ऊष्मा समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 10:47, 21 December 2022

ऊष्मा समीकरण द्वारा अनुमानित एक वर्ग धातु की प्लेट में तापमान के विकास का एनिमेटेड प्लॉट। ऊंचाई और लाली प्रत्येक बिंदु पर तापमान दर्शाती है। प्रारंभिक अवस्था में समान रूप से गर्म खुर के आकार का क्षेत्र (लाल) होता है जो समान रूप से ठंडे क्षेत्र (पीला) से घिरा होता है। जैसे-जैसे समय बीतता है ऊष्माठंडे क्षेत्र में फैल जाती है।

गणित और भौतिकी में, ऊष्मा समीकरण एक निश्चित आंशिक अंतर समीकरण है। ऊष्मा समीकरण के समाधान को कभी-कभी कैलोरी फलन के रूप में जाना जाता है। ऊष्मा समीकरण का सिद्धांत पहली बार 1822 में जोसेफ फूरियर द्वारा मॉडलिंग के उद्देश्य से विकसित किया गया था कि किसी दिए गए क्षेत्र में ऊष्मा जैसी मात्रा कैसे विसरित होती है।

प्रोटोटाइपिकल परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण के रूप में, ऊष्मा समीकरण शुद्ध गणित में सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए जाने वाले विषयों में से एक है, और इसके विश्लेषण को आंशिक अंतर समीकरणों के व्यापक क्षेत्र के लिए मूल सिद्धान्त माना जाता है। रीमैनियन बहुआयामी पर ऊष्मा समीकरण पर भी विचार किया जा सकता है, जिससे कई ज्यामितीय अनुप्रयोग हो सकते हैं। सुब्बरमा मीनाक्षीसुंदरम और एके प्लीजेल के काम के बाद, ऊष्मा समीकरण वर्णक्रमीय ज्यामिति से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। 1964 में जेम्स एल्स और जोसेफ एच. सैम्पसन द्वारा अंतर ज्यामिति के लिए एक बीजीय हार्मोनिक नक्शा प्रस्तुत किया गया था, जो 1982 में रिचर्ड एस हैमिल्टन द्वारा रिक्की प्रवाह की शुरुआत को प्रेरित करता है और 2003 में त्वरित पेरेलमैन द्वारा पॉइनकेयर अनुमान के प्रमाण में परिणत हुआ। ऊष्मा समीकरण के रूप में जाने वाले ऊष्मा समीकरण के समाधान उस क्षेत्र के बारे में सूक्ष्म जानकारी प्रदान करते हैं, जिस पर उन्हें परिभाषित किया गया है, जैसा कि अतियाह-सिंगर सूचक प्रमेय में उनके आवेदन के माध्यम से उदाहरण दिया गया है।^[1]

ऊष्मा समीकरण, इसके प्रकारों के साथ, विज्ञान और व्यावहारिक गणित के कई क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण है। संभाव्यता सिद्धांत में, फोकर-प्लैंक समीकरण के माध्यम से ऊष्मा समीकरण अनियमित चलने और ब्राउनियन गति के अध्ययन से जुड़ा हुआ है। वित्तीय गणित का काला-स्कोल्स समीकरण ऊष्मा समीकरण का एक छोटा रूप है, और क्वांटम यांत्रिकी के श्रोडिंगर समीकरण को काल्पनिक संख्या में ऊष्मा समीकरण के रूप में माना जा सकता है। छवि विश्लेषण में, ऊष्मा समीकरण का उपयोग कभी-कभी पिक्सेलेशन और किनारे का पता लगाना को हल करने के लिए किया जाता है। रॉबर्ट डी. रिचटमायर और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा कृत्रिम श्यानता विधियों की शुरूआत के बाद, ऊष्मा समीकरणों के समाधान शॉक (द्रव गतिकी) के गणितीय सूत्रीकरण में उपयोगी रहे हैं। 1950 के दशक की शुरुआत में जिम डगलस, डी.डब्ल्यू. शांतिदूत, और हेनरी रैचफोर्ड जूनियर साथ में काम किये थे।

समीकरण का कथन

'''''''गणित में, यदि Rn का एक खुला उपसमुच्चय U दिया जाए और R का एक उपअंतराल $I$ , एक कहता है कि एक फलनu : U × I → R ऊष्मासमीकरण का समाधान है अगर'''''''

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}},

जहाँ पर $(x 1, \dots, x n, t)$ डोमेन के एक सामान्य बिंदु को दर्शाता है। यहां पर $t$ को समय के रूप में उल्लेख करना सामान्य है और $x 1, \dots, x n$ स्थानिक चर के रूप में, संक्षेप संदर्भों में भी जहां ये वाक्यांश अपने सहज अर्थ के लिए विफल होते हैं। स्थानिक चरों के संग्रह को प्रायः x बस के रूप में संदर्भित किया जाता है | t के किसी दिए गए मूल्य के लिए, समीकरण का दाहिना पक्ष फलन $u (\cdot, t) : U \to R$ का लाप्लास संकारक है| जैसे, ऊष्मा समीकरण को प्रायः अधिक सघन रूप से इस प्रकार लिखा जाता है

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u$ .

भौतिकी और इंजीनियरिंग संदर्भों में, विशेष रूप से एक माध्यम से प्रसार के संदर्भ में, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को ठीक करना और फिर किसी फलन (गणित) $u (x, y, z, t)$ के विशिष्ट मामले पर विचार करना अधिक सामान्य है| तीन स्थानिक चर के $(x, y, z)$ और समय परिवर्तनशील $t$ . एक तो कहता है $u$ ऊष्मासमीकरण का समाधान है अगर

\frac{\partial u}{\partial t} = α (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \partial^{2}

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Partial differential equation describing the evolution of temperature in a region}}
-[[Image:Heat eqn.gif|thumb|upright=1.8|ऊष्मा समीकरण द्वारा अनुमानित एक वर्ग धातु की प्लेट में तापमान के विकास का एनिमेटेड प्लॉट। ऊंचाई और लाली प्रत्येक बिंदु पर तापमान दर्शाती है। प्रारंभिक अवस्था में समान रूप से गर्म खुर के आकार का क्षेत्र (लाल) होता है जो समान रूप से ठंडे क्षेत्र (पीला) से घिरा होता है। जैसे-जैसे समय बीतता है ऊष्माठंडे क्षेत्र में फैल जाती है।]]गणित और भौतिकी में, ऊष्मा समीकरण एक निश्चित आंशिक अंतर समीकरण है। ऊष्मा समीकरण के समाधान को कभी-कभी कैलोरी फलन के रूप में जाना जाता है। ऊष्मा समीकरण का सिद्धांत पहली बार 1822 में [[जोसेफ फूरियर]] द्वारा मॉडलिंग के उद्देश्य से विकसित किया गया था कि किसी दिए गए क्षेत्र में ऊष्मा जैसी मात्रा कैसे फैलती है।
+[[Image:Heat eqn.gif|thumb|upright=1.8|ऊष्मा समीकरण द्वारा अनुमानित एक वर्ग धातु की प्लेट में तापमान के विकास का एनिमेटेड प्लॉट। ऊंचाई और लाली प्रत्येक बिंदु पर तापमान दर्शाती है। प्रारंभिक अवस्था में समान रूप से गर्म खुर के आकार का क्षेत्र (लाल) होता है जो समान रूप से ठंडे क्षेत्र (पीला) से घिरा होता है। जैसे-जैसे समय बीतता है ऊष्माठंडे क्षेत्र में फैल जाती है।]]गणित और भौतिकी में, ऊष्मा समीकरण एक निश्चित आंशिक अंतर समीकरण है। ऊष्मा समीकरण के समाधान को कभी-कभी कैलोरी फलन के रूप में जाना जाता है। ऊष्मा समीकरण का सिद्धांत पहली बार 1822 में [[जोसेफ फूरियर]] द्वारा मॉडलिंग के उद्देश्य से विकसित किया गया था कि किसी दिए गए क्षेत्र में ऊष्मा जैसी मात्रा कैसे विसरित होती है।
-प्रोटोटाइपिकल [[परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण]] के रूप में, ऊष्मा समीकरण [[शुद्ध गणित]] में सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए जाने वाले विषयों में से एक है, और इसके विश्लेषण को आंशिक अंतर समीकरणों के व्यापक क्षेत्र के लिए मूल सिद्धान्त माना जाता है। [[रीमैनियन कई गुना]] पर ऊष्मा समीकरण पर भी विचार किया जा सकता है, जिससे कई ज्यामितीय अनुप्रयोग हो सकते हैं। [[सुब्बरमा मीनाक्षीसुंदरम]] और एके प्लीजेल के काम के बाद, ऊष्मा समीकरण [[वर्णक्रमीय ज्यामिति]] से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। 1964 में [[जेम्स एल्स]] और जोसेफ एच. सैम्पसन द्वारा [[अंतर ज्यामिति]] के लिए एक सेमिनल [[हार्मोनिक नक्शा]]  प्रस्तुत किया गया था, जो 1982 में रिचर्ड एस हैमिल्टन द्वारा [[रिक्की प्रवाह]] की शुरुआत को प्रेरित करता है और 2003 में [[त्वरित पेरेलमैन]] द्वारा पॉइनकेयर अनुमान के प्रमाण में परिणत हुआ। ऊष्मा समीकरण के रूप में जाने जाने वाले ऊष्मा समीकरण के समाधान उस क्षेत्र के बारे में सूक्ष्म जानकारी प्रदान करते हैं, जिस पर उन्हें परिभाषित किया गया है, जैसा कि अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय में उनके आवेदन के माध्यम से उदाहरण दिया गया है।<ref>Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle. Heat kernels and Dirac operators. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 298. Springer-Verlag, Berlin, 1992. viii+369 pp. {{ISBN|3-540-53340-0}}</ref>
+प्रोटोटाइपिकल [[परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण]] के रूप में, ऊष्मा समीकरण [[शुद्ध गणित]] में सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए जाने वाले विषयों में से एक है, और इसके विश्लेषण को आंशिक अंतर समीकरणों के व्यापक क्षेत्र के लिए मूल सिद्धान्त माना जाता है। [[रीमैनियन कई गुना|रीमैनियन बहुआयामी]] पर ऊष्मा समीकरण पर भी विचार किया जा सकता है, जिससे कई ज्यामितीय अनुप्रयोग हो सकते हैं। [[सुब्बरमा मीनाक्षीसुंदरम]] और एके प्लीजेल के काम के बाद, ऊष्मा समीकरण [[वर्णक्रमीय ज्यामिति]] से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। 1964 में [[जेम्स एल्स]] और जोसेफ एच. सैम्पसन द्वारा [[अंतर ज्यामिति]] के लिए एक बीजीय  [[हार्मोनिक नक्शा]]  प्रस्तुत किया गया था, जो 1982 में रिचर्ड एस हैमिल्टन द्वारा [[रिक्की प्रवाह]] की शुरुआत को प्रेरित करता है और 2003 में [[त्वरित पेरेलमैन]] द्वारा पॉइनकेयर अनुमान के प्रमाण में '''परिणत''' हुआ। ऊष्मा समीकरण के रूप में जाने वाले ऊष्मा समीकरण के समाधान उस क्षेत्र के बारे में सूक्ष्म जानकारी प्रदान करते हैं, जिस पर उन्हें परिभाषित किया गया है, जैसा कि अतियाह-सिंगर सूचक प्रमेय में उनके आवेदन के माध्यम से उदाहरण दिया गया है।<ref>Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle. Heat kernels and Dirac operators. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 298. Springer-Verlag, Berlin, 1992. viii+369 pp. {{ISBN|3-540-53340-0}}</ref>
 ऊष्मा समीकरण, इसके प्रकारों के साथ, विज्ञान और [[व्यावहारिक गणित]] के कई क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण है। संभाव्यता सिद्धांत में, फोकर-प्लैंक समीकरण के माध्यम से ऊष्मा समीकरण अनियमित चलने और [[ब्राउनियन गति]] के अध्ययन से जुड़ा हुआ है। [[वित्तीय गणित]] का काला-स्कोल्स समीकरण ऊष्मा समीकरण का एक छोटा रूप है, और [[क्वांटम यांत्रिकी]] के श्रोडिंगर समीकरण को [[काल्पनिक संख्या]] में ऊष्मा समीकरण के रूप में माना जा सकता है। [[छवि विश्लेषण]] में, ऊष्मा समीकरण का उपयोग कभी-कभी पिक्सेलेशन और [[किनारे का पता लगाना]] को हल करने के लिए किया जाता है। रॉबर्ट डी. रिचटमायर और [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा कृत्रिम श्यानता विधियों की शुरूआत के बाद, ऊष्मा समीकरणों के समाधान [[शॉक (द्रव गतिकी)]] के गणितीय सूत्रीकरण में उपयोगी रहे हैं। 1950 के दशक की शुरुआत में जिम डगलस, डी.डब्ल्यू. शांतिदूत, और हेनरी रैचफोर्ड जूनियर साथ में काम किये थे।
 == समीकरण का कथन ==
-'<nowiki/>''''''''गणित में, यदि R<sup>''n''</sup>  का एक खुला उपसमुच्चय ''U'' दिया जाए और R का एक उपअंतराल {{mvar|I}} , एक कहता है कि एक फलन{{math|''u'' : ''U'' × ''I'' → '''R'''}} ऊष्मासमीकरण का समाधान है अगर'''''''''
+<nowiki>''''</nowiki>''''''''गणित में, यदि R<sup>''n''</sup>  का एक खुला उपसमुच्चय ''U'' दिया जाए और R का एक उपअंतराल {{mvar|I}} , एक कहता है कि एक फलन{{math|''u'' : ''U'' × ''I'' → '''R'''}} ऊष्मासमीकरण का समाधान है अगर''''''''''''
 :<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2},</math>
 जहाँ पर  {{math|(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>, ''t'')}} डोमेन के एक सामान्य बिंदु को दर्शाता है। यहां पर {{mvar|t}} को समय के रूप में उल्लेख करना सामान्य है और {{math|''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>}} स्थानिक चर के रूप में, संक्षेप संदर्भों में भी जहां ये वाक्यांश अपने सहज अर्थ के लिए विफल होते हैं। स्थानिक चरों के संग्रह को प्रायः x बस के रूप में संदर्भित किया जाता है | ''t'' के किसी दिए गए मूल्य के लिए, समीकरण का दाहिना पक्ष फलन {{math|''u''(⋅, ''t'') : ''U'' → '''R'''}} का लाप्लास संकारक है| जैसे, ऊष्मा समीकरण को प्रायः अधिक सघन रूप से इस प्रकार लिखा जाता है

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