पतित शंकु

पतित शांकव
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ज्यामिति में, एक पतित शंकु (डिग्री समतल वक्र, डिग्री के बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित) होती है जो कि एक अलघुकरणीय वक्र होने में विफल है। इसका मतलब यह है कि परिभाषित समीकरण दो रैखिक बहुपदों के उत्पाद के रूप में जटिल संख्याओं (या सामान्यत: बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर) एक कारक है। समतल और दोहरे शंकु (ज्यामिति) के त्रि-आयामी स्थान में चौराहे के रूप में शंकु की वैकल्पिक परिभाषा का उपयोग करते हुए, एक शंकु पतित हो जाता है यदि विमान शंकु के शीर्ष से होकर जाता है।

वास्तविक तल में, एक पतित शंकु दो रेखाएँ हो सकती हैं या समानांतर हो सकती हैं या नहीं भी हो सकती हैं, एक एकल रेखा (या तो दो संयोग रेखाएँ या एक अनंत रेखा), पर एक बिंदु (वास्तव में, दो जटिल संयुग्मित रेखाएँ), या दो समानांतर जटिल संयुग्म रेखाएँ) हो सकती हैं।

ये सभी पतित शंकु शांकवों की पेंसिलों (गणित) में हो सकते हैं अर्थात्, यदि दो वास्तविक गैर-अपभ्रष्ट शांकवों को द्विघात बहुपद समीकरणों f = 0 और g = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता तो समीकरणों के शंकु af + bg = 0 एक पेंसिल बनाते हैं, जिसमें एक या तीन पतित शांकव होते हैं। वास्तविक तल में किसी भी पतित शंकु के लिए,f और g को चुना जा सकता है ताकि दिया गया पतित शंकु उस पेंसिल से संबंधित हो जिसे वे निर्धारित करते हैं।

उदाहरण

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वृत्तों की पेंसिलें: लाल वृत्तों की पेंसिलों में, एकमात्र पतित शंकु क्षैतिज अक्ष है; नीले वृत्तों की पेंसिल में तीन पतित शंकु, ऊर्ध्वाधर अक्ष और शून्य त्रिज्या के दो वृत्त हैं।

समीकरण वाला शांकव खंड $x^{2}-y^{2}=0$ पतित है चूंकि इसके समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है $(x-y)(x+y)=0$, और एक X बनाने वाली दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से मेल खाती है। यह पतित शंकु सीमा स्थितियों के रूप में होता है $a=1,b=0$ समीकरणों के अतिपरवलयों की पेंसिल (गणित) में $a(x^{2}-y^{2})-b=0.$ लिमिटिंग केस $a=0,b=1$ एक पतित शंकु का उदाहरण है जिसमें अनंत पर दो रेखा होती है।

इसी प्रकार, समीकरण $x^{2}+y^{2}=0$,जिसमें केवल एक वास्तविक बिंदु है, के साथ शांकव खंड पतित है, जैसा कि $x^{2}+y^{2}$ फैक्टरेबल है क्योंकि $(x+iy)(x-iy)$ सम्मिश्र संख्याओं पर। शंकु में इस प्रकार दो जटिल संयुग्मी रेखाएँ होती हैं जो शंकु के अद्वितीय वास्तविक बिंदु, $(0,0)$में प्रतिच्छेद करती हैं।

समीकरणों के दीर्घवृत्त की पेंसिल $ax^{2}+b(y^{2}-1)=0$ पतित, के लिए $a=0,b=1$, दो समानांतर रेखाओं में और, $a=1,b=0$, एक दोहरी रेखा में।

समीकरणों के हलो की पेंसिल $a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0$ के लिए $a=0$ दो पंक्तियों, अनंत पर रेखा और समीकरण की रेखा $x=0$ में पतित हो जाता है।

वर्गीकरण

जटिल प्रक्षेपी तल पर केवल दो प्रकार के पतित शंकु होते हैं - दो अलग-अलग रेखाएँ, जो अनिवार्य रूप से एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या एक दोहरी रेखा। किसी भी पतित शंकु को प्रक्षेपी रूपांतरण द्वारा उसी प्रकार के किसी अन्य पतित शंकु में रूपांतरित किया जा सकता है।

वास्तविक संबंध तल पर स्थिति अधिक जटिल है। एक पतित वास्तविक शंकु हो सकता है:

• दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ, जैसे $x^{2}-y^{2}=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0$
• दो समानांतर रेखाएँ, जैसे $x^{2}-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0$
• एक दोहरी रेखा (बहुलता 2), जैसे $x^{2}=0$
• दो अन्तर्विभाजक जटिल संयुग्म रेखाएँ (केवल एक वास्तविक बिंदु), जैसे $x^{2}+y^{2}=0\Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0$
• दो समानांतर जटिल संयुग्मी रेखाएँ (कोई वास्तविक बिंदु नहीं), जैसे $x^{2}+1=0\Leftrightarrow (x+i)(x-i)=0$
• एक एकल रेखा और अनंत पर रेखा
• अनंत पर दो बार रेखा (एफ़िन विमान में कोई वास्तविक बिंदु नहीं)

एक ही वर्ग के किन्हीं दो पतित शंकुों के लिए, पहले शांकव से दूसरे शांकव की मैपिंग करने वाले परिरूप रूपांतरण होते हैं।

विवेचक

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पतित हाइपरबोला $3x^{2}-2xy-y^{2}-6x+10y-9=0,$ कौन से कारक हैं $(x-y+1)(3x+y-9)=0,$ लाल और नीले लोकी का मिलन (गणित) है।

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पतित परबोला $9x^{2}+12xy+4y^{2}-54x-36y+72$ $=0,$ कौन से कारक हैं $(3x+2y-6)(3x+2y-12)=0,$ लाल और नीले लोकी का मिलन है।

गैर-पतित वास्तविक शांकवों को गैर-सजातीय रूप के विभेदक द्वारा दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F$, जो मैट्रिक्स का निर्धारक है

$M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix}},$

$(x,y)$. यह निर्धारक धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक होता है चूंकि शंकु क्रमशः दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय होता है।

अनुरूप से, एक शंकु को सजातीय द्विघात रूप के विभेदक के अनुसार गैर-पतित या पतित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है $(x,y,z)$. यहां एफाइन फॉर्म को समरूप बनाया गया है

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2};$

इस रूप का विविक्तकर मैट्रिक्स का निर्धारक है

$Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\\\end{bmatrix}}.$

शांकव पतित है अगर और केवल अगर इस मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है। इस स्थिति में, हमारे पास निम्नलिखित संभावनाएं हैं:

• दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ (एक अतिपरवलय इसके दो स्पर्शोन्मुख में पतित) यदि और केवल यदि $\det M<0$.
• दो समानांतर सीधी रेखाएँ (एक पतित परवलय) यदि और केवल यदि $\det M=0$. ये रेखाएँ विशिष्ट और वास्तविक हैं यदि $D^{2}+E^{2}>(A+C)F$ , संयोग यदि $D^{2}+E^{2}=(A+C)F$, और वास्तविक तल में मौजूद नहीं है $D^{2}+E^{2}<(A+C)F$.
• एक एकल बिंदु (एक पतित दीर्घवृत्त) यदि और केवल यदि $\det M>0$.
• एक एकल रेखा (और अनंत पर रेखा) यदि और केवल यदि $A=B=C=0,$ और $D$ और $E$ दोनों शून्य नहीं हैं। यह स्थिति हमेशा वृत्तों की एक पेंसिल में पतित शंकु के रूप में होती है। हालांकि, अन्य संदर्भों में इसे पतित शंकु के रूप में नहीं माना जाता है, चूंकि इसका समीकरण 2 डिग्री का नहीं है।

संपाती रेखाओं की स्थिति तब होती है जब 3 × 3 मैट्रिक्स की रैंक होती है $Q$ 1 है; अन्य सभी पतित स्थितियों में इसकी रैंक 2 है।

समतल और शंकु के प्रतिच्छेदन से संबंध

शंकु, जिन्हें उनके त्रि-आयामी ज्यामिति पर जोर देने के लिए शंकु खंड के रूप में भी जाना जाता है, एक शंकु के साथ समतल (ज्यामिति) के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होते हैं। अध: पतन तब होता है जब समतल में शंकु काशीर्ष (ज्यामिति) होता है या जब शंकु एक बेलन में पतित हो जाता है और तल बेलन की धुरी के समानांतर होता है। विवरण के लिए शांकव अनुभाग#डीजेनरेट होता है।

अनुप्रयोग

पतित शंकु, जैसा कि पतित बीजगणितीय किस्मों के साथ होता है, सामान्यत: गैर-पतित शंकु की सीमा के रूप में उत्पन्न होता है, और बीजगणितीय वक्रों के मापांक के संघनन (गणित) में महत्वपूर्ण होता है।

उदाहरण के लिए, वक्रों की पेंसिल (गणित) (शंकुओं की 1-आयामी रैखिक प्रणाली) गैर है $x^{2}+ay^{2}=1$ के लिए गैर-पतित है लेकिन $a\neq 0$ ठोस रूप से, यह $a=0;$ के लिए एक दीर्घवृत्त है, $a>0,$ के लिए दो समानांतर रेखाएँ $a=0,$ और के साथ एक हाइपरबोला $a<0$ - कुल मिलाकर, एक अक्ष की लंबाई 2 है और दूसरी की लंबाई $1/{\sqrt {|a|}},$ है जो $a=0.$ के लिए अनंत है

ऐसे परिवार स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं - सामान्य रैखिक स्थिति में चार बिंदु दिए गए हैं (एक बिंदु रेखा पर तीन माध्यम नहीं), उनके माध्यम से शांकवों की एक पेंसिल होती है ( पांच बिंदु एक शंकु निर्धारित करते हैं , चार बिंदु एक पैरामीटर मुक्त अवशिष्‍ट हैं), जिनमें से तीन पतित हैं, प्रत्येक के अनुरूप लाइनों की एक जोड़ी से मिलकर $\textstyle {{\binom {4}{2,2}}=3}$ 4 बिंदुओं में से 2 जोड़े बिंदुओं को चुनने के तरीके (बहुराष्ट्रीय गुणांक के माध्यम से गिनती होती है।)

उदाहरण के लिए, चार बिंदु दिए गए हैं $(\pm 1,\pm 1),$ उनके माध्यम से शांकवों की पेंसिल को इस रूप में परिचालित किया जा सकता है $(1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,$ निम्नलिखित पेंसिल उपज; सभी स्थितियों में केंद्र मूल में है:

• $a>1:$ अतिपरवलय बाएँ और दाएँ खोलना;
• $a=1:$ समानांतर खड़ी रेखाएँ $x=-1,\ x=1;$
• $0<a<1:$ दीर्घवृत्त एक ऊर्ध्वाधर प्रमुख अक्ष के साथ;
• $a=0:$ एक वृत्त (त्रिज्या के साथ ${\sqrt {2}}$);
• $-1<a<0:$ दीर्घवृत्त एक क्षैतिज प्रमुख अक्ष के साथ;
• $a=-1:$ समानांतर क्षैतिज रेखाएँ $y=-1,\ y=1;$
• $a<-1:$ हाइपरबोला ऊपर और नीचे खुल रहा है,
• $a=\infty :$ विकर्ण रेखाएँ $y=x,\ y=-x;$

(द्वारा विभाजित $a$ और सीमा के रूप में ले रहा है $a\to \infty$ पैदावार $x^{2}-y^{2}=0$)

• इसके बाद चारों ओर चक्कर लगाता है $a>1,$ चूँकि पेंसिल एक प्रक्षेपी रेखा है।

ध्यान दें कि इस मानकीकरण में एक समरूपता है, जहां एक के चिह्न को बदलने से x और y का उलटा होता है। की शब्दावली में (लेवी 1964) की शब्दावली में,यह शांकवों की एक प्रकार I रैखिक प्रणाली है, और लिंक किए गए वीडियो में एनिमेटेड है।

इस तरह के एक परिवार का एक उल्लेखनीय अनुप्रयोग (फौसेट 1996) में है, जो चतुर्थक की चार जड़ों के माध्यम से शांकवों की पेंसिल पर विचार करके बीजगणितीय ज्यामिति के साथ हल करना, और विलायक घन की तीन जड़ों के साथ तीन पतित शंकुओं की पहचान करके एक चतुर्थक समीकरण का ज्यामितीय समाधान देता है।

पप्पस का षट्भुज प्रमेय पास्कल के प्रमेय का विशेष स्थिति है, जब एक शंकु दो पंक्तियों में पतित होता है।

अध: पतन

जटिल प्रक्षेपीय प्लेन में, सभी शंकु समतुल्य होते हैं, और या तो दो अलग-अलग रेखाओं या एक डबल लाइन में पतित हो सकते हैं।

वास्तविक संबंध प्लेन में:

• हाइपरबोलस दो अन्तर्विभाजक लाइनों (एसिम्पटोट्स) में पतित हो सकता है, जैसा कि में है $x^{2}-y^{2}=a^{2},$ या दो समानांतर रेखाओं के लिए: $x^{2}-a^{2}y^{2}=1,$ या दोहरी रेखा जैसे $x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2},$ 0 पर जाता है।
• परवलय दो समानांतर रेखाओं में पतित हो सकते हैं: $x^{2}-ay-1=0$ या दोहरी रेखा $x^{2}-ay=0,$ जैसे 0 पर जाता है; लेकिन, चूँकि परवलय का अनंत पर एक दोहरा बिंदु होता है, इसलिए यह दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में परिवर्तित नहीं हो सकता है।
• दीर्घवृत्त दो समानांतर रेखाओं में पतित हो सकते हैं: $x^{2}+a^{2}y^{2}-1=0$ या दोहरी रेखा $x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}=0,$ जैसा a 0 पर जाता है; लेकिन, चूँकि उनके पास अनंत पर संयुग्मित जटिल बिंदु हैं जो अध: पतन पर एक दोहरा बिंदु बन जाते हैं, दो प्रतिच्छेदन रेखाओं में पतित नहीं हो सकते।

अपभ्रष्ट शंकु और अधिक विशेष पतित शंकुवों में पतित हो सकते हैं, जैसा कि अनंत पर स्थानों और बिंदुओं के आयामों द्वारा इंगित किया गया है।

• दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ समानांतर तक घुमाकर दो समानांतर रेखाओं में पतित हो सकती हैं, जैसा कि $x^{2}-ay^{2}-1=0,$ एक बिंदु के बारे में एक दूसरे में घुमाकर एक दोहरी रेखा पर, जैसा कि $x^{2}-ay^{2}=0,$ प्रत्येक स्थिति में a के रूप में 0 जाता है।
• दो समानांतर रेखाएँ एक दूसरे में जाकर एक दोहरी रेखा में पतित हो सकती हैं, जैसे कि $x^{2}-a^{2}=0$ के रूप में a 0 तक जाता है, लेकिन गैर-समानांतर रेखाओं में पतित नहीं हो सकता।
• एक दोहरी रेखा अन्य प्रकारों में पतित नहीं हो सकती।
• दीर्घवृत्त के लिए एक अन्य प्रकार का अध: पतन तब होता है जब फ़ॉसी की दूरियों का योग इंटरफोकल दूरी के बराबर होना अनिवार्य होता है; इस प्रकार इसमें अर्ध-लघु अक्ष शून्य के बराबर है और उत्केन्द्रता एक के बराबर है। परिणाम एकरेखा खंड है (पतित हो जाता है क्योंकि दीर्घवृत्त समापन बिंदुओं पर भिन्न नहीं होता है) समापन बिंदुओं पर इसकेफोकस (ज्यामिति) के साथ। एक कक्षा के रूप में, यह एक #रेडियल अंडाकार प्रक्षेपवक्र है।

परिभाषित करने के लिए अंक

एक सामान्य शंकु को पांच बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जाता है:सामान्य स्थिति में पांच बिंदु दिए गए हैं, उनके बीच से गुजरने वाला एक अद्वितीय शंकु है। यदि इनमें से तीन बिंदु एक रेखा पर स्थित हैं, तो शंकु कम हो जाता है, और अद्वितीय हो भी सकता है और नहीं भी। यदि कोई चार बिंदु संरेख नहीं हैं, तो पांच बिंदु एक अद्वितीय शंकु को परिभाषित करते हैं (यदि तीन बिंदु संरेख हैं,तो पतित हो जाते हैं, लेकिन अन्य दो बिंदु अद्वितीय अन्य रेखा निर्धारित करते हैं)। यदि चार बिंदु संरेख हैं, चूँकि, उनके बीच से गुजरने वाला एक अद्वितीय शंकु नहीं है - एक रेखा चार बिंदुओं से होकर गुजरती है, और शेष रेखा दूसरे बिंदु से होकर गुजरती है, लेकिन कोण अपरिभाषित है, 1 पैरामीटर मुक्त छोड़ता है। यदि सभी पाँच बिंदु समरेख हैं, तो शेष रेखा मुक्त है, जो 2 पैरामीटर मुक्त छोड़ती है।

सामान्य रेखीय स्थिति में चार बिंदु दिए गए हैं (कोई तीन संरेख नहीं; विशेष रूप से, कोई दो संयोग नहीं), उनके बीच से गुजरने वाली रेखाओं के ठीक तीन जोड़े (पतित शंकु) हैं, जो सामान्य रूप से प्रतिच्छेद करेंगे, जब तक कि बिंदु एक समलम्बाकार नहीं बनाते (एक जोड़ी समानांतर है) या एक समांतर चतुर्भुज (दो जोड़े समानांतर हैं)।

तीन बिंदुओं को देखते हुए, यदि वे गैर-समरेख हैं, तो उनके बीच से गुजरने वाली समानांतर रेखाओं के तीन जोड़े हैं - एक रेखा को परिभाषित करने के लिए दो का चयन करते है, और समानांतर रेखा के माध्यम से गुजरने के लिए तीसरी रेखा का चयन करते है।

दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए, उनके माध्यम से एक अद्वितीय दोहरी रेखा होती है।

संदर्भ

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• Faucette, William Mark (January 1996), "A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial", The American Mathematical Monthly, 103 (1): 51–57, CiteSeerX 10.1.1.111.5574, JSTOR 2975214
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