गेज फिक्सिंग

गेज सिद्धांत के भौतिकी में, गेज फिक्सिंग (जिसे गेज चुनना भी कहा जाता है) क्षेत्र (भौतिकी) चर में स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की अनावश्यक डिग्री से मुकाबला करने के लिए एक गणितीय प्रक्रिया को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार, एक गेज सिद्धांत सिस्टम के प्रत्येक भौतिक रूप से विशिष्ट कॉन्फ़िगरेशन को विस्तृत स्थानीय फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के समतुल्य वर्ग के रूप में दर्शाता है। एक ही तुल्यता वर्ग में कोई भी दो विस्तृत विन्यास एक गेज परिवर्तन से संबंधित हैं, विन्यास स्थान में अभौतिक अक्षों के साथ एक समरूपता परिवर्तन के बराबर है। एक गेज सिद्धांत की अधिकांश मात्रात्मक भौतिक भविष्यवाणियों को केवल स्वतंत्रता की इन अभौतिक डिग्री को दबाने या अनदेखा करने के लिए एक सुसंगत नुस्खे के तहत प्राप्त किया जा सकता है।

यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक कुल्हाड़ियों भौतिक मॉडल की एक मौलिक संपत्ति हैं, उनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष सेट नहीं है। इसलिए एक विशेष विस्तृत विन्यास (या यहां तक ​​कि उनका भारित वितरण) द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले क्रॉस सेक्शन को लेने में भारी मात्रा में स्वतंत्रता शामिल है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक मॉडल अधिक यथार्थवादी हो जाता है; क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए इसका अनुप्रयोग पुनर्सामान्यीकरण से संबंधित जटिलताओं से भरा हुआ है, खासकर जब संगणना को उच्च पर्टुरेटिव विस्तार के लिए जारी रखा जाता है। ऐतिहासिक रूप से, तार्किक रूप से सुसंगत और कम्प्यूटेशनल रूप से ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर वर्तमान तक गणितीय भौतिकी का एक प्रमुख चालक रहा है।

गेज स्वतंत्रता

आर्किटेपिकल गेज सिद्धांत एक विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता के संदर्भ में ओलिवर योशिय्याह विलार्ड गिब्स की निरंतर बिजली का गतिविज्ञान का सूत्रीकरण है, जो यहां अंतरिक्ष / समय असममित हीविसाइड नोटेशन में प्रस्तुत किया गया है। मैक्सवेल के समीकरणों के विद्युत क्षेत्र ई और चुंबकीय क्षेत्र बी में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री का आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। . ये क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं $\varphi$ और संबंधों के माध्यम से चुंबकीय सदिश क्षमता A:

$${\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.$$

यदि परिवर्तन

$$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$$

(1)

बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि (पहचान के साथ $\nabla \times \nabla \psi =0$)

$${\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.$$

हालाँकि, यह परिवर्तन E अनुसार बदलता है

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}.$$

यदि कोई अन्य परिवर्तन

$$\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}$$

(2)

बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य करता है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं ψ(r, t) और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और φ को रूपांतरित करता है (1) और (2).

स्केलर और वेक्टर क्षमता का एक विशेष विकल्प गेज (अधिक सटीक, गेज क्षमता) है और गेज को बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले स्केलर फ़ंक्शन ψ को गेज फ़ंक्शन कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व ψ(r, t) इस सिद्धांत की यू(1) गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।

हालांकि शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व को अब अक्सर गेज सिद्धांत के रूप में बोला जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। शास्त्रीय बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ सबूतों और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं एक प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई शास्त्रीय समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद लूप के चारों ओर ए के रेखा अभिन्न पर निर्भर करता है, और यह इंटीग्रल इसके द्वारा नहीं बदला जाता है

$$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.$$

नॉन-एबेलियन गेज सिद्धांत में गेज फिक्सिंग | नॉन-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता, एक अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता, फद्दीव-पोपोव भूत और फ्रेम बंडल देखें।

एक उदाहरण

File:Gauge.png

एक मुड़े हुए सिलेंडर का गेज फिक्सिंग। (ध्यान दें: लाइन सिलेंडर की सतह पर है, उसके अंदर नहीं।)

गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, एक बेलनाकार रॉड को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। हालाँकि, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता U(1)। रेखा गेज फ़ंक्शन के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है, यानी, एक बड़ी गेज स्वतंत्रता है। संक्षेप में, यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, गेज ज्ञात होना चाहिए। भौतिक मात्राएँ, जैसे कि मरोड़ की ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे गेज इनवेरिएंट हैं।

कूलम्ब गेज

कूलम्ब गेज (जिसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन # अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग क्वांटम रसायन विज्ञान और संघनित पदार्थ भौतिकी में किया जाता है और इसे गेज स्थिति (अधिक सटीक, गेज फिक्सिंग स्थिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है।

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.$$

यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें वेक्टर क्षमता परिमाणीकरण (भौतिकी) है, लेकिन कूलम्ब इंटरेक्शन नहीं है।

कूलम्ब गेज में कई गुण हैं:

1. The potentials can be expressed in terms of instantaneous values of the fields and densities (in International System of Units)
   $$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t)}{R}}d^{3}\mathbf {r} '$$
   $$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}d^{3}\mathbf {r} '$$
   where ρ(r, t) is the electric charge density, $\mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '$ and $R=\left|\mathbf {R} \right|$ (where r is any position vector in space and r′ is a point in the charge or current distribution), the $\nabla$ operates on r and d³ r is the volume element at r.

   The instantaneous nature of these potentials appears, at first sight, to violate causality, since motions of electric charge or magnetic field appear everywhere instantaneously as changes to the potentials. This is justified by noting that the scalar and vector potentials themselves do not affect the motions of charges, only the combinations of their derivatives that form the electromagnetic field strength. Although one can compute the field strengths explicitly in the Coulomb gauge and demonstrate that changes in them propagate at the speed of light, it is much simpler to observe that the field strengths are unchanged under gauge transformations and to demonstrate causality in the manifestly Lorentz covariant Lorenz gauge described below.

   Another expression for the vector potential, in terms of the time-retarded electric current density J(r, t), has been obtained to be:

   $$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\nabla \times \int \left[\int _{0}^{R/c}\tau \,{\frac {{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t-\tau )}\times {\mathbf {R} }}{R^{3}}}\,d\tau \right]d^{3}\mathbf {r} '.$$
2. Further gauge transformations that retain the Coulomb gauge condition might be made with gauge functions that satisfy ∇²ψ = 0, but as the only solution to this equation that vanishes at infinity (where all fields are required to vanish) is ψ(r, t) = 0, no gauge arbitrariness remains. Because of this, the Coulomb gauge is said to be a complete gauge, in contrast to gauges where some gauge arbitrariness remains, like the Lorenz gauge below.
3. The Coulomb gauge is a minimal gauge in the sense that the integral of A² over all space is minimal for this gauge: All other gauges give a larger integral. The minimum value given by the Coulomb gauge is
   $$\int \mathbf {A} ^{2}(\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\iint {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {r} '.$$
4. In regions far from electric charge the scalar potential becomes zero. This is known as the radiation gauge. Electromagnetic radiation was first quantized in this gauge.
5. The Coulomb gauge admits a natural Hamiltonian formulation of the evolution equations of the electromagnetic field interacting with a conserved current, which is an advantage for the quantization of the theory. The Coulomb gauge is, however, not Lorentz covariant. If a Lorentz transformation to a new inertial frame is carried out, a further gauge transformation has to be made to retain the Coulomb gauge condition. Because of this, the Coulomb gauge is not used in covariant perturbation theory, which has become standard for the treatment of relativistic quantum field theories such as quantum electrodynamics (QED). Lorentz covariant gauges such as the Lorenz gauge are usually used in these theories. Amplitudes of physical processes in QED in the noncovariant Coulomb gauge coincide with those in the covariant Lorenz gauge.
6. For a uniform and constant magnetic field B the vector potential in the Coulomb gauge can be expressed in the so-called symmetric gauge as
   $${\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {1}{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {B}$$
   plus the gradient of any scalar field (the gauge function), which can be confirmed by calculating the div and curl of A. The divergence of A at infinity is a consequence of the unphysical assumption that the magnetic field is uniform throughout the whole of space. Although this vector potential is unrealistic in general it can provide a good approximation to the potential in a finite volume of space in which the magnetic field is uniform.
7. As a consequence of the considerations above, the electromagnetic potentials may be expressed in their most general forms in terms of the electromagnetic fields as
   $$\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\nabla '\cdot {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '-{\frac {\partial {\psi (\mathbf {r} ,t)}}{\partial t}}$$
   गणित प्रदर्शन = खंड > \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \nabla\times\int\frac{\mathbf{B}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R }\operatorname{d}\!^3\mathbf{r}'+\nabla\psi(\mathbf{r},t)</math> कहाँ ψ(r, t) एक मनमाना अदिश क्षेत्र है जिसे गेज फ़ंक्शन कहा जाता है। फ़ील्ड जो गेज फ़ंक्शन के डेरिवेटिव हैं, उन्हें शुद्ध गेज फ़ील्ड के रूप में जाना जाता है और गेज फ़ंक्शन से जुड़ी मनमानी को गेज स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। एक गणना में जो सही ढंग से की जाती है, शुद्ध गेज शब्दों का किसी भौतिक अवलोकन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। एक मात्रा या अभिव्यक्ति जो गेज फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं होती है उसे गेज इनवेरिएंट कहा जाता है: सभी भौतिक अवलोकनों को गेज इनवेरिएंट होना आवश्यक है। कूलम्ब गेज से दूसरे गेज में गेज परिवर्तन गेज फ़ंक्शन को एक विशिष्ट फ़ंक्शन के योग के रूप में ले कर किया जाता है जो वांछित गेज परिवर्तन और मनमाना फ़ंक्शन देगा। यदि मनमाना कार्य शून्य पर सेट किया जाता है, तो गेज को स्थिर कहा जाता है। गणना एक निश्चित गेज में की जा सकती है लेकिन गेज इनवेरिएंट के तरीके से की जानी चाहिए।

लॉरेंज गेज

See also: Covariant formulation of classical electromagnetism

एसआई इकाइयों में लॉरेंज गेज स्थिति दी गई है:

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$$

और गॉसियन इकाइयों में:

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.$$

इसे फिर से लिखा जा सकता है:

$$\partial _{\mu }A^{\mu }=0.$$

कहाँ $A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]$ विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, ∂_μ 4-ढाल [[[मीट्रिक हस्ताक्षर]] (+, −, −, −)] का उपयोग करके।

लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस को बनाए रखने में बाधा गेज के बीच यह अद्वितीय है। हालाँकि, ध्यान दें कि इस गेज का नाम मूल रूप से डेनिश भौतिक विज्ञानी लुडविग लॉरेंज के नाम पर रखा गया था न कि हेंड्रिक लोरेंत्ज़ के नाम पर; इसे अक्सर लोरेंत्ज़ गेज की गलत वर्तनी दी जाती है। (गणना में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति भी नहीं थे; इसे 1888 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड | जॉर्ज एफ. फिट्जगेराल्ड द्वारा पेश किया गया था।)

लॉरेंज गेज क्षमता के लिए निम्नलिखित विषम तरंग समीकरणों की ओर जाता है:

$${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

$${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J}$$

यह इन समीकरणों से देखा जा सकता है कि, वर्तमान और आवेश की अनुपस्थिति में, समाधान वे क्षमताएँ हैं जो प्रकाश की गति से फैलती हैं।

लॉरेंज गेज कुछ अर्थों में अधूरा है: गेज परिवर्तनों का एक उप-क्षेत्र बना रहता है जो बाधा को भी संरक्षित कर सकता है। स्वतंत्रता की ये शेष डिग्री गेज कार्यों से मेल खाती हैं जो तरंग समीकरण को संतुष्ट करती हैं

$${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi$$

स्वतंत्रता की ये शेष गेज डिग्री प्रकाश की गति से फैलती हैं। पूरी तरह से निश्चित गेज प्राप्त करने के लिए, प्रयोगात्मक क्षेत्र के प्रकाश शंकु के साथ सीमा शर्तों को जोड़ना होगा।

लॉरेंज गेज में मैक्सवेल के समीकरण सरल होते हैं

$$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }$$

कहाँ $j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]$ चार धारा है।

एक ही वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन के लिए इन समीकरणों के दो समाधान वैक्यूम तरंग समीकरण के समाधान से भिन्न होते हैं

$$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.$$

इस रूप में यह स्पष्ट है कि क्षमता के घटक अलग-अलग क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए लॉरेंज गेज की स्थिति चार-संभावित में अनुप्रस्थ, अनुदैर्ध्य और समय-समान ध्रुवीकरण (तरंगों) तरंगों की अनुमति देती है। अनुप्रस्थ ध्रुवीकरण शास्त्रीय विकिरण के अनुरूप हैं, अर्थात, क्षेत्र की ताकत में अनुप्रस्थ ध्रुवीकृत तरंगें। अभौतिक अनुदैर्ध्य और समय की तरह ध्रुवीकरण राज्यों को दबाने के लिए, जो शास्त्रीय दूरी के पैमाने पर प्रयोगों में नहीं देखा जाता है, वार्ड पहचान के रूप में ज्ञात सहायक बाधाओं को भी नियोजित करना चाहिए। शास्त्रीय रूप से, ये सर्वसमिकाएँ निरंतरता समीकरण के समतुल्य हैं

$$\partial _{\mu }j^{\mu }=0.$$

शास्त्रीय और क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के बीच के कई अंतरों को उस भूमिका के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है जो अनुदैर्ध्य और समय-जैसे ध्रुवीकरण सूक्ष्म दूरी पर आवेशित कणों के बीच परस्पर क्रिया में निभाते हैं।

आर_ξगेज

द 'आर_ξ गेज लॉरेंज गेज का एक सामान्यीकरण है जो लैग्रैंगियन घनत्व के साथ एक क्रिया सिद्धांत के संदर्भ में व्यक्त सिद्धांतों पर लागू होता है। ${\mathcal {L}}$. एक सहायक समीकरण के माध्यम से गेज क्षेत्र को प्राथमिकता से बाधित करके गेज को ठीक करने के बजाय, भौतिक (गेज इनवेरिएंट) लैग्रैंगियन में गेज ब्रेकिंग शब्द जोड़ा जाता है

$$\delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}$$

पैरामीटर ξ का चुनाव गेज की पसंद को निर्धारित करता है। 'लैंडौ गेज' लोरेन्ज गेज के शास्त्रीय रूप से समतुल्य है: यह सीमा ξ→ 0 में प्राप्त किया जाता है, लेकिन उस सीमा को तब तक के लिए स्थगित कर दिया जाता है जब तक कि सिद्धांत को परिमाणित नहीं किया जाता है। यह कुछ अस्तित्व और तुल्यता प्रमाणों की कठोरता में सुधार करता है। अधिकांश क्वांटम फील्ड थ्योरी संगणनाएँ 'फेनमैन-टी हूफ्ट गेज' में सबसे सरल हैं, जिसमें ξ = 1; कुछ अन्य आर में अधिक ट्रैक्टेबल हैं_ξ गेज, जैसे कि डोनाल्ड आर. येनी गेज ξ = 3.

आर का एक समकक्ष सूत्रीकरण_ξ गेज एक सहायक क्षेत्र का उपयोग करता है, एक अदिश क्षेत्र B जिसमें कोई स्वतंत्र गतिकी नहीं है:

$$\delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}$$

सहायक क्षेत्र, जिसे कभी-कभी नकानिशी-लॉट्रुप क्षेत्र कहा जाता है, को पिछले फॉर्म को प्राप्त करने के लिए वर्ग को पूरा करके समाप्त किया जा सकता है। गणितीय दृष्टिकोण से सहायक क्षेत्र गोल्डस्टोन बोसोन की एक किस्म है, और इसके उपयोग के फायदे हैं जब सिद्धांत के स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं की पहचान की जाती है, और विशेष रूप से जब QED से परे सामान्यीकरण किया जाता है।

ऐतिहासिक रूप से, आर का उपयोग_ξ गेज एक लूप ऑर्डर से परे क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स कंप्यूटेशंस को विस्तारित करने में एक महत्वपूर्ण तकनीकी प्रगति थी। मैनिफ़ेस्ट लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस को बनाए रखने के अलावा, आर_ξनुस्खा किसी भी दो भौतिक रूप से अलग गेज कॉन्फ़िगरेशन के कार्यात्मक उपायों के अनुपात को संरक्षित करते हुए स्थानीय गेज परिवर्तनों के तहत समरूपता को तोड़ता है। यह वेरिएबल्स के परिवर्तन की अनुमति देता है जिसमें विन्यास स्थान में भौतिक दिशाओं के साथ असीम गड़बड़ी पूरी तरह से अभौतिक दिशाओं के साथ अयुग्मित होती है, जिससे उत्तरार्द्ध को कार्यात्मक अभिन्न के शारीरिक रूप से अर्थहीन सामान्यीकृत स्थिरांक में अवशोषित किया जा सकता है। जब ξ परिमित होता है, तो प्रत्येक भौतिक विन्यास (गेज परिवर्तनों के समूह की कक्षा) को एक बाधा समीकरण के एक समाधान द्वारा नहीं बल्कि गेज ब्रेकिंग टर्म के चरम पर केंद्रित गॉसियन वितरण द्वारा दर्शाया जाता है। गेज-फिक्स्ड थ्योरी के फेनमैन नियमों के संदर्भ में, यह अभौतिक ध्रुवीकरण (तरंगों) के आभासी फोटॉनों से आंतरिक लाइनों के लिए फोटॉन प्रचारक के योगदान के रूप में प्रकट होता है।

फोटॉन प्रोपगेटर, जो एक क्यूईडी गणना के फेनमैन आरेख विस्तार में एक आंतरिक फोटॉन के अनुरूप गुणक कारक है, में एक कारक जी होता है_μν मिन्कोव्स्की मीट्रिक के अनुरूप। फोटॉन ध्रुवीकरणों के योग के रूप में इस कारक के विस्तार में सभी चार संभावित ध्रुवीकरण वाले शब्द शामिल हैं। आंशिक रूप से ध्रुवीकृत विकिरण को गणितीय रूप से एक रैखिक ध्रुवीकरण या गोलाकार ध्रुवीकृत आधार पर योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसी तरह, आगे और पीछे ध्रुवीकरण प्राप्त करने के लिए अनुदैर्ध्य और समय की तरह गेज ध्रुवीकरणों को जोड़ सकते हैं; ये प्रकाश-शंकु निर्देशांक का एक रूप हैं जिसमें मीट्रिक ऑफ-डायगोनल होता है। जी. का विस्तार_μν चक्रीय रूप से ध्रुवीकृत (स्पिन ±1) और प्रकाश-शंकु निर्देशांक के संदर्भ में कारक को स्पिन योग कहा जाता है। प्रचक्रण योग व्यंजकों को सरल बनाने और सैद्धांतिक परिकलन में विभिन्न शब्दों से जुड़े प्रयोगात्मक प्रभावों की भौतिक समझ प्राप्त करने, दोनों में बहुत सहायक हो सकता है।

रिचर्ड फेनमैन ने मोटे तौर पर गणना प्रक्रियाओं को सही ठहराने के लिए लगभग इन पंक्तियों के साथ तर्कों का इस्तेमाल किया, जो महत्वपूर्ण अवलोकन योग्य मापदंडों जैसे कि इलेक्ट्रॉन के विषम चुंबकीय क्षण के लिए सुसंगत, परिमित, उच्च परिशुद्धता परिणाम उत्पन्न करते हैं। हालांकि उनके तर्कों में कभी-कभी भौतिकविदों के मानकों से भी गणितीय कठोरता का अभाव था और वार्ड-ताकाहाशी पहचान की व्युत्पत्ति जैसे विवरणों पर प्रकाश डाला गया था। जूलियन श्विंगर और हार्ट-इचिरो टोमोनागा के लिए, जिनके साथ फेनमैन ने भौतिकी में 1965 का नोबेल पुरस्कार साझा किया था।

आगे और पीछे के ध्रुवीकृत विकिरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं में छोड़ा जा सकता है (वार्ड-ताकाहाशी पहचान देखें)। इस कारण से, और क्योंकि स्पिन राशियों में उनकी उपस्थिति को QED में एक मात्र गणितीय उपकरण के रूप में देखा जा सकता है (क्लासिकल इलेक्ट्रोडायनामिक्स में विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता की तरह), उन्हें अक्सर अभौतिक कहा जाता है। लेकिन उपरोक्त बाधा-आधारित गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं के विपरीत, R_ξगेज गैर-अबेलियन गेज सिद्धांत | गैर-अबेलियन गेज समूहों जैसे क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स के एसयू (3) के लिए अच्छी तरह से सामान्यीकृत करता है। भौतिक और अभौतिक गड़बड़ी कुल्हाड़ियों के बीच युग्मन चर के संगत परिवर्तन के तहत पूरी तरह से गायब नहीं होते हैं; सही परिणाम प्राप्त करने के लिए, विस्तृत कॉन्फ़िगरेशन के स्थान के भीतर गैर-तुच्छ जैकोबियन मैट्रिक्स और गेज स्वतंत्रता अक्षों के एम्बेडिंग के निर्धारक के लिए खाता होना चाहिए। इससे फदीदेव-पोपोव भूतों के साथ-साथ फेनमैन आरेखों में आगे और पीछे के ध्रुवीकृत गेज बोसोन की स्पष्ट उपस्थिति होती है, जो कि और भी अभौतिक हैं क्योंकि वे स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय का उल्लंघन करते हैं। इन संस्थाओं के बीच संबंध, और वे क्वांटम यांत्रिक अर्थों में कणों के रूप में प्रकट नहीं होने के कारण, परिमाणीकरण के बीआरएसटी औपचारिकता में अधिक स्पष्ट हो जाते हैं।

मैक्सिमल एबेलियन गेज

किसी भी गैर-गेज सिद्धांत में, कोई भी अधिकतम एबेलियन गेज एक अपूर्ण गेज है जो अधिकतम एबेलियन उपसमूह के बाहर गेज की स्वतंत्रता को ठीक करता है। उदाहरण हैं

• डी आयामों में एसयू (2) गेज सिद्धांत के लिए, अधिकतम एबेलियन उपसमूह एक यू (1) उपसमूह है। यदि इसे पाउली मैट्रिक्स σ द्वारा उत्पन्न होने के लिए चुना जाता है₃, तो अधिकतम एबेलियन गेज वह है जो फ़ंक्शन को अधिकतम करता है
  $$\int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,$$
  कहाँ
  $${\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.$$
• D आयामों में SU(3) गेज सिद्धांत के लिए, अधिकतम एबेलियन उपसमूह एक U(1)×U(1) उपसमूह है। यदि इसे गेल-मैन मैट्रिसेस λ द्वारा उत्पन्न होने के लिए चुना जाता है₃ और λ₈, तो अधिकतम एबेलियन गेज वह है जो फ़ंक्शन को अधिकतम करता है
  $$\int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,$$
  कहाँ
  $${\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}$$

यह उच्च बीजगणित (बीजगणित में समूहों के) में नियमित रूप से लागू होता है, उदाहरण के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित और जैसा कि यह नियमित रूप से होता है।

कम आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले गेज

साहित्य में विभिन्न अन्य गेज, जो विशिष्ट परिस्थितियों में फायदेमंद हो सकते हैं, प्रकट हुए हैं।

वेइल गेज

वेइल गेज (हैमिल्टनियन या टेम्पोरल गेज के रूप में भी जाना जाता है) पसंद से प्राप्त एक अपूर्ण गेज है

$$\varphi =0$$

इसका नाम हरमन वेइल के नाम पर रखा गया है। यह नकारात्मक-मानक भूत (भौतिकी) को समाप्त करता है, लोरेन्ट्ज़ इनवेरिएंस को प्रकट नहीं करता है, और अनुदैर्ध्य फोटोन और राज्यों पर एक बाधा की आवश्यकता होती है।

बहुध्रुवीय गेज

बहुध्रुवीय गेज की गेज स्थिति (जिसे लाइन गेज, पॉइंट गेज या पॉइनकेयर गेज (हेनरी पोंकारे के नाम पर) के रूप में भी जाना जाता है) है:

$$\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0.$$

यह एक और गेज है जिसमें तात्क्षणिक क्षेत्रों के संदर्भ में क्षमता को सरल तरीके से व्यक्त किया जा सकता है

$$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \times \int _{0}^{1}\mathbf {B} (u\mathbf {r} ,t)u\,du$$

$$\varphi (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \cdot \int _{0}^{1}\mathbf {E} (u\mathbf {r} ,t)du.$$

फॉक-श्विंगर गेज

फॉक-श्विंगर गेज की गेज स्थिति (व्लादिमीर फॉक और जूलियन श्विंगर के नाम पर, जिसे कभी-कभी सापेक्षतावादी पोंकारे गेज भी कहा जाता है) है:

$$x^{\mu }A_{\mu }=0$$

जहां एक्स^μ स्थिति चार-वेक्टर है।

डायराक गेज

नॉनलाइनियर डायराक गेज स्थिति (पॉल डिराक के नाम पर) है:

$$A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}$$

अग्रिम पठन

• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (2007). The classical theory of fields. Amsterdam: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Jackson, J. D. (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.