणा 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर, [[भगवान फ्रीज का शुक्र है|गोटलॉब फ्रेग]], [[रिचर्ड डेडेकिंड]] और अन्य लोगों द्वारा संग्रह या समुच्चय के विचार का उपयोग करके विकसित हुई थी।<ref name=":1" /> | ||
डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समुच्चय के आकार की तुलना करने के लिए प्रत्येक से अलग समतुल्यता के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक [[वर्ग संख्या|वर्ग पूर्णांकों]] के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत समुच्चय हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल समतुल्यता) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे समतुल्यता) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"।{{citation needed|date=April 2017}} | डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समुच्चय के आकार की तुलना करने के लिए प्रत्येक से अलग समतुल्यता के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक [[वर्ग संख्या|वर्ग पूर्णांकों]] के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत समुच्चय हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल समतुल्यता) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे समतुल्यता) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"।{{citation needed|date=April 2017}} | ||
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* अनंत | * अनंत समुच्चय | ||
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* अनंत का विरोधाभास | * अनंत का विरोधाभास | ||
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Revision as of 16:15, 10 February 2023
अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।
प्राचीन यूनानियों के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक[1] और अतिसूक्ष्म गणना के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखला के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)[2] ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।[1] 19वीं शताब्दी के अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अनंत समुच्चयों और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।[1][3] उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की प्रधानता) पूर्णांकों की संख्या से बड़ी होती है।[4] इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य गणितीय वस्तु की तरह ही उपयोग किया जा सकता है।
अनंत की गणितीय अवधारणा पुरानी दार्शनिक अवधारणा को परिशोधित और विस्तारित करती है, विशेष रूप से अनंत समुच्चयों के असीम रूप से कई अलग-अलग आकारों को प्रस्तुत करके। जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों में, जिस पर अधिकांश आधुनिक गणित विकसित की जा सकती हैं, अनंत का स्वयंसिद्ध है, जो अनंत समुच्चयों के अस्तित्व का दायित्व देता है।[1] अनंतता की गणितीय अवधारणा और अनंत समुच्चयों के हेरफेर का उपयोग गणित में प्रत्येक स्थान पर किया जाता है, यहां तक कि साहचर्य जैसे क्षेत्रों में भी जिनका उनसे कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण प्रारंभिक अंकगणित के संदर्भ में दी गई लंबी समस्या को हल करने के लिए बहुत बड़े अनंत समुच्चयोंं के अस्तित्व पर निर्भर करता है।[5]
भौतिकी और ब्रह्माण्ड विज्ञान में, क्या ब्रह्माण्ड स्थानिक रूप से अनंत है यह एक विवादास्पद प्रश्न है।
इतिहास
प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। प्राचीन भारतीयों और यूनानियों ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच गया।
प्रारंभिक यूनानी
ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार एक यूनानी वैज्ञानिक (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।[1][6]
अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को वास्तविक अनंत से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता प्रतीत होता था।[7] यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, हेलेनिस्टिक यूनानियों में अनंत का आतंक था,[8][9] जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों यूक्लिड (सी. 300 ई.पू.) ने यह नहीं कहा कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, बल्कि "अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्धारित बहुसंख्यक संख्या से अधिक हैं।"[10] यह भी कहा गया है कि अभाज्य संख्याओं की अनंतता को साबित करने में यूक्लिड "अनंत के आतंक पर काबू पाने वाले पहले व्यक्ति थे"।[11] यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा से संबंधित एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता है-
यदि एक सीधी रेखा दो [अन्य] सीधी रेखाओं के बीच गिरती हुई अपने एक ही ओर आंतरिक कोण बनाती है [जिसका योग] दो समकोणों से कम होता है तो दो [अन्य] सीधी रेखाएँ अनंत तक बढ़ाई जा रही हैं जो [मूल सीधी रेखा के] उस ओर मिलती हैं जिसका [आंतरिक कोणों का योग] दो समकोणों से कम होता है।[12]
हालाँकि, अन्य अनुवादक इस अनुवाद को प्राथमिकता देते हैं कि यदि "दो सीधी रेखाएँ, अनिश्चित काल तक बनाई जाती है...",[13] तो इस निहितार्थ से बचा जा सकता है कि यूक्लिड अनंत की धारणा के साथ सहज था। अंत में, यह बनाए रखा गया है कि अनंत पर एक प्रतिबिंब, "अनंत के आतंक" से दूर, प्रारंभिक ग्रीक दर्शन के सभी आधारों को रेखांकित करता है और यह कि अरस्तू की "संभावित अनंतता" इस अवधि की सामान्य प्रवृत्ति से एक विपथन है।[14]
ज़ेनो- अकिलिस और कछुआ
एलिया के ज़ेनो (सी.-495 - सी.-430 ई.पू.) ने अनंत के विषय में किसी भी दृष्टिकोण को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उनके विरोधाभास,[15] विशेष रूप से "अकिलिस और कछुआ", का इसमें महत्वपूर्ण योगदान था जिसमें उन्होंने लोकप्रिय अवधारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को बर्ट्रेंड रसेल द्वारा "अथाह सूक्ष्म और गहन" के रूप में वर्णित किया गया था।[16]
अकिलिस कछुआ दौड़ता है जो बाद वाले को एक प्रमुख प्रारम्भ देता है।
- चरण 1- कछुआ के प्रारम्भिक बिंदु पर अकिलिस दौड़ता है जबकि कछुआ आगे बढ़ता है।
- चरण 2- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
- चरण 3- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
- चरण 4- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 3 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। आदि।
स्पष्ट रूप से, अकिलिस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने भी कदम पूरे कर लेता है, कछुआ उसके आगे रहता है।
ज़ेनो अनंत के बारे में बात करने का प्रयास नहीं कर रहा था। एलीटिक्स स्कूल के एक सदस्य के रूप में, जो गति को एक भ्रम मानता था, उसने यह मान लेना गलती के रूप में देखा कि अकिलिस दौड़ सकता है। बाद के विचारकों ने, इस समाधान को अस्वीकार्य पाते हुए, तर्क में अन्य कमजोरियों को खोजने के लिए दो सहस्राब्दी से अधिक समय तक संघर्ष किया।
अंत में, 1821 में, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 < x < 1 के लिए,[17]
प्रारंभिक भारतीय
जैन गणितीय ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इन