अमूर्त बीजगणित: Difference between revisions
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{{More footnotes|date=June 2019}}गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणित]], अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का अध्ययन है।<ref>{{Cite book |last1=Finston |first1=David R. |url=https://www.google.com/books/edition/Abstract_Algebra/rLZjBAAAQBAJ?hl=en&gbpv=1 |title=सार बीजगणित: संरचना और अनुप्रयोग|last2=Morandi |first2=Patrick J. |date=29 August 2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-04498-9 |page=58 |language=en |quote=अमूर्त बीजगणित के हमारे अधिकांश अध्ययन में संरचनाओं और उनके कार्यों का विश्लेषण शामिल है}}</ref> बीजगणितीय संरचनाओं में [[समूह (गणित)|समूह]] , वलय , [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] , [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] , सदिश स्थान, | {{More footnotes|date=June 2019}}गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणित]] में, अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का अध्ययन है।<ref>{{Cite book |last1=Finston |first1=David R. |url=https://www.google.com/books/edition/Abstract_Algebra/rLZjBAAAQBAJ?hl=en&gbpv=1 |title=सार बीजगणित: संरचना और अनुप्रयोग|last2=Morandi |first2=Patrick J. |date=29 August 2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-04498-9 |page=58 |language=en |quote=अमूर्त बीजगणित के हमारे अधिकांश अध्ययन में संरचनाओं और उनके कार्यों का विश्लेषण शामिल है}}</ref> बीजगणितीय संरचनाओं में [[समूह (गणित)|समूह]] , वलय , [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] , [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] , सदिश स्थान, लैटिस (क्रम) और [[एक क्षेत्र पर बीजगणित]] सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित शब्द 20वीं शताब्दी के आरम्भ में बीजगणित के पुराने हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को पृथक करने के लिए गढ़ा गया था, और विशेष रूप से [[प्राथमिक बीजगणित]] से, संगणना और तर्क में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए [[चर (गणित)|चर]] का उपयोग।बीजगणित के प्रगत अमूर्त भाग को अमूर्त बीजगणित कहते हैं। | ||
बीजगणितीय संरचनाएं, | बीजगणितीय संरचनाएं, उनकी संबद्ध [[समरूपता]] के साथ, गणितीय [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] बनाती हैं। [[श्रेणी सिद्धांत]] एक औपचारिकता है जो विभिन्न संरचनाओं के समान गुणों और निर्माणों को व्यक्त करने के लिए एक एकीकृत पद्धति की अनुमति देता है। | ||
[[सार्वभौमिक बीजगणित]] एक संबंधित विषय है जो एकल वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, समूहों की संरचना सार्वभौमिक बीजगणित में एक एकल वस्तु है,और जिसे समूहों की [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)]] कहा जाता है। | [[सार्वभौमिक बीजगणित]] एक संबंधित विषय है जो एकल वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, समूहों की संरचना सार्वभौमिक बीजगणित में एक एकल वस्तु है,और जिसे समूहों की [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)]] कहा जाता है। | ||
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== इतिहास == | == इतिहास == | ||
उन्नीसवीं शताब्दी से पहले, बीजगणित का अर्थ बहुपद समीकरणों के समाधान का अध्ययन था। सार बीजगणित उन्नीसवीं शताब्दी के समय अधिक जटिल समस्याओं और समाधान विधियों के विकास के रूप में अस्तित्व में आया था। ठोस समस्याएं और उदाहरण संख्या सिद्धांत, ज्यामिति, विश्लेषण और [[बीजगणितीय समीकरण]] के समाधान से आए हैं। अधिकांश सिद्धांत जिन्हें अब अमूर्त बीजगणित के भागों के रूप में पहचाना जाता है, गणित की विभिन्न शाखाओं से भिन्न तथ्यों के संग्रह के रूप में शुरू हुए, एक सामान्य विषय प्राप्त किया जो कि एक कोर के रूप में कार्य करता था जिसके चारों ओर विभिन्न परिणाम समूहित किए गए थे, और अंततः अवधारणाओं के एक सामान्य समूह के आधार पर एकीकृत हो गया था। यह एकीकरण 20वीं शताब्दी के आरम्भिक दशकों में हुआ और इसके परिणामस्वरूप विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूहों, रिंगों और क्षेत्रों की औपचारिक [[स्वयंसिद्ध]] परिभाषाएँ सामने आईं।{{sfn|Kleiner|2007|pp=xi-xii}} यह ऐतिहासिक विकास लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले उपचार के लगभग विपरीत है, जैसे कि वैन डेर वेर्डन का मॉडर्न बीजगणित,<ref>{{Cite book |last=van der Waerden |first=Bartel Leendert |title=आधुनिक बीजगणित। वॉल्यूम I|publisher=Frederick Ungar Publishing Co. |year=1949 |location=New York, N. Y. |translator-last=Blum |translator-first=Fred |mr=0029363}}</ref> जो प्रत्येक अध्याय को संरचना की औपचारिक परिभाषा के साथ आरम्भ करते हैं और उसके बाद ठोस उदाहरणों के साथ इसका पालन करते हैं।{{sfn|Kleiner|2007|p=41}} | उन्नीसवीं शताब्दी से पहले, बीजगणित का अर्थ बहुपद समीकरणों के समाधान का अध्ययन था। सार बीजगणित उन्नीसवीं शताब्दी के समय अधिक जटिल समस्याओं और समाधान विधियों के विकास के रूप में अस्तित्व में आया था।अमूर्त बीजगणित शब्द को 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में बीजगणित के अन्य हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को अलग करने के लिए तैयार किया गया था। ठोस समस्याएं और उदाहरण संख्या सिद्धांत, ज्यामिति, विश्लेषण और [[बीजगणितीय समीकरण]] के समाधान से आए हैं। अधिकांश सिद्धांत जिन्हें अब अमूर्त बीजगणित के भागों के रूप में पहचाना जाता है, गणित की विभिन्न शाखाओं से भिन्न तथ्यों के संग्रह के रूप में शुरू हुए, एक सामान्य विषय प्राप्त किया जो कि एक कोर के रूप में कार्य करता था जिसके चारों ओर विभिन्न परिणाम समूहित किए गए थे, और अंततः अवधारणाओं के एक सामान्य समूह के आधार पर एकीकृत हो गया था। यह एकीकरण 20वीं शताब्दी के आरम्भिक दशकों में हुआ और इसके परिणामस्वरूप विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूहों, रिंगों और क्षेत्रों की औपचारिक [[स्वयंसिद्ध]] परिभाषाएँ सामने आईं।{{sfn|Kleiner|2007|pp=xi-xii}} यह ऐतिहासिक विकास लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले उपचार के लगभग विपरीत है, जैसे कि वैन डेर वेर्डन का मॉडर्न बीजगणित,<ref>{{Cite book |last=van der Waerden |first=Bartel Leendert |title=आधुनिक बीजगणित। वॉल्यूम I|publisher=Frederick Ungar Publishing Co. |year=1949 |location=New York, N. Y. |translator-last=Blum |translator-first=Fred |mr=0029363}}</ref> जो प्रत्येक अध्याय को संरचना की औपचारिक परिभाषा के साथ आरम्भ करते हैं और उसके बाद ठोस उदाहरणों के साथ इसका पालन करते हैं।{{sfn|Kleiner|2007|p=41}} | ||
=== प्रारंभिक बीजगणित === | === प्रारंभिक बीजगणित === | ||
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बहुपद समीकरणों या [[बीजगणितीय समीकरण]] के अध्ययन का एक लंबा इतिहास रहा है। | बहुपद समीकरणों या [[बीजगणितीय समीकरण]] के अध्ययन का एक लंबा इतिहास रहा है। १८०० ई. से पहले गणित का सरोकार मुख्यतः दो सामान्य समझ-बूझ की संकल्पनाओं, संख्या और आकृति से था। १९वीं शताब्दी के आरम्भ में दो नए विचारों ने गणित के क्षेत्र को एकदम विस्तृत कर दिया ।1700 ई.पू. के आसपास, बेबीलोनिया शब्द समस्याओं के रूप में निर्दिष्ट द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम थे। इस शब्द समस्या चरण को [[आलंकारिक बीजगणित]] के रूप में वर्गीकृत किया गया है और 16वीं शताब्दी तक यह प्रभावी दृष्टिकोण था। मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने 830 ईस्वी में बीजगणित शब्द की उत्पत्ति की थी, लेकिन उनका काम पूरी तरह अलंकारिक बीजगणित था। पूरी तरह से प्रतीकात्मक बीजगणित फ्रांकोइस विएते के 1591 नया बीजगणित तक प्रकट नहीं हुआ था, और यहां तक कि इसमें कुछ वर्तनी वाले शब्द थे जिन्हें डेसकार्टेस के 1637 कानून ज्यामिति में प्रतीक दिए गए थे।{{sfn|Kleiner|2007|pp=1-13}} प्रतीकात्मक समीकरणों को हल करने के औपचारिक अध्ययन ने [[लियोनहार्ड यूलर]] को 18वीं शताब्दी के अंत में नकारात्मक संख्याओं और [[काल्पनिक संख्या]] जैसी निरर्थक जड़ों को स्वीकार करने के लिए प्रेरित किया गया।<ref>{{Cite book |last=Euler |first=Leonard |url=https://books.google.com/books?id=jQ1bAAAAQAAJ&pg=PA104 |title=इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का एक परिचय|date=1748 |publisher=Marc Michel Bosquet & Co. |volume=1 |location=Lucerne, Switzerland |page=104 |language=la |trans-title=Introduction to the Analysis of the Infinite}}</ref> यद्यपि, यूरोपीय गणितज्ञों ने, अधिकांश भाग के लिए, 19वीं शताब्दी के मध्य तक इन अवधारणाओं का विरोध किया।<ref>{{Cite book |last=Martinez |first=Alberto |title=नकारात्मक गणित|date=2014 |publisher=Princeton University Press |pages=80–109}}</ref> जॉर्ज पीकॉक (गणितज्ञ) का 1830 का बीजगणित का ग्रंथ बीजगणित को कड़ाई से प्रतीकात्मक आधार पर रखने का पहला प्रयास था। और उन्होंने पुराने [[अंकगणितीय बीजगणित]] से अलग एक नए [[प्रतीकात्मक बीजगणित]] को प्रतिष्ठित किया। जबकि अंकगणित बीजगणित में <math>a - b</math> तक सीमित है <math>a \geq b</math>, प्रतीकात्मक बीजगणित में संचालन के सभी नियम बिना किसी प्रतिबंध के लागू होते हैं। इसका उपयोग करके मोर जैसे कानून दिखा सकता है <math>(-a)(-b) = ab</math>, जैसे भी हो <math>a=0,c=0</math> में <math>(a - b)(c - d)=ac + bd - ad - bc</math>. मयूर ने अपने तर्क को सही ठहराने के लिए समकक्ष रूपों के स्थायित्व के सिद्धांत का प्रयोग किया, लेकिन उसका तर्क [[प्रेरण की समस्या]] से ग्रस्त था।{{sfn|Kleiner|2007|pp=13-14}} उदाहरण के लिए, <math>\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]]ओं के लिए मान्य है, लेकिन सामान्य सम्मिश्र संख्याओं के लिए नहीं। | ||
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अमूर्त बीजगणित, इसे कभी-कभी 'आधुनिक बीजगणित' भी कहा जाता है।19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी के आरम्भ में गणित की पद्धति में परिवर्तन देखा गया। सार बीजगणित 20 वीं शताब्दी के आरम्भ में आधुनिक बीजगणित के नाम से उभरा। और इसका अध्ययन गणित में अधिक [[बौद्धिक कठोरता]] के अभियान का हिस्सा था। प्रारंभ में, शास्त्रीय बीजगणित की मान्यताएँ, जिन पर पूरा गणित (और [[प्राकृतिक विज्ञान]] के प्रमुख भाग) निर्भर करता है, स्वयंसिद्ध प्रणालियों का रूप ले लिया। ठोस वस्तुओं के गुणों को स्थापित करने से संतुष्ट नहीं होने पर, गणितज्ञों ने अपना ध्यान सामान्य सिद्धांत की ओर मोड़ना शुरू कर दिया। 19वीं शताब्दी में कुछ बीजगणितीय संरचनाओं की औपचारिक परिभाषाएँ सामने आने लगीं। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन के विभिन्न समूहों के परिणाम सामान्य प्रमेयों के उदाहरणों के रूप में देखे जाने लगे जो एक सार समूह की सामान्य धारणा से संबंधित हैं। विभिन्न गणितीय वस्तुओं की संरचना और वर्गीकरण के प्रश्न सामने आए। | |||
ये प्रक्रियाएँ पूरे गणित में घटित हो रही थीं, लेकिन बीजगणित में विशेष रूप से स्पष्ट हो गईं। समूह , वलय और क्षेत्र जैसी कई बुनियादी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए आदिम संक्रियाओं और अभिगृहीतों के माध्यम से औपचारिक परिभाषा प्रस्तावित की गई थी। इसलिए समूह सिद्धांत और वलय सिद्धांत जैसी चीजों ने [[शुद्ध गणित]] में अपना स्थान ले लिया। [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] द्वारा सामान्य क्षेत्रों की बीजगणितीय जाँच और [[डेविड हिल्बर्ट]], [[एमिल आर्टिन]] और एमी नोथेर द्वारा क्रमविनिमेय और फिर सामान्य वलयों की, [[गंभीर दु:ख]], लियोपोल्ड क्रोनकर और रिचर्ड डेडेकिंड के काम पर निर्माण, जिन्होंने क्रमविनिमेय वलयों में आदर्श माना था, और समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विषय में [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] और [[कुछ नहीं]] ने अमूर्त बीजगणित को परिभाषित किया। 19वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही और 20वीं शताब्दी की पहली तिमाही के इन विकासों को [[बार्टेल वैन डेर वेर्डन]] के मॉडर्न बीजगणित में व्यवस्थित रूप से उजागर किया गया था, जो 1930-1931 में प्रकाशित दो-खंड [[प्रबंध]] था, जो गणितीय दुनिया के लिए शब्द के अर्थ को सर्वदा के लिए बदल देता था। बीजगणित समीकरणों के सिद्धांत से बीजगणितीय संरचनाओं के सिद्धांत तक। | ये प्रक्रियाएँ पूरे गणित में घटित हो रही थीं, लेकिन बीजगणित में विशेष रूप से स्पष्ट हो गईं। समूह , वलय और क्षेत्र जैसी कई बुनियादी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए आदिम संक्रियाओं और अभिगृहीतों के माध्यम से औपचारिक परिभाषा प्रस्तावित की गई थी। इसलिए समूह सिद्धांत और वलय सिद्धांत जैसी चीजों ने [[शुद्ध गणित]] में अपना स्थान ले लिया। [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] द्वारा सामान्य क्षेत्रों की बीजगणितीय जाँच और [[डेविड हिल्बर्ट]], [[एमिल आर्टिन]] और एमी नोथेर द्वारा क्रमविनिमेय और फिर सामान्य वलयों की, [[गंभीर दु:ख]], लियोपोल्ड क्रोनकर और रिचर्ड डेडेकिंड के काम पर निर्माण, जिन्होंने क्रमविनिमेय वलयों में आदर्श माना था, और समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विषय में [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] और [[कुछ नहीं]] ने अमूर्त बीजगणित को परिभाषित किया। 19वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही और 20वीं शताब्दी की पहली तिमाही के इन विकासों को [[बार्टेल वैन डेर वेर्डन]] के मॉडर्न बीजगणित में व्यवस्थित रूप से उजागर किया गया था, जो 1930-1931 में प्रकाशित दो-खंड [[प्रबंध]] था, जो गणितीय दुनिया के लिए शब्द के अर्थ को सर्वदा के लिए बदल देता था। बीजगणित समीकरणों के सिद्धांत से बीजगणितीय संरचनाओं के सिद्धांत तक। | ||
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इसकी व्यापकता के कारण, गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में अमूर्त बीजगणित का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए बीजगणितीय वस्तुओं का उपयोग करती है। पोंकारे अनुमान, 2003 में सिद्ध हुआ, यह दावा करता है कि कई गुना का [[मौलिक समूह]], जो जुड़ाव के बारे में जानकारी को एन्कोड करता है, यह निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है कि कई गुना एक क्षेत्र है या नहीं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत विभिन्न संख्या वलय का अध्ययन करता है जो पूर्णांकों के समुच्चय का सामान्यीकरण करता है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के उपकरणों का उपयोग करते हुए, [[एंड्रयू विल्स]] ने फर्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया। | इसकी व्यापकता के कारण, गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में अमूर्त बीजगणित का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए बीजगणितीय वस्तुओं का उपयोग करती है। पोंकारे अनुमान, 2003 में सिद्ध हुआ, यह दावा करता है कि कई गुना का [[मौलिक समूह]], जो जुड़ाव के बारे में जानकारी को एन्कोड करता है, यह निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है कि कई गुना एक क्षेत्र है या नहीं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत विभिन्न संख्या वलय का अध्ययन करता है जो पूर्णांकों के समुच्चय का सामान्यीकरण करता है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के उपकरणों का उपयोग करते हुए, [[एंड्रयू विल्स]] ने फर्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया। | ||
भौतिकी में | '''अमूर्त बीजगणित''' भौतिकी में व्यापक रूप से उन समूहों का अध्ययन करने के लिए '''उपयोग''' किया जाता है जो समरूपता संचालन का प्रतिनिधित्व करते हैं और बीजगणितीय समूह सिद्धांत का '''उपयोग''' अंतर समीकरणों को सरल बनाने के लिए किया जाता है ।। [[गेज सिद्धांत]] में, एक प्रणाली का वर्णन करने वाले समीकरणों को निकालने के लिए [[स्थानीय समरूपता]] की आवश्यकता का उपयोग किया जा सकता है। जो समूह उन समरूपताओं का वर्णन करते हैं वे झूठ समूह हैं, और झूठ समूहों और झूठ बीजगणित के अध्ययन से भौतिक प्रणाली के बारे में बहुत कुछ पता चलता है; उदाहरण के लिए, किसी सिद्धांत में [[बल वाहक]] की संख्या लाई बीजगणित के आयाम के बराबर होती है, और यदि लाई बीजगणित नाबेलियन है तो ये [[बोसॉन]] उस बल के साथ परस्पर क्रिया करते हैं जो वे मध्यस्थता करते हैं।<ref>{{Citation |last=Schumm |first=Bruce |title=Deep Down Things |url=https://archive.org/details/deepdownthingsbr00schu |year=2004 |place=Baltimore |publisher=Johns Hopkins University Press |isbn=0-8018-7971-X |url-access=registration}}</ref> | ||
Revision as of 10:40, 27 December 2022
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गणित में, विशेष रूप से बीजगणित में, अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन है।[1] बीजगणितीय संरचनाओं में समूह , वलय , क्षेत्र , मॉड्यूल , सदिश स्थान, लैटिस (क्रम) और एक क्षेत्र पर बीजगणित सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित शब्द 20वीं शताब्दी के आरम्भ में बीजगणित के पुराने हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को पृथक करने के लिए गढ़ा गया था, और विशेष रूप से प्राथमिक बीजगणित से, संगणना और तर्क में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग।बीजगणित के प्रगत अमूर्त भाग को अमूर्त बीजगणित कहते हैं।
बीजगणितीय संरचनाएं, उनकी संबद्ध समरूपता के साथ, गणितीय श्रेणी बनाती हैं। श्रेणी सिद्धांत एक औपचारिकता है जो विभिन्न संरचनाओं के समान गुणों और निर्माणों को व्यक्त करने के लिए एक एकीकृत पद्धति की अनुमति देता है।
सार्वभौमिक बीजगणित एक संबंधित विषय है जो एकल वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, समूहों की संरचना सार्वभौमिक बीजगणित में एक एकल वस्तु है,और जिसे समूहों की विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) कहा जाता है।
इतिहास
उन्नीसवीं शताब्दी से पहले, बीजगणित का अर्थ बहुपद समीकरणों के समाधान का अध्ययन था। सार बीजगणित उन्नीसवीं शताब्दी के समय अधिक जटिल समस्याओं और समाधान विधियों के विकास के रूप में अस्तित्व में आया था।अमूर्त बीजगणित शब्द को 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में बीजगणित के अन्य हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को अलग करने के लिए तैयार किया गया था। ठोस समस्याएं और उदाहरण संख्या सिद्धांत, ज्यामिति, विश्लेषण और बीजगणितीय समीकरण के समाधान से आए हैं। अधिकांश सिद्धांत जिन्हें अब अमूर्त बीजगणित के भागों के रूप में पहचाना जाता है, गणित की विभिन्न शाखाओं से भिन्न तथ्यों के संग्रह के रूप में शुरू हुए, एक सामान्य विषय प्राप्त किया जो कि एक कोर के रूप में कार्य करता था जिसके चारों ओर विभिन्न परिणाम समूहित किए गए थे, और अंततः अवधारणाओं के एक सामान्य समूह के आधार पर एकीकृत हो गया था। यह एकीकरण 20वीं शताब्दी के आरम्भिक दशकों में हुआ और इसके परिणामस्वरूप विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूहों, रिंगों और क्षेत्रों की औपचारिक स्वयंसिद्ध परिभाषाएँ सामने आईं।[2] यह ऐतिहासिक विकास लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले उपचार के लगभग विपरीत है, जैसे कि वैन डेर वेर्डन का मॉडर्न बीजगणित,[3] जो प्रत्येक अध्याय को संरचना की औपचारिक परिभाषा के साथ आरम्भ करते हैं और उसके बाद ठोस उदाहरणों के साथ इसका पालन करते हैं।[4]
प्रारंभिक बीजगणित
बहुपद समीकरणों या बीजगणितीय समीकरण के अध्ययन का एक लंबा इतिहास रहा है। १८०० ई. से पहले गणित का सरोकार मुख्यतः दो सामान्य समझ-बूझ की संकल्पनाओं, संख्या और आकृति से था। १९वीं शताब्दी के आरम्भ में दो नए विचारों ने गणित के क्षेत्र को एकदम विस्तृत कर दिया ।1700 ई.पू. के आसपास, बेबीलोनिया शब्द समस्याओं के रूप में निर्दिष्ट द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम थे। इस शब्द समस्या चरण को आलंकारिक बीजगणित के रूप में वर्गीकृत किया गया है और 16वीं शताब्दी तक यह प्रभावी दृष्टिकोण था। मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने 830 ईस्वी में बीजगणित शब्द की उत्पत्ति की थी, लेकिन उनका काम पूरी तरह अलंकारिक बीजगणित था। पूरी तरह से प्रतीकात्मक बीजगणित फ्रांकोइस विएते के 1591 नया बीजगणित तक प्रकट नहीं हुआ था, और यहां तक कि इसमें कुछ वर्तनी वाले शब्द थे जिन्हें डेसकार्टेस के 1637 कानून ज्यामिति में प्रतीक दिए गए थे।[5] प्रतीकात्मक समीकरणों को हल करने के औपचारिक अध्ययन ने लियोनहार्ड यूलर को 18वीं शताब्दी के अंत में नकारात्मक संख्याओं और काल्पनिक संख्या जैसी निरर्थक जड़ों को स्वीकार करने के लिए प्रेरित किया गया।[6] यद्यपि, यूरोपीय गणितज्ञों ने, अधिकांश भाग के लिए, 19वीं शताब्दी के मध्य तक इन अवधारणाओं का विरोध किया।[7] जॉर्ज पीकॉक (गणितज्ञ) का 1830 का बीजगणित का ग्रंथ बीजगणित को कड़ाई से प्रतीकात्मक आधार पर रखने का पहला प्रयास था। और उन्होंने पुराने अंकगणितीय बीजगणित से अलग एक नए प्रतीकात्मक बीजगणित को प्रतिष्ठित किया। जबकि अंकगणित बीजगणित में तक सीमित है , प्रतीकात्मक बीजगणित में संचालन के सभी नियम बिना किसी प्रतिबंध के लागू होते हैं। इसका उपयोग करके मोर जैसे कानून दिखा सकता है , जैसे भी हो में . मयूर ने अपने तर्क को सही ठहराने के लिए समकक्ष रूपों के स्थायित्व के सिद्धां